平面汇交力系的合成与平衡的几何法和解析法PPT课件
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第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
第二章平面汇交力系ppt课件
⑴选箱盖为研究对象， 画它的受力图
⑵三个力必汇交于吊环 中心A。
⑶画力三角形
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
a TAC
30° W 45° c
b
TAB
如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:
O
F1
A
O
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)平面汇交力系的合成:
应用力的多边形法则:
设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示)
R RX 2 RY2 (417)20(275)20500N0
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
⑵合力的方向:
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
⑴ 按比例先画出封闭的力多边形 ⑵ 用尺和量角器在图上直接量得所要求的
未知量
也可采用数解法，即根据图形的边角关系， 用三角公式计算出所要求的未知量。
例1 起重机吊起的减速箱盖重W＝900 N， 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 α＝45°， β ＝30°试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
《工程汇交力系》PPT课件
n
n
n
FR Fxi i Fyi j Fzi k
(a)
i1
i1
i1
合力
FR FRx i FRy j FRz k
(b)
FRx 、FRy 、FRz分别为合力 FR在x、y、z轴上的投影
比较(a)、(b)可得
FRx Fx FRy Fy
即空间汇交力系的合力 在任一坐标轴上的投影，等 于各力在同一轴上投影的代
过汇交点，合力的力矢由力多边形的封闭边表示。 矢量式为
n
FR F1 F2 Fn Fi 简写为 FR F i 1
二、汇交力系平衡的几何条件
汇交力系合成结果为一合力，因此，汇交力系作用下刚 体平衡的必要充分条件是力系的合力等于零。矢量形式为
平衡
FR F 0
汇交力系的合力
n
FR Fi i1
将各分力表示为
Fi Fxi i Fyi j Fzi k
Fxi 、Fyi F、zi 分别为第i个分力
在x、y、z轴上的投影
n
n
n
可得
FR Fxi i Fyi j Fzi k
(a)
i1
i1
i1
三、汇交力系合成的解析法
Fx 0 Fy 0
FOC
3 5
FBC
2 0 2
FOC
4 5
FAC
4 5
0
Fz 0
P
FAC
3 5
FBC
2 0 2
x
例4 杆OC的0端由球铰支承，C端由
绳索AC及BC系住，使杆 OC处于水平位 置如图所示。若在C点悬挂重为P＝ 1kN的重物，略去杆OC的重量，试求 两绳的拉力及杆OC的力。
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
理论力学课件-平面汇交力系
o
9
（2）确定合力的大小和方向 ）
FR = FRx 2 + FRy 2 = 129.32 + 112.32 N = 171.3N
FRx ∑ Fix 129.3 cos α = = = = 0.7548 FR FR 171.3
cos β =
FRy FR
∑F =
FR
ix
112.3 = = 0.6556 171.3
FAC
2 4 = P−F⋅ 5 3
FBC
3 1 4 = F− P−F⋅ 5 5 3
为使两根绳索保持张紧， 为使两根绳索保持张紧，则 FAC > 0，且 FBC > 0 由此得到F 的取值范围为: 由此得到 的取值范围为 290.34 N < F < 667.5 N
17
y
：（1） 解：（ ）计算合力的投影 由合力投影定理，得合力的投影 由合力投影定理，
F2
60 45o
o
FR F 1
30o
45o
x
F4
F3
o o o
FRx = F1 cos 30 − F2 cos 60 − F3 cos 45 + F4 cos 45 = 129.3N
FRy = F1 sin 30o + F2 sin 60o − F3 sin 45o − F4 sin 45o = 112.3N
F = Fx + Fy = Fx i + Fy j
6
二、合力投影定理
y
d2 c2 e2 b2 a2
d
c
F2
F3
F4
e
FR
FR x = F x + F2x + F x + F4x 1 3
平面汇交力系的合成与平衡的几何法和解析法
Fx2 Fy2
cosb Fy
Fx2 Fy2
式中cosa 和cosb 称为力 F的方向余弦。
理论力学电子教案
平面汇交力系
14
思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力 F沿 x、y 轴方向的分力的大小与力 F在x、y 轴上的投影的大
小是否相等？
理论力学电子教案
平面汇交力系
15
2. 合力投影定理
理论力学电子教案
平面汇交力系
26
思 考 题 2- 4
如图所示，匀速起吊 重为 P的预制梁，如果
要求绳索AB、BC 的拉力 不超过 0.6P ，问a 角应在
什么范围内？
答：P
2sina
≤0.6P
56.4°≤a < 90°
理论力学电子教案
平面汇交力系
27
第2章结束
平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
