误差的基本性质-随机误差
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该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小
在正态分布条件下，满足最大似然原理：
该测量事件发生的概率最大
二、残余误差 由算术平均值原理可知，算术平均值是真 值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计 算得到的误差称为残余误差。 在规定测量条件下，同一被测量的测量列 x1，x2，…，xn有算术平均值： 1 n x xi n i 1 则称：
50
40
30
20
10
0 0.114 0.116 0.118
0.12
0.122 0.124 0.126 0.128
对于测量状态不完好的光电类测量仪 器，特别是对传动机械部件磨损较严重 而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误 差可能就呈现其他分布的特征。
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移 放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当 离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致 CCD光电探测器 采集信号及其电 信号处理电路造 成干涉图像信号 的随机噪声
六、t 分布
设随机变量 X与 Y相互独立， X服从标准正态分布 N （0，1），Y服从自由度为υ的χ2分布，则随机变量
t X Y /
(
服从自由度为的t 学生氏 分布
其概率密度函数为：
1
2 f x )
( )
2
(1
x2
)
1
2
其特征量分别为: E[ ] 0;
如果这组数据是来自于某测量总体的一个 样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标 准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为 实验标准差。
贝塞尔公式 极差法
最大误差法
二、标准偏差的基本估计——贝塞尔公式
定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进
行有限次测量得测量列 xi（i＝1， 2，…，n）， 则单次测量标准偏差σ的估计值s为：
一、正态分布 随机误差概率分布密度 函数表达式为：
f ( ) 1
2
2 2 2 e
数学期望：E（δ）＝0 方 差：D（δ）＝σ2 标准偏差： D( )
二、均匀分布
均匀分布又称等概 率分布，其概率密度函 数为：
1 f ( ) 2a 0 当 a 当 a
第一节
随机误差概述
一、随机误差产生的原因 随机误差是由人们不能掌握，不能控制， 不能调节，更不能消除的微小因素造成。这 些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确 的规律；有的是在测量过程中对其难以完全 控制的微小变化，而这些微小变化又给测量 带来误差。
例
题
举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准 确度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的 表面面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数 据。通过实验分析，查询有关的技术资料和其 他信息，可知随机误差来源。
v i xi x
为残余误差。
残余误差具有两个重要特性。 （一）残余误差具有低偿性——残余误差 代数和等于零； （二）残余误差平方和为最小 。
v1 v 2 v n 0
v v v min
2 1 2 2 2 n
第四节
测量的标准偏差
1
1 2 3
值随n 减少明显偏离系数1；
在样本数较小的情形（如n≤6），为了提高对s估 计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式。
或然误差 :
2 3
2 i i 1
n
n1
平均误差 :
4 5
2 i i 1
n
n1
【例2-1】
用某仪器测某物水份含量，测得50个数据如下（单 位：水份百分比％） 3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2 ,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2. 7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3 .6,3.4,3.3 试求其算术平均值及其标准差。
2
2
; =
2
第三节 算术平均值
一、算术平均值的意义 在等权测量条件下，对某被测量进行多次 重复测量，得到一系列测量值 x1 , x2 ,..., xn , 常取算术平均值
1 n x xi n i 1
作为测量结果的最佳估计。
若测量次数无限增多，且无系统误差下，由 概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋 近于真值x0。
2 3
标准差（方均根误差） σ越小，各单次测量 值分散度小，可靠性高，测量越精密。
一、单次测量的标准偏差
等精度测量中，单次测量的标准差 ( 总体 标准差)为：
2 12 22 n 2 i i 1 n
n
n
对于一组测量数据，用其标准差来表述这 组数据的分散性。
2 i i 1 n
s
n1
修正贝塞尔公式
1 1 s' s Mn Mn
2 i i 1 n
n1
贝塞尔公式的修正因子
n
２
