高等数学典型试题分析

第一章函数及其图形

例1：（）.

A. {x | x>3}

B. {x | x<-2}

C. {x |-2< x ≤1}

D. {x | x≤1}

注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。

例2：函数的定义域为（）.

解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可

即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。

知

例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）

解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。

B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。

C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。

D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。

例4：设

解：在令t=cosx-1，得

又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有

。

例5：

f(2)没有定义。

注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。

例6：函数

是（）。

A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数

解：由于

，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。

由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。

事实上，对任意的x，由

，可得

，从而有

。可见，对于任意的x，

有

。

因此，所给函数是有界的，即应选择B。

例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

解：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)为奇函数，故应选 A 。

例 8：函数

的反函数是（）。

A．B．

C．D．

解：

于是，是所给函数的反函数，即应选C。

例 9：下列函数能复合成一个函数的是（）。

A．B．

C．D．

解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)≤0，不在f (u)的定义域内，不能复合。在(D)中，u=g(x)=3也不满

足f(u)的定义域，也不能复合。只有(C)中的定义域内，可以复合成一个函数，故应选C。

例 10：函数可以看成哪些简单函数复合而成：

解：，三个简单函数复合而成。

第二章极限与连续

例1：下列数列中，收敛的数列是（）

A. B. C. D.

解：（A）中数列为0，1，0，1，……其下标为奇数的项均为0，而下标为偶数的项均为1，即奇偶数项分别趋于不同的常数值，从而可知该数列没有极限，是发散的。

由于，故（B）中数列发散。

由于正弦函数是一个周期为

的周期函数，当时，

并不能无限趋近于一个确

定的值，因而（C）中数列也发散。

由于

，故（D）中数列收敛。

例2：设

，则a=( )

A.0

B.1

C.3

D.1/3

解：假设=0，则所给极限为

，其分子趋于∞，而分母趋于有

限值3，所以极限为∞，不是1/5，因而≠0。

当≠0时，所给极限为

，故应选C。

一般地，如果有理函数

，其中

、

分别为n的k次、l次多项式，那么，

当时，

当k=l时，f (n)的极限为

、

的最高次项的系数之比；

当kl时，f (n)的极限为∞。

对于当x→∞（或+∞，－∞）时x的有理分式函数

的极限，也有类似的结果。

例

3.

A. 0

B. 1

C. π

D. n 解利用重要极限

，故应选C。

的本质是，这里的可以想象为一个空的筐子，里

注：第一重要极限

面可以填入任意以零为极限的表达式（三个填入的内容要相同）。

类似地，第二重要极限可以看作是，其中可以同时填入相同的任意趋于无穷大的表达式。

例4. 求

解法 1

解法 2

解法 3

例5.

A. 0

B. 1

C. 1/2

D. 1/4

解：由于,故应选D。

例6.

解

:

注意本题属于“∞-∞”型，是个未定式，不能简单地认为它等于0或认为是∞，对于此类问题一般需要将函数进行通分，然后设法进行化简，进而求出其极限值。

例7. 当x→0时，

的（）。

A. 同阶无穷小量

B. 高阶无穷小量

C. 低价无穷小量

D. 较低阶的无穷小量

解：由于

可知

是x的同阶无穷小量，所以应选A。

例8. 当

等价的无穷小量是( )

A.

B.

C.

D.

解：由于

可知

的高阶无穷小量，同时

等价的无穷小量，所以选

D。

例9. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的是( )

A.

B.

C.

D.

解：由于

所以应选A.

例10．要使函数

在x=0处连续，f(0)应该补充定义的数值是( )

A.1/2

B.2

C.1

D.0

解：

要使函数f(x)在x=0处连续，必须有

因此要令f(0)=1.

故应选C。

例11．设

求k，使f(x)连续。

解：由于函数f(x)在（-∞，0）和（0，+∞）两区间内均由初等函数表示，而且在这两个区间内均有定义，因此在这两个区间内是连续的。函数是否连续取决于它在x=0处是否连续。要让f(x)在x=0处连续，必须

由于

=

又由

可知

例12．证明方程

在区间（1，2）内必有一根。

证：令

，由于f（x）是初等函数，它在区间（-∞，+∞）

上连续，另外f（1）=-1<1 ，f（2）=13>0， f（x）在[1，2]上连续，故由零点

存在定理知，存在

在区间（1,2）内必有

一个根.

第三章导数和微分

例1：讨论函数

例2：

例3：分段函数处是否连续？是否可导？为什么？

例4：

例5：

例6：

例7：

例8：

例9：

例10：

例11：证明曲线xy=1 (x>0，y>0)上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是一个常数.

例12：

例13：

第四章中值定理与导数应用

例1：下列各函数中，在区间[-1，1]上满足罗尔定理所有条件的是( )

例2：

例3：

例4：

例5：

例6：下列极限中能用罗必达法则的有( )

例7：

例8：

列表

即(-∞,-2)及(0,+∞)为递增区间，（-2，-1）及（-1，0）为递减区间；当x=-2时取极大值f(-2)=-4，当x=0时取极小值f(0)=0

例9：讨论曲线 y=x4-2x3+1的凹向与拐点

解：yˊ=4x3-6x2

y″=12x2-12x=12x(x-1)

当x=0,x=1时 y″=0

x=0与x=1把定义域（-∞，+∞）分成三个区间，

列表

即(-∞,0)及(1,+∞)上凹；（0，1）下凹，两个拐点（0，1）和（1，0）

例10：

例11：

例12：

例13：某种商品需求函数为，求当P=4时的需求弹性。

例14：

第五章积分

例1：若h(x)是g(x)的一个原函数，则下列表达式中正确的一个是（）。

解：因为各备选答案中的右端均含有积分常数C，故只须验证各备选答案中右端的导数是否等于其左端积分的被积函数。事实上，由于g(x)未必可导，故可知（A）、（D）不正确；由题意h(x)是g(x)的一个原函数，即h'(x)=g(x)，故（B）正确而（C）不正确，因此，应选（B）。

例2：

例3：

例4：

例5：