理论力学电子教案
平面汇交力系
3
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。F RF 1F 2F 3
F RF 1 F 2...F n F i
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。
x1 ab , x2 bc ,FRx ac FRx x1 x2 同理
FRy y1 y2 推广之
FRxx1x2xn FRy y1y2yn
理论力学电子教案
平面汇交力系
16
3. 合成
F RF Rx2F Ry2
tan a FR y
FR x
cosb Fy
Fx2 Fy2
式中cosa 和cosb 称为力 F的方向余弦。
理论力学电子教案
平面汇交力系
14
思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力 F沿 x、y 轴方向的分力的大小与力 F在x、y 轴上的投影的大
小是否相等？
理论力学电子教案
平面汇交力系
15
2. 合力投影定理
理论力学电子教案
平面汇交力系
26
思 考 题 2- 4
如图所示，匀速起吊 重为 P的预制梁，如果
要求绳索AB、BC 的拉力 不超过 0.6P ，问a 角应在
什么范围内？
答：P
2sina
≤0.6P
56.4°≤a < 90°
理论力学电子教案
平面汇交力系
27
第2章结束
平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
理论力学电子教案
平面汇交力系
3
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。F RF 1F 2F 3
F RF 1 F 2...F n F i
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。
x1 ab , x2 bc ,FRx ac FRx x1 x2 同理
FRy y1 y2 推广之
FRxx1x2xn FRy y1y2yn
理论力学电子教案
平面汇交力系
16
3. 合成
F RF Rx2F Ry2
tan a FR y
FR x
平面汇交力系课件-PPT
5
c F3 d
2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件 F2
F4 e
b
平衡条件 Fi 0
F1
FR
a
平面汇交力系平衡的必要和充衡的情形下，力多边形中最后一力的终 点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要 与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这 是平衡的几何条件。
各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。
4
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小 与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线 通过汇交点。 用矢量式表示为：
FR F1 F2 Fn F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。
2.2.3 平面汇交力系合成的解析法
合力的大小为： F F 2 F 2
R
Rx
Ry
tan FRy Fy
FRx
Fx
14
例2-3
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力.
解：用解析法
F Rx
F ix
F cos 30 1
F 2
cos 60
F 3
cos 45
F 4
cos 45
129.3N
平衡方程
Fx 0
Fy 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个坐标轴上投影的代数和等于零。上式称 为平面汇交力系的平衡方程。
16
例2-4 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB,BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图. 建图示坐标系
10
c F3 d
2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件 F2
F4 e
b
平衡条件 Fi 0
F1
FR
a
平面汇交力系平衡的必要和充衡的情形下，力多边形中最后一力的终 点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要 与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这 是平衡的几何条件。
各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。
4
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小 与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线 通过汇交点。 用矢量式表示为：
FR F1 F2 Fn F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。
2.2.3 平面汇交力系合成的解析法
合力的大小为： F F 2 F 2
R
Rx
Ry
tan FRy Fy
FRx
Fx
14
例2-3
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力.