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
1 M n 1.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.04 1.03 1.03 1.021.01
1 Mn
它的标准偏差为：
a 6
四、反正弦分布 反正弦分布的概率 密度函数为：
1 f ( ) e 2 2 0
e e
数学期望： E（δ）＝ 0
2 e 它的方差为： 2 2 e 它的标准偏差为： 2
五、χ2 分布
设随机变量 X1， X2， …， Xυ相互独立，且都服从 标准正态分布N（0，1），则随机变量：
2 2 2 X12 X 2 X 服从自由度为的 2分布
其概率密度函数为：
x 1 1 x2 e 2 2 f x 2 ( ) 2 0
x0 x0
其特征量分别为: E[ ] ; 2 2; = 2
数据特点
数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各 次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有 确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测 下一个数据的大小。 但就数据整体而言，却明显具有某种统计规 律，这个规律可以用统计直方图来表示。
统计直方图
统计直方图在对称 性方面有一些偏离理 想正态分布的情形。 对于测量状态比较 完好的光电类测量仪 器，其随机误差的分 布往往较好的呈现正 态分布的特征。
二、随机误差的本质特征
具有随机性：测量过程中误差的大小和符 号以不可预知形式的形式出现。 产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。
与测量次数有关系：增加测量次数可以减
小随机误差对测量结果的影响。
服从正态分布随机误差的特征
1、有界性 随机误差总是有界限的，不可能出现无 限大的随机误差。在一定测量条件下的有限 次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过 某一界限。 2、对称性 在一定测量条件下的有限次测量结果， 其绝对值相等的正误差与负误差出现的次数 大致相等。
结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设 备、人员、测量方法等资源以及环境等要素中 去分析寻找主要的随机误差来源。
150次的面形峰谷值数据
0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118 0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119 0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122 0.123 0.124 0.121
(一) 随机误差
教学目的和要求：
掌握随机误差的产生原因、特点，服从正态 分布随机误差的特征；
掌握随机误差特征值的确定方法； 了解随机误差的分布； 正确求解极限误差。
主要内容：
1、随机误差的产生原因、特点，随机误差处理的基本 原则； 2、随机误差的分布：正态分布、非正态分布。 3、算术平均值原理：算术平均值原理、残余误差。 4 、测量的标准偏差：单次测量的标准偏差、贝塞尔 公式、算术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方 法。 5、极限误差：极限误差的定义、单次测量的极限误 差、算术平均值的极限误差。
3、抵偿性
由随机误差的对称性知，在有限次测量中， 绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。 因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相 同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了 随机误差的第三个特性——抵偿性。 4、单峰性
即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值 大的误差出现的次数。
第二节 随机误差的分布
视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进 行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法 来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可 以有效消除低频随机噪声。 对防震台充气减震、 关空调减少气流、 开机对激光器预热 等。 戴工作手套装夹工件， 调整光路要尽量减少 离焦、倾斜，并使干 涉条纹疏密适当，人 员尽量远离测量光路； 必要的话，适当增加 重复测量次数取算术 平均值等
测量装置方面的因素
仪器所在实验 室气流和温度 的波动
测量环境方面的因素
空气尘埃的漂 浮、稳压电源 供电电压的微 小波动
采集干涉图像的摄 像头变焦倍数过小 造成较大的离散化 采样误差
操作人员方面的因素
减小随机误差的技术途径
(1) 测量前，找出并消除或减小 其随机误差的物理源;
(2) 测量中，采用适当的技术措 施，抑制和减小随机误差; (3) 测量后，对采集的测量数 据进行适当处理，抑制和减小 随机误x
i 1 i i 1 i
n
n
0
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有
1 n x xi x0 n i 1
无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术 平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计 量 ，即满足无偏性、有效性、一致性。 满足最小二乘原理：
