高等数学-无穷小的比较

sin x x o( x), o(kx2 ) o( x2 ), k 0
cos x 1 1 x2 o( x2 ). 2
(参见书P63 题4)
设 α, β 是同一过程中的两个无穷小 , 则 α～β 的充要
条件是 β = α + o(α) .
这里，称 是 的主要部分(主部) .
例6
设 lim
2阶
(Q
lim
x0
5x4
x2
2
x
2
Hale Waihona Puke Baidu
2)
❖(6)
如果
lim
不存在且不为
, 就说
与
是
不可比较的无穷小.
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
振荡无极限
不可比.
12
❖ 常用等价无穷小:
当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
比如：lim x2 lim x 0，则x 0时x2是 x0 2x x0 2
比2x较高阶无穷小.
❖ 如果lim c(c 0)，则 与 同阶无穷小. xx0
记作 O( )
例:lim x2 1 lim(x 1) 2，则 x 1时 x2 1 x1 x 1 x1
与x 1是同阶无穷小.
❖ 如果lim 1，则 与 等阶无穷小,记作 ~ . xx0
x3
ax 2
x
4
b I
10 (有限数)
,
求
a,
I
.
b
x1
x1
解 由 lim x3 ax2 x 4 I (有限数) ,
x 1
x1
lim ( x 1) 0 , 可得 lim ( x3 ax2 x 4) 0 ,
x 1
x1
即 4a 0, a4,
由 lim x3 4x2 x 4 lim ( x 1)( x2 5x 4)
例:lim x2 x li0m?(x 1) 1, 则x 0时
x0 x
x0
x2 x与x是等价无穷小，即x2 x ~ x.
❖ 如果lim c(c 0)，则 与 同阶无穷小. xx0
❖
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当
x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例：x 0时5x4 2x2是 x 的几阶无穷小?
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
x x0 1 x x0 1 x x0
1
错解 原式 = lim (1 3 tan2 x)tan x
x0
1
lim(1 3x2 ) x x0
1
1
lim(1
3 tan2
lim
x ) x0 tan
x
x0
lim[(1 3x2 )3x2 ]3x e0 1 x0
例4 错解
1 x sin x 1
lim
x0
x(e x 1)
.
原式 =
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
2
x0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
x 1
x1
x 1
x1
lim ( x2 5x 4) 10 , I 10 .
x1 ln(1 f ( x))
思考 设 lim x0
sin x 5 3x 1
求
lim
x0
f (x) x2
(另: 作业P18 二7)
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
lim
x0
1 x2 1 x2
1 x2
lim x0
2 x
2
1 2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
Q lim
1,
lim (
1)
lim
0,
x x0
x x0
x x0
即 o( ), 于是有 o( ).
例如, 当x 0时, sin x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
ex 1 ~ x,
(1 x) 1 ~ x ( 0)
ax 1 ~ x lna (a 0,a 1), 当a = 1 / n 时 n 1 x 1 ~ 1 x n
例: 当 x 0 时, 下列函数中能成为 x2 的
等价无穷小的是 D
A、cos x 1
B、 1 cos x 2
C、 1 x2 1
D、 (e x 1)sin x
sin sin(x 1)
lim
.
x 1
ln x
注意 不能滥用等价无穷小代换.
① 对于代数和中各无穷小不能分别替换.
① 对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例2 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.