平面汇交力系

已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求： 光滑螺柱A、B所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
FA M1
A M1
Mi 0
M1
l
FAl M1 M2 M3 0
解得
B
FB
FA

FB

M1
M2 l

M3

200N
单位N.m或kN.m
力矩的符号 MO F 力偶矩的符号 M
二. 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
2.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 3.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的 改变而改变.
4.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短， 对刚体的作用效果不变.
所以 FCD 17.7 kN
取CD分析
二力杆(受拉) D
FDC
FCD C
G
E
40
C
Dθ
20
A
B
FDC FCD FCD 17.7N (无需分析)
取D点分析
Fx 0
y
FDG cos FDC cos 20 0
FDG
Dθ
Fy 0
20
FDC
PB
x
FDG sin FDC sin 20 PB 0
第四节 平面汇交力系和平面力偶系
§4-1 平面汇交力系合成与平衡
平面汇交力系是指力系中各力的作用线或者作用 线的延长线位于一个平面内，并且相交于一点. 合成就是指要用一个合力去等效替换这个复杂 的力系.
F
AP
B
FA
F
一.多个汇交力的合成的几何法
公理 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合
=
=
=
=
三.平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系可以简化成一个合力偶，合力偶等于各个分力 偶的代数和。
平衡条件：
n
M Mi Mi
i 1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
例5 钢板由A、B两处的螺柱固定。
移项,两式相比得 tan 2.77 70.1
小结:求解平面汇交力系问题得一般步骤是:
1.取研究对象. 2.画受力图,建立坐标系. 3.把各个分力向坐标轴上投影,建立平衡方程. 4.联立求解方程组,解未知量. 5.如果取一次研究对象无法求解所需的量,就重复以上步骤.
注意: 1.最好建立一个方程求解出一个未知量,避免求解联立方程组. 2.未知力都假设受拉.
例6: 图示连杆机构， M1 1N m,
OA 0.4m,
B
求：M2和AB杆受力。
解：先分析AB杆为二力杆，假设受拉
力。则OA杆受力图为
Mi 0
FA
A
M1 30
M2
O1
FA OAsin 30 M1 0 O
M1 FO
所以 FA 5N (拉力）
O1B

0.6m
A
30
FR FRx FRy
合矢量投影定理:合矢量在某轴上的投影,等于各个 分矢量在该轴上投影的代数和.
FRx F1x F2x Fnx Fix FRy F1y F2 y Fny Fiy
合力的大小为：
FR FRx2 FRy2
§4-2 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力对点之矩（力矩） 力对刚体的作用效果
使刚体的运动状态改变
移动
转动
力矢
力矩
O称为矩心，O到力的作用 线的垂直距离h称为力臂
力矩两个要素：
1.大小：力F与力臂的乘积
r称为矢径
2.方向：矢量方向和转动方向
MO
MO
F
F
F h

r
O
M1
B
FB
再分析O1B杆
Mi 0 FB O1B M2 0
所以 M2 3N m
M2
FO1
O1
思考题
从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子 上的力P为什么能与M平衡呢？
M
OR
FO
P
思考题
刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形， 如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组 成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
由两个等值、反向、平行不共线的力组成的
力系称为力偶，记作
F,F
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂d 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向 M F d 2 1 F d 2ABC
2 力偶矩用M表示
例3 在图示的绳索结构中, 已知A物块重20N,B物块
重40N,求系统平衡时的 θ角.
解:取CD点分析？
y
FCE
FCD
40
20
C
x
PA
G
E
40
C
Dθ
20
A
B
Fx 0
FCD cos 20 FCE cos 40 0
Fy 0
FCD sin 20 FCE sin 40 PA 0
三.平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
FR Fx 2Fy 2
Fx 0
平衡方程
Fy 0
平面汇交力系平衡的解析条件为:力系中各分力在 两个轴上的投影的代数和分别为零.
例2 已知重物P=20kN,
A
不计杆重以及滑轮尺寸,
C
求杆AB和BC的受力. θ 30
求: MO F.
解: 直接按定义
M F F h F r cosθ O 78.93N m
按合力矩定理



M O F M O Fx M O Fy
r O
h

Fx
F
Fy
F cos θ r 78.93N m
三.力偶和力偶矩 1.力偶
F1
B
F2
A
F4
D
C F3


r
Fn
即
M
O
FR



M
O
Fi

对于平面汇交力系，各力对O点的矩均垂至于纸面（z轴方向）， 故可简化为代数量。


MO FR MO Fi
平面汇交力系的合力对平面上一点的矩，等于各分力对同一点 矩的代数和——合力矩定理
例4
已知: F=1400N, θ 20, r 60mm
平面汇交力系平衡的必要和充分的 几何条件是：该力系的力多边形自封闭.
二 平面汇交力系合成与平衡的解析法
力在坐标轴上的投影 y
Fy
F

O
Fx x
F F cosθ x
Fy F sin
F Fx Fy
设 FR为平面汇交力系 F1, F2, , Fn 的合力,则
力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
力三角形
力三角形
两个共点力的合成
F1
FR
A
F2
FR F1 F2
F1
FR
A
F2
力三角形不唯一
多个共点力的合成 力的多边形法则
D 力
FR
多 C边
F3 F2
FR12
形 不 唯
A
F1 B
一
D
F3F2
F Ry

F iy

F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
F F 2 F 2 171.3N
R
Rx
Ry

cos FRx 0.7548
FR F cos β Ry 0.6556 F
R
40.99, β 49.01
解: 取B点分析 (假设均受拉)
B
θ θ
P D
Fy 0
FBC sin 30 FBD cos 30 P 0 FAB
y B
所以 FBC 74.64kN(压)
Fx 0
θ
x
FBC
θ
FAB FBC cos 30 FBD sin 30 0 FBD
P
所以 FAB 54.64kN(拉)
F
力对点之矩（力矩）在平面问题里是一个代数量，它的绝对
值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时 针转向时为证，反之为负.常用单位N.m或kN.m
二、汇交力系的合力矩定理


FR Fi F1 F2 Fn
r
FR

r
F1

r
F2
FR C
FR13
A
F1 B
FR12 F1 F2
3
FR FR12 F3 Fi i 1
3

FR Fi Fi
i 1
求合力,只需依次平移各力,使其首尾相接,最后画出封闭边即可.
平面汇交力系平衡的几何条件

平衡
FR 0


FR Fi 0
Fix 2 Fiy 2
Fx 2 Fy 2
方向为：
cos FR ,i

Fx
FR
cos FR ,
j
Fy
FR
作用点为力的汇交点.
例1 已知：图示平面共点力系；求：此力系的合力.
解：用解析法 FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N