解：用解析法
F Rx
F ix
F cos 30 1
F 2
cos 60
F 3
cos 45
F 4
cos 45
129.3N
平衡方程
Fx 0
Fy 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个坐标轴上投影的代数和等于零。上式称 为平面汇交力系的平衡方程。
16
例2-4 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB,BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图. 建图示坐标系
10
理论力学课件 4.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
各力的作用线都汇交于一点的力系。可分为空间汇交 力系和平面汇交力系。
合力
多个力汇交于一点，如果能用一个力来等效替换， 此力称为合力。简言之：如果一个力与某一力系等 效，则称此力为该力系的合力。
平面汇交力系和平面力偶系
（1）两个共点力的合成
力三角形规则
尾 首
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
注意：力三角形规则求出的是合力的大小与方向， 作用点仍在交汇点。
力多边形规则 力多边形 不唯一
注意：力多边形规则求出的是合力的大小与方向， 作用点仍在交汇点。
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
（3）汇交力系平衡的几何条件
å 平衡条件 FR = Fi = 0
汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭 平衡的几何条件
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
本讲主要内容
1、平面汇交力系合成与平衡的几何法 2、平面汇交力系合成与平衡的解析法 3、平面力对点的矩和平面力偶 4、平面力偶系的合成和平衡条件
平面汇交力系和平面力偶系
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
汇交力系
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
解：CD为二力杆，取AB杆为研究对象，画受力图
E
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
FA θ
FC 45°
F
A
C
B
汇交力系，利用平衡的几何条件，画封闭的力三角形.
c
b
FA
a
θ
FC
F 45°bF源自FCaFA c
平面汇交力系课件PPT
物体在平面上匀速运动
当物体在平面上匀速运动时，受到的 牵引力和阻力可以构成一个平面汇交 力系。
02
平面汇交力系的合成与平衡
合成法则
平面汇交力系合成的几何法
利用力的平行四边形法则，通过几何作图将多个力合成一个 或几个力的过程。
平面汇交力系合成的解析法
通过数学解析的方式，将多个力的矢量合成表示为一个或几 个矢量的过程。
比较测力计读数与理 论值，分析误差产生 的原因。
THANKS
感谢观看
03
平面汇交力系的应用
工程实例分析
桥梁受力分析
通过平面汇交力系分析桥 梁在不同负载下的受力情 况，确保桥梁安全。
建筑结构稳定性
利用平面汇交力系分析建 筑结构的稳定性，预防因 受力不均导致的结构破坏 。
机械零件强度评估
通过平面汇交力系分析机 械零件在各种工况下的受 力情况，确保零件的强度 和可靠性。
特点
01
02
03
力系平衡
平面汇交力系可以处于平 衡状态，即所有力的矢量 和为零。
力的方向
平面汇交力系的各个力的 方向都在同一平面内，且 相交于一点。
力的作用点
平面汇交力系的各个力的 作用点都在同一平面内， 且相交于一点。
实例
物体在平面上静止
当物体在平面上静止时，受到的重力 和支持力可以构成一个平面汇交力系 。
力的分解与合成
力的正交分解
将一个力分解为两个相互垂直的分力 ，便于分析受力情况。
力的合成
根据力的作用效果，将多个分力合成 一个合力，简化受力分析。
力矩的计算
力矩的定义
力矩的计算公式
力矩是力和力臂的乘积，表示力对物 体转动效果的量度。
当物体在平面上匀速运动时，受到的 牵引力和阻力可以构成一个平面汇交 力系。
02
平面汇交力系的合成与平衡
合成法则
平面汇交力系合成的几何法
利用力的平行四边形法则，通过几何作图将多个力合成一个 或几个力的过程。
平面汇交力系合成的解析法
通过数学解析的方式，将多个力的矢量合成表示为一个或几 个矢量的过程。
比较测力计读数与理 论值，分析误差产生 的原因。
THANKS
感谢观看
03
平面汇交力系的应用
工程实例分析
桥梁受力分析
通过平面汇交力系分析桥 梁在不同负载下的受力情 况，确保桥梁安全。
建筑结构稳定性
利用平面汇交力系分析建 筑结构的稳定性，预防因 受力不均导致的结构破坏 。
机械零件强度评估
通过平面汇交力系分析机 械零件在各种工况下的受 力情况，确保零件的强度 和可靠性。
特点
01
02
03
力系平衡
