苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter8

K K K K K P 12ψ ( r 1 , r2 ) = ψ ( r2 , r 1 ) = ψ (−r )
= R(r )YLM (π − θ , π + ϕ )
K = (−1) L R(r )YLM (θ , ϕ ) = (−1) Lψ (r ) K K = (−1) Lψ (r1 , r2 )
σ1 ⋅σ 2 = 4 ⋅
相互作用势为，
K
K
2 s 2 − s12 − s2 = 2(0 − s1 ( s1 + 1) − s2 ( s2 + 1)) = −3 2
（8.1）
⎧−3V0 , r < a V =⎨ ⎩0, r > a
K K K
（8.2）
设 r 为两中子的相对距离，即 r = r1 − r2 ，ψ ( r ) = u (r ) / r 。当体系为低能是 E → 0 ，在质 心系中径向方程为
3mV0 / = ，-a0 即散射振幅。由连续性条件得，
a0 = − a(
tan k0 a − 1) k0 a tan k0 a − 1) k0 a
2
（8.5）
f (θ ) = −a0 = a (
由于是全同粒子散射，s 波微分截面为
（8.6）
2 σ (θ ) = f (θ ) + f (π − θ ) = 4a0
1 4
tan k0 a − 1) k0 a
（8.9）
8.2 对于存在强烈相互作用的全同费米子体系，Pauli 原理是否存在？它与近独立的全同费 米子体系中得 Pauli 原理有何不同？ 解题思路：此题涉及 Pauli 原理的推导。另外，体系有强烈相互作用时，波函数可以展开为 近独立体系中的波函数组合（波函数的完备性） 。 答： 体系有强烈相互作用时，其波函数用近独立体系中的波函数展开。以 N=2 的体系为例，
ψ (1, 2) = ∑∑ c(i, j )ϕi (1)ϕ j (2)
i j
（8.10）
对费米子体系有ψ (1, 2) = −ψ (2,1) ，即
∑∑ c(i, j )ϕ (1)ϕ
i i j
j
(2) = −∑∑ c( j , i )ϕ i (2)ϕ j (1)
j i
（8.11）
由于求和的上下限相同，所以可以交换。另外，因为对 i 和 j 求和，在（8.11）左边交换 i 和 j 结果不变。由此，
其中 r = r1 − r2 ， (r ,θ , ϕ ) 是球坐标。波函数（8.13）已经取为相对运动角动量 L 的平方和 z 分量 ( L, Lz ) 的共同本征函数。 交换两个 α 粒子时， r = r1 − r 不变，而
K
K
K
θ → π −θ , ϕ → π + ϕ
因此，波函数变化为
（8.14）
（8.7）
总截面（自旋单态，s 波）为
2 σ = 4πσ (θ ) = 16π a0
（8.8）
考虑到入射中子和靶中子都是未极化的，自旋指向随机分布，两中子形成自旋单态(s=0)的 概率为 1/4，形成三态(s=1)的概率为 3/4，后者对 s 波散射无贡献。因此，有效的总截面为
σ effect = σ = 4π a(
（8.15）
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α 粒子为 Bose 子，此体系的总波函数必须是交换对称的，即 K K K K P 12ψ ( r 1 , r2 ) = ψ ( r 1 , r2 )
所以，L 必须为偶数。
（8.16）
=2 − u ''+ V (r )u = 0 2µ
（8.3）
其中 µ = m / 2 ，为在质心系中中子的有效质量。此方程须满足边界条件 u(0)=0，其解为
⎧ A sin k0 r , r < a ⎪ u (r ) = ⎨ r ⎪C (1 − a ), r > a 0 ⎩
其中， k0 =
（8.4）
c(i, j ) = −c( j , i)
（8.12）
当 i=j 时，有 c(i, i ) = −c(i, i ) = 0 。按 c(i,j)的物理意义，两个费米子同时出现在态 i 上的几 率为 0，此即为存在强烈相互作用的全同费米子体系的 Pauli 原理。
8.3 设 4 Be 核可以看成由两个 α 粒子（自旋为 0）组成，证明总轨道角动量量子数 L 必为偶
第八章 全同粒子 典型例题分析 8.1 求中子-中子低能 s 波散射截面。设两中子间的相互作用势为
K K ⎧σ 1 ⋅ σ 2V0 , r < a V =⎨ ⎩0, r > a
其中 V0>0,
σ 1 ， σ 2 为 Pauli 算符，入射中子和靶中子都未极化。
K
K
解题思路：此题重点考察：1）体系自旋量子数；2）全同粒子的性质；3）散射的分波法。 只要抓住这几点解此题不难。 解： 中子-中子体系的总波函数必是交换反对称的。S 波波函数是两粒子空间坐标对称函数，所 以自旋波函数必是反对称的，即自旋单态。因此，体系总波函数为 0，
8
数（取质心系） 。 解题思路：此题要把握全同 Bose 子的交换性质和波函数的对称性。 证：
α 粒子自旋为 0，只需考虑轨道波函数。在质心系，两 α 粒子(1，2)体系的波函数可以表示
成
ψ (r1 , r2 ) = ψ (r ) = R(r )YLM (θ , ϕ )
K K K
K K
K
（8.13）