中南财经政法大学微积分上期末复习题

一、填空题：

1、()3201

sin

lim arctan x x x x →= . 2

、lim x →+∞

= . 3、设0x →时，()()

21cos ln 1x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin n x x 是比()21x e -高阶的无穷小，则正整数n = .

4、()f x 二阶可导，()()0

00lim 1x f x f x →'''==，，则()0f 是()f x 的 （填极大值、极小值）。

5、曲线()()2

121arctan 12x x x y e x x +-=⋅+-的水平渐近线为 . 6、设0tan ()lim (1)x tx f t t x

→=+，0t ≠，则()f t '= . 7

≈ （答案请用分数表示）。

8、()

f x =，则0x =是函数的 （填间断点具体类型）。

9、微分方程'2sin 0y y x -=的通解为__________________________________.

10、设()ln 1f x x '=+，且()01f =，则()f x = .

二、计算题：

1. 求极限sin 01lim (ln ).x x x +→

2. ()3

221

.1dx x +⎰

3. 已知()y f x =在(,)-∞+∞连续, 其导函数()f x '的图形如下图所示. 指出()y f x =的极大、极小值点, 并说明理由。

4. 设2()3(ln )f

x y f x e =，其中()f x 可导，求.y ' 5. 已知22ln 40y x y x +-=，求dy .

6. 求.x

7.设()F x 为()f x 的原函数，且当0≥x 时，()()2

x

xe f x F x =. 又已知(0)2F =，()0>F x ，试求()f x .

8. 求极限1.lim()→∞+x x x

三、证明题：

已知函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()00,11f f ==.证明:

(1)存在()0,1ξ∈，使得()1f ξξ=-；

(2)存在两个不同的点(),0,1ηζ∈，使得()()1f f ηζ''=.

四、应用题：

某产品的成本函数2()C Q aQ bQ c =++，需求函数为1()Q d P e

=-，其中C 为成本，Q 为需求量（即产量），P 为单价；,,,,a b c d e 为正数，且d b >. 试求：（1）产量为何值时利润最大；

（2）价格取何值时，商品的需求弹性为单位弹性，并说明其经济含义。

()

y f x '=1-0.31 1.5

复习题答案

一、1. 0 2. 12

3. 2

4.极小值

5. 4y π=

6. 21t +

7. 299300

8. 跳跃间断点 9. 2cos x y Ce -=（C 为任意实数） 10. ()x f x e x =+ 二、1. 1 2.

C +

3. 1=-x 为极大值点；0.3=x 为极小值点

4. 2()2()2331(ln )2ln (ln )3()()f x f x f x x e f x e f x f x x

''⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 5. 2

2ln y dy dx xy x

=-.

6. 2arcsin u C C +=

7. ()

x f x =

8. 1

三、略

四、（1）2()d b Q e a -=

+当时，利润最大. （2）2

d P =时,商品需求为单位弹性的. 经济含义为：当价格为2

=d P 时,价格上涨（下降）1%，需求降低（增加）1%.