平面汇交力系可以处于平 衡状态，即所有力的矢量 和为零。
力的方向
平面汇交力系的各个力的 方向都在同一平面内，且 相交于一点。
力的作用点
平面汇交力系的各个力的 作用点都在同一平面内， 且相交于一点。
实例
物体在平面上静止
当物体在平面上静止时，受到的重力 和支持力可以构成一个平面汇交力系 。
力的分解与合成
力的正交分解
将一个力分解为两个相互垂直的分力 ，便于分析受力情况。
力的合成
根据力的作用效果，将多个分力合成 一个合力，简化受力分析。
力矩的计算
力矩的定义
力矩的计算公式
力矩是力和力臂的乘积，表示力对物 体转动效果的量度。
平面汇交力系的合成与平衡
1.2 平面汇交力系的平衡条件及应用
一、平衡的几何条件
F3 F4
F2 F1
F3 F4
F2 F1
{F1, F2 ,, Fn} {FR} {0}
FR F
FR F 0
平面汇交力系平衡的充要 条件是该力系的力多边形 自行封闭。
二、平衡的解析条件
FRx Fx 0
FRy
Fy 0
❖ 平面共点力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知数。
（3）合力投影定理
❖合力在某一直角坐标轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数 和。
FRx =Fx1+Fx2 + Fxn Fxi FRy =Fy1+Fy2 + Fyn Fyi
（4）平面汇交力系合成的解析法步骤
❖ 建立适当的坐标系 ❖ 求出各力的投影 ❖ 求出两轴上投影的代数和 （参见课本例1.9）
机械制造基础
F1
2、任意个汇交力的合成
设 {F1, F2, F3}为作用在A点的力系
F3 F2
A
F1
F3
F2 F1
FR12 F1 F2 FR FR12 F3
力多边形法
F3
F2 F1
FR F1 F2 F3
合力为力多边形的封闭边
思考：改变力的合成顺序会怎样？ 力的多边形一定是平面图形么？
总结：平面汇交力系合成的结果是一 个合力，合力的作用线通过力系的汇 交点，合力的大小和方向由力多边形 的封闭边表示。
2、平面汇交力系合成的解析法
❖ （1）力的分解
力的分解是力的合成的逆 过程，一般将一个力正交 分解为沿两个互相垂直的 坐标轴的分力。
（2 Fx = Fcos Fy = Fsin
平面汇交力系
2 平面汇交力系
1
2 平面汇交力系
主要内容
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡—几何法 §2–2 力在坐标轴上的投影
§2–3 平面汇交力系的合成与平衡—解析法
2
平面汇交力系： 各力的作用线位于同一平面内且汇交 于一点的力系。 F
1
研究方法： 几何法 解析法 解析法
汇交点
F2
F3
平面汇交力系
3
§2-1 平面汇交力系合成 与平衡—几何法
C
4）联立求解：
F 5 FA F , FD 2 2
5a
FD
D x
FA
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反， FD为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。
例2-6 图示为一管道支架，由AB与CD杆组成，管道
通过拉杆悬挂在水平面杆AB的B端，每个支架 负担的管道重为2 kN，不计杆重。求杆CD所 受的力和支座A的约束力。
FRx F1x F2 x Fnx Fix Fx i 1 n FRy F1 y F2 y Fny Fiy Fy i 1 n FRz F1z F2 z Fnz Fiz Fz i 1
注意力的投影与力的分量之间的 区别与联系
F=Fxi+Fyj
10
§2-3
平面汇交力系的合成 与平衡—解析法
一、合力投影定理
以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力
F1、F2,并用几何法画出其合力。
F1
B y B F 2 F1 C
O
A
F2
O
A
FR
x
各力在x轴上投影：
FRx ac, F1x ab, F2x bc
1
2 平面汇交力系
主要内容
§2–1 平面汇交力系的合成与平衡—几何法 §2–2 力在坐标轴上的投影
§2–3 平面汇交力系的合成与平衡—解析法
2
平面汇交力系： 各力的作用线位于同一平面内且汇交 于一点的力系。 F
1
研究方法： 几何法 解析法 解析法
汇交点
F2
F3
平面汇交力系
3
§2-1 平面汇交力系合成 与平衡—几何法
C
4）联立求解：
F 5 FA F , FD 2 2
5a
FD
D x
FA
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反， FD为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。
例2-6 图示为一管道支架，由AB与CD杆组成，管道
通过拉杆悬挂在水平面杆AB的B端，每个支架 负担的管道重为2 kN，不计杆重。求杆CD所 受的力和支座A的约束力。
FRx F1x F2 x Fnx Fix Fx i 1 n FRy F1 y F2 y Fny Fiy Fy i 1 n FRz F1z F2 z Fnz Fiz Fz i 1
