误差理论习题及答案

12m 100% 0.008%
150mm
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绪论1-10
相比较可知：第三种方法测量的精
度最高，第一种方法测量的精度最
低。
,
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第二章：误差基本原理 ▪ 知识点: ▪ 1.算术平均值 ▪ 2.标准差及算术平均值的标准差 ▪ 3.测量结果表达方式 ▪ 4.粗大误差判断及剔除
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n(n 1)
(0.00276)2 , 0.008342 0.001342 (0.00276)2 (0.00416)2
5 (5 1)
0.00228
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误差基本原理
对于乙来说
5
乙i
乙

i 1
5
,
72 '25'' 72 '25'' 72 '20 '' 72 '50 '' 72 '45'' 5
pi
v2 xi
i 1
8
(m 1) pi
i 1
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误差基本原理
2-12 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角 各测量五
次，测得值如下：
甲 ： 72'20'' ，, 73'0'' ， 72'35'' ， 72'20'' ， 72'15'' 乙 ： 72'25'' ， 72'25'' ， 72'20'' ， 72'50''， 72'45''
③ 可由测得数据计算得：
10

vi2 ,
i1
4.2107 2.16104 mm
n 1
9
2.16 104 6.83105 mm
x
n
10
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所以
误差基本原理
对①，测量, 结果为：
x x1 3 (26.2025 0.0006)mm
1 0.002282 0.536 0.001672 11.536
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解：（1）加权算术平均值
8
x

i 1 8
pi xi pi
102523 .85 1 101591 .36 2 135786 4 2
i 1
（2）加权算术平均值的标准差
各组残余误差： vx1 x1 x
同理得
vx2 vx8
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则
8
x
x
n
8
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误差基本原理
综上所述，用贝塞尔公式得到的标 准差是0.0212g，别捷尔斯法计算得 到的标准是, 0.02427g、极差法是 0.02109g和最大误差法是0.01941g，
故最大误差法计算的得到的标准差 最小，别捷尔斯法最大。
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2-5 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5 次，测得数据（单位为mm）为20.0015， 20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量 值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测 量结果。
h2 )
g 4 2 ,1.04230＝9.81053m / s2
2.0480
对 g 4 2 (h1 h2 ) 进行全微分，令
T2
h h1 h2
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绪论1-5
并令 g，h，T 代替 dg，dh，dT
得
g

,4 2h
T2

8 2hT
T3
从而
g h 2 T gh T
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绪论1-9
解：火箭射击的相对误差：
0.1 100,00
100%

103%
选手射击的相对误差：
0.02 100% 4102% 50
所以，相比较可见火箭的射击 精度高。
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绪论1-10
1-10 若用两种测量方法测量某零 件的长度L1=110mm，其测量误 差分别为 , 11m和 9m，而用第
试求其测量结果。
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误差基本原理
解：对于甲来说
5
甲i
, 甲
i 1
5
72 ' 20 '' 73'0 '' 72 '35 '' 72 ' 20 '' 72 '15 '' 5
72 '30 ''
7.04116
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误差基本原理
甲
5
vi2
i 1
,
7
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0.0599g
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误差基本原理
算术平均值的标准差是：
0.0599 0.0212g
x n, 8
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误差基本原理
2-3 用别捷尔斯法、极差法和最大误差 法计算习题2-2的标准差，并比较之。
,
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误差基本原理
解：① 别捷尔斯法： n | vi | 1.253 i1 n(n, 1) 1.253 0.02 0.06 0.08 0.09 0.04 0.05 0.04 0.03 87
量结果。② 若重复, 测量10 次，测得值（单位为 mm ）为
26.2025 ，26.2028 ，26.2028 ，26.2025 ，26.2026 ，26.2022 ，
26.2023，26.2025 ，26.2026 ，26.2022 ，试写出测量结果。
③ 若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10 次 重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。
1.253 0.41 56
0.51373 56
0.06865g
0.06865 0.02427g
x
n
8
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误差基本原理
② 极差法：
n xmax xmin , 236.51 236.34
0.17g
查表得
dn d8 2.85
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所以
误差基本原理
lim x t x 2.60 0.0001 0.00026 mm
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测量结果为
L (20.0015 0.00026)mm
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误差基本原理
2-9 已知某仪器测量的标准差为 0.5m 。① 若在该仪器 上，对某一轴径测量一次，测得值为 26.2025mm，试写出测
三种方法测量另一零件的长度L2
=150mm ，其测量误差为12m
试比较三种测量方法精度的高低.
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绪论1-10
解：第一种方法测量的相对误差为：
11m 100% 0.01% 110mm,
第二种方法测量的相对误差为：
9m 100% 0.0082%
110mm
第三种方法测量的相对误差为：
误差基本原理2-2
2-2 测量某物体共8次，测得数据（单
位为g）为236.45，236.37，23.51， 236.34，236,.39，236.48，236.47，
236.40。试求算术平均值及其标准差.
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误差基本原理
解：算术平均值为：
x