2 a 2
它的数学期望为：E（δ）＝ 0 它的方差为：
3
3
它的标准偏差为： a
三、三角分布 三角分布的概率密度函数为：
a a2 f ( ) a 2 a
当 a 0 当0＜ a
数学期望： E（δ）＝ 0 它的方差为：
2
a2 6
在正态分布条件下，满足最大似然原理：
该测量事件发生的概率最大
二、残余误差 由算术平均值原理可知，算术平均值是真 值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计 算得到的误差称为残余误差。 在规定测量条件下，同一被测量的测量列 x1，x2，…，xn有算术平均值： 1 n x xi n i 1 则称：
50
40
30
20
10
0 0.114 0.116 0.118
0.12
0.122 0.124 0.126 0.128
对于测量状态不完好的光电类测量仪 器，特别是对传动机械部件磨损较严重 而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误 差可能就呈现其他分布的特征。
激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源
氦氖激光源辐 射激光束的频 率不够稳定造 成激光波长的 漂移 放置测量主机和被 测试样的隔震台不 能很好消除外界的 低频震动 操作人员的装夹 调整不当引起被 采集的测量干涉 图像质量低、条 纹疏密不当 离散化采样误差、 各次装夹定位不 一致 CCD光电探测器 采集信号及其电 信号处理电路造 成干涉图像信号 的随机噪声
六、t 分布
设随机变量 X与 Y相互独立， X服从标准正态分布 N （0，1），Y服从自由度为υ的χ2分布，则随机变量
t X Y /
(
服从自由度为的t 学生氏 分布
其概率密度函数为：
1
2 f x )
( )
2
(1
x2
)
1
2
其特征量分别为: E[ ] 0;
如果这组数据是来自于某测量总体的一个 样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标 准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为 实验标准差。
贝塞尔公式 极差法
最大误差法
二、标准偏差的基本估计——贝塞尔公式
定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进
行有限次测量得测量列 xi（i＝1， 2，…，n）， 则单次测量标准偏差σ的估计值s为：
一、正态分布 随机误差概率分布密度 函数表达式为：
f ( ) 1
2
2 2 2 e
数学期望：E（δ）＝0 方 差：D（δ）＝σ2 标准偏差： D( )
二、均匀分布
均匀分布又称等概 率分布，其概率密度函 数为：
1 f ( ) 2a 0 当 a 当 a
第一节
随机误差概述
一、随机误差产生的原因 随机误差是由人们不能掌握，不能控制， 不能调节，更不能消除的微小因素造成。这 些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确 的规律；有的是在测量过程中对其难以完全 控制的微小变化，而这些微小变化又给测量 带来误差。
例
题
举例：某台激光数字波面干涉仪，对其进行准 确度考核，在相同测量条件下对某标准平晶的 表面面形进行150次重复测量获得面形峰谷值数 据。通过实验分析，查询有关的技术资料和其 他信息，可知随机误差来源。
v i xi x
为残余误差。
残余误差具有两个重要特性。 （一）残余误差具有低偿性——残余误差 代数和等于零； （二）残余误差平方和为最小 。
v1 v 2 v n 0
v v v min
2 1 2 2 2 n
第四节
测量的标准偏差
1
1 2 3
值随n 减少明显偏离系数1；
在样本数较小的情形（如n≤6），为了提高对s估 计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式。
或然误差 :
2 3
2 i i 1
n
n1
平均误差 :
4 5
2 i i 1
n
n1
【例2-1】
用某仪器测某物水份含量，测得50个数据如下（单 位：水份百分比％） 3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2 ,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2. 7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3 .6,3.4,3.3 试求其算术平均值及其标准差。
2
2
; =
2
第三节 算术平均值
一、算术平均值的意义 在等权测量条件下，对某被测量进行多次 重复测量，得到一系列测量值 x1 , x2 ,..., xn , 常取算术平均值
1 n x xi n i 1
作为测量结果的最佳估计。
若测量次数无限增多，且无系统误差下，由 概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋 近于真值x0。
2 3
标准差（方均根误差） σ越小，各单次测量 值分散度小，可靠性高，测量越精密。
一、单次测量的标准偏差
等精度测量中，单次测量的标准差 ( 总体 标准差)为：
2 12 22 n 2 i i 1 n
n
n
对于一组测量数据，用其标准差来表述这 组数据的分散性。
2 i i 1 n
s
n1
修正贝塞尔公式
1 1 s' s Mn Mn
2 i i 1 n
n1
贝塞尔公式的修正因子
n
２
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