注意力的投影与力的分量之间的 区别与联系
F=Fxi+Fyj
10
§2-3
平面汇交力系的合成 与平衡—解析法
一、合力投影定理
以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力
F1、F2,并用几何法画出其合力。
F1
B y B F 2 F1 C
O
A
F2
O
A
FR
x
各力在x轴上投影：
FRx ac, F1x ab, F2x bc
《平面力系》PPT课件_OK
解力三角形：
FN
F
cos
又：
cos
R2
(Rh)2 R
1 R
h(2Rh)
FN
FR h (2R h)
9
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
P FN sin
又sin
Rh R
FN FN
FNB= 0时为
球离开地面
P FN sin
F R R h P F(Rh)
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则
M o (F , F ) M o (F ) M o (F ) F(x d) Fx Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
记为M（F，F′） 简记为M。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
F x 0 RA cos SCD cos 450 0
F y 0 PRAsin SCD sin450 0
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
M Fd 2 AABC
力偶矩的单位：N·m。
Fix 0 Fiy 0
称为平面汇交力系的平衡方程。
14
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
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平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
理论力学电子教案
平面汇交力系
3
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。FR
F1 F2 F3
FR F1F2 ... Fn Fi
理论力学电子教案
平面汇交力系
20
பைடு நூலகம்
例 题 2- 3
由于求出的
FAB
和
FCB都是正值，所以原先假设
的方向是正确的，即 BC 杆承受拉力，AB 杆承受压
力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与
原假定的方向相反。
理论力学电子教案
平面汇交力系
21
注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个 未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴 上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数， 不必解联立方程。如在下例中
但是当Ox、Oy 两轴不正
交时，则没有这个关系。
理论力学电子教案
平面汇交力系
13
注意：力的投影是代数量，而力的分量是矢量； 投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。 Fy,则反力之F， 的若大已小知和力方F向在为两：正交坐标轴上的投影为Fx、
F Fx2 Fy2
cos Fx
Fx2
F
2 y
cos Fy
理论力学电子教案
平面汇交力系
4
2. 平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，
即:
FR=0 ；在几何法中，合力为零即为力多边形自
行封闭。
理论力学电子教案
平面汇交力系
5
3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交 于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。
x1 ab , x2 bc , FRx ac FRx x1 x2 同理
FRy y1 y2 推广之
FRx x1 x2 xn FRy y1 y2 yn
理论力学电子教案
平面汇交力系
16
3. 合成
FR FR x 2 FR y 2
tan FR y
FR x
FRx Fx
P
2 cos
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b 为锐角时，Fx、Fy 均为 正值；当a、b 为钝角时，Fx、Fy 为负值。故力在坐
标轴上的投影是个代数量。
理论力学电子教案
平面汇交力系
12
而如将力 F沿正交的
x、y 坐标轴方向分解，则 所 小得与分 力力F在相Fx应、轴Fy上的的大投 影Fx、Fy的绝对值相等。