1 n
n i1
xi
,
1 (236.45 236.37 236.51 236.34 236.39 236.48 236.47 236.40) 8
72 '33''
7.0425
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误差基本原理
乙
5
vi
i 1
n(n,1)
0.00167
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误差基本原理
所以两个测量者的权是：
P甲 : P乙
1

2
:, 1
2

1 ：1 0.002282 0.001672
0.536
甲
乙
不妨取 P甲 0.536, P乙 1，所以，P甲 P乙 1.536 。
T 为 (2.0480 0.0005)s 。试求
g 及最大相对误差。如果(h1 h2 )
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绪论1-5
测出为(1.04220 0.0005)m ，为了
使g的误差能小于0.001m / s2 ， T 的 测量必须精, 确到多少？
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绪论1-5
解：由 得 g

4
2 (h1 T2
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绪论1-7
解：设微安表的量程为0 ~ Xn ,测量时
指针的指示值为X，微安表的精度等
级为S，最大, 误差≤ X n S%,相对误差≤
，一X n般S% X
，X故当X nX越接近 相对X n
误差就越小，故在使用微安表时，
希望指针在全量程的2/3范围内使用
。
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绪论1-9
1-9 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km, 优秀选手能,在距离50m远处准确射中 直径为2cm的靶心，试评述哪一个射 击精度高？
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误差基本原理
解：① limx 3 3 0.5 1.5m 0.0015mm
测量结果：
x ,

(26.2025

0.0015)mm
②
x

1 n
n i1
xi
26.2025+26.2028+26.2028+26.2025+26.2023+26.2022+26.2023+26.2025+26.2026+26.2022 10
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误差理论习题答疑
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Contents 1. 绪论 2. 误差基本原理 3. 误差的合成与分解 4. 最小二乘法原理
5. 回归分析
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绪论1-4
▪ 1-4 在测量某一长度时，读数值 为
2.31m , 其最大绝对误差为 20um
试求其最大相对误差。
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绪论1-4
▪ 解：最大相对误差≈（最大绝对误 差）/测得值，所以
,
最大相对误差 20106 100%=8.66104 % 2.31
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绪论1-5
1-5
使用凯特摆时，由公式
g

4（2 h1
T2
h2）
给定。今测出长度
,
(h1
h2 )
为
(1.04230 0.00005)m , 振动时间
对② ，测量结果为：
x x 3 (26.2025 0.0002)mm x
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2-10 某时某地由气压表得到的读数（单位为 Pa）为102523.85，102391.30，102257.97， 102124.65，101991.33，101858.01， 101724.69，105191.36，其权各为1，3，5 ，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及 其标准差。
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误差基本原理
P甲甲 P乙乙 1 7.04166 0.536 7.0425 7.0422 72'32''
P甲 P乙
1.536
,

2
Pi
v2 xi
i 1
2
(m 1) Pi
i 1

P 2 甲 x甲

P乙
2 x乙
(2 1)(P甲 P乙)
26.2025mm
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误差基本原理
0.0005 1.58104 mm
x
n
10
lim x

3 x
,3

n

3
0.0005 10

4.74104 mm
测量结果：
x x limx (26.2025 0.0005)mm
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误差基本原理


n
d,n

0.17 2.85
0.05965g
0.05965 0.02109g
x
n
8
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误差基本原理
③ 最大误差法：
查表得
1, Kn'

1 K8'

0.61
所以


|
vi |max K8'
0.09 0.61 0.0549g
0.0549 0.01941g
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绪论1-5
的最大相对误差为：
gmax , hmax 2 Tmax
g
h
T
0.00005 2 0.0005 1.04230 2.0480
5.3625104%
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绪论1-5
由 ，得 g 4 2 (h1 h2 ) T2
所以
T, 4 2h
g
T 4 3.141592 1.04220 2.04790 9.81053
236.43g
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误差基本原理
n
vi2
, i1
n 1
8
vi2
i1 8 1
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误差基本原理
0.022 (0.06)2 0.082 (0.09)2 (0.04)2 0.052 0.042 (0.03)2 7
0.0251
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解：算术平均值
5
x

li
i 1
100.00749 20.0015mm
5
5
标准差
n
vi2
i1 0.0002
n 1
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算术平均值标准差
x


n
0.0002 5
0.0001
在测量值服从正态分布，置信概率为99%时， t=2.60
所以算术平均值的极限误差为
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绪论1-5
由
g h 2 T gh T
有
T max
max{ABS[T ( h max g min )], ABS[T ( h min g max )]}
2h
g
2h
g
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绪论1-7
1-7 为什么在使用微安表时，总希望 指针在全量程的2/3范围内使用？
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