1 M n 1.25 1.13 1.09 1.06 1.05 1.04 1.04 1.03 1.03 1.021.01
1 Mn
它的标准偏差为：
a 6
四、反正弦分布 反正弦分布的概率 密度函数为：
1 f ( ) e 2 2 0
e e
数学期望： E（δ）＝ 0
2 e 它的方差为： 2 2 e 它的标准偏差为： 2
五、χ2 分布
设随机变量 X1， X2， …， Xυ相互独立，且都服从 标准正态分布N（0，1），则随机变量：
2 2 2 X12 X 2 X 服从自由度为的 2分布
其概率密度函数为：
x 1 1 x2 e 2 2 f x 2 ( ) 2 0
x0 x0
其特征量分别为: E[ ] ; 2 2; = 2
数据特点
数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各 次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有 确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测 下一个数据的大小。 但就数据整体而言，却明显具有某种统计规 律，这个规律可以用统计直方图来表示。
统计直方图
统计直方图在对称 性方面有一些偏离理 想正态分布的情形。 对于测量状态比较 完好的光电类测量仪 器，其随机误差的分 布往往较好的呈现正 态分布的特征。
二、随机误差的本质特征
具有随机性：测量过程中误差的大小和符 号以不可预知形式的形式出现。 产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。
与测量次数有关系：增加测量次数可以减
小随机误差对测量结果的影响。
服从正态分布随机误差的特征
1、有界性 随机误差总是有界限的，不可能出现无 限大的随机误差。在一定测量条件下的有限 次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过 某一界限。 2、对称性 在一定测量条件下的有限次测量结果， 其绝对值相等的正误差与负误差出现的次数 大致相等。
结论：对具体测量问题具体分析，从所用的设 备、人员、测量方法等资源以及环境等要素中 去分析寻找主要的随机误差来源。
150次的面形峰谷值数据
0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118 0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119 0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122 0.123 0.124 0.121
(一) 随机误差
教学目的和要求：
掌握随机误差的产生原因、特点，服从正态 分布随机误差的特征；
掌握随机误差特征值的确定方法； 了解随机误差的分布； 正确求解极限误差。
主要内容：
1、随机误差的产生原因、特点，随机误差处理的基本 原则； 2、随机误差的分布：正态分布、非正态分布。 3、算术平均值原理：算术平均值原理、残余误差。 4 、测量的标准偏差：单次测量的标准偏差、贝塞尔 公式、算术平均值的标准偏差、标准差的其它估计方 法。 5、极限误差：极限误差的定义、单次测量的极限误 差、算术平均值的极限误差。
3、抵偿性
由随机误差的对称性知，在有限次测量中， 绝对值相同的正负误差出现的次数大致相同。 因此，取这些误差的算术平均值时，绝对值相 同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了 随机误差的第三个特性——抵偿性。 4、单峰性
即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值 大的误差出现的次数。
第二节 随机误差的分布
视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进 行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法 来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可 以有效消除低频随机噪声。 对防震台充气减震、 关空调减少气流、 开机对激光器预热 等。 戴工作手套装夹工件， 调整光路要尽量减少 离焦、倾斜，并使干 涉条纹疏密适当，人 员尽量远离测量光路； 必要的话，适当增加 重复测量次数取算术 平均值等
测量装置方面的因素
仪器所在实验 室气流和温度 的波动
测量环境方面的因素
空气尘埃的漂 浮、稳压电源 供电电压的微 小波动
采集干涉图像的摄 像头变焦倍数过小 造成较大的离散化 采样误差
操作人员方面的因素
减小随机误差的技术途径
(1) 测量前，找出并消除或减小 其随机误差的物理源;
(2) 测量中，采用适当的技术措 施，抑制和减小随机误差; (3) 测量后，对采集的测量数 据进行适当处理，抑制和减小 随机误x
i 1 i i 1 i
n
n
0
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有
1 n x xi x0 n i 1
无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术 平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计 量 ，即满足无偏性、有效性、一致性。 满足最小二乘原理：
2 a 2
它的数学期望为：E（δ）＝ 0 它的方差为：
3
3
它的标准偏差为： a
三、三角分布 三角分布的概率密度函数为：
a a2 f ( ) a 2 a
当 a 0 当0＜ a
数学期望： E（δ）＝ 0 它的方差为：
2
a2 6