有三个力：重力 P；BC 杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力 FAB（设为压力），列出平衡方程
Fx 0, FCBcos 30 FABcos 45 0 Fy 0, P FCBsin 30 FABsin 45 0
P mg 联立上述两方程，解得：
FAB= 88.0 N， FCB= 71.8 N。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 个未知量。
理论力学电子教案
平面汇交力系
18
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬 挂在支架铰接点 B 处，A、 C 为固定铰支座，杆件
位置如图示，略去支架 杆件重量，求重物处于
平衡时， 杆AB、BC所受
的力。
理论力学电子教案
平面汇交力系
19
例 题 2- 3 解：取铰B为研究对象，其上作用
A
FR y
F y
应用合力投影定理，用解析计算的方法求合力 的大小和方向，称为解析法。
理论力学电子教案
平面汇交力系
17
4. 平衡
FR FR x 2 FR y 2 0
FRx Fx 0
A
FR y
F 0 y
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在
x轴和y轴上的投影之代数和均等于零。
理论力学电子教案
例 题 2- 1
平面汇交力系
6
利用三力平衡汇交定理确定铰A
处约束力的方位。
理论力学电子教案
平面汇交力系
7
思 考 题 2- 1
试指出图示各力之间的关系。
(a)
(b)
(c)
(d)
理论力学电子教案
平面汇交力系
8
例 题 2- 2
水平梁 AB 中点 C 作用着力 F，其大小等于 20 kN，方向与梁的轴线成 60º角，支承情况如图所 示。试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的约束 力。梁的自重不计。
Fx2
F
2 y
式中cos 和cos 称为力 F的方向余弦。
理论力学电子教案
平面汇交力系
14
思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力 F沿 x、y 轴方向的分力的大小与力 F在x、y 轴上的投影的大 小是否相等？
理论力学电子教案
平面汇交力系
15
2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。
理论力学电子教案
平面汇交力系
1
第 2 章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
理论力学电子教案
平面汇交力系
2
平面汇交力系的定义：
若力系中各力的作用线在同一平面内且相交于 一点的力系，称为平面汇交力系。
刚体静力学中平面汇交力系可以简化为平面共 点力系。 本章研究的两个问题：
理论力学电子教案
平面汇交力系
9
例 题 2- 2
解：1. 取梁AB为研究对象。
2. 根据三力平衡汇交定理 画出受力图。 3. 选定合适的比例尺作出 相应的力三角形。
4. 由力三角形中量出：
FA = 17.0 kN ， FB = 10.0 kN
它们的方向如图所示。 可见用几何法可以求解两个未知量。
理论力学电子教案
图(a)
图(b) 这样建立坐标系 FT 和FN相互耦合
图(c) ∑Fx=0, FT－P ·sin30°=0 可求得FT
理论力学电子教案
平面汇交力系
22
思 考 题 2- 3
重量为 P 的钢管C 搁在斜槽中，如图所示。试 问平衡时是否有 FA = P cosq，FB = P cosq ？为什么？
答：FA
平面汇交力系
10
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
图(a)平行光线照射 下物体的影子
图(b)力在坐标轴 上的投影
理论力学电子教案
平面汇交力系
11
由图知，若已知力 的
大小为F 及其与x轴、y轴的 夹角分别为a、b，则
Fx F cos Fy F cos F sin
研究方法： 几何法和解析法。
理论力学电子教案
平面汇交力系
3
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。FR
F1 F2 F3
FR F1F2 ... Fn Fi
理论力学电子教案
平面汇交力系
20
பைடு நூலகம்
例 题 2- 3
由于求出的
FAB
和
FCB都是正值，所以原先假设
的方向是正确的，即 BC 杆承受拉力，AB 杆承受压
力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与
原假定的方向相反。
理论力学电子教案
平面汇交力系
21
注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个 未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴 上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数， 不必解联立方程。如在下例中
但是当Ox、Oy 两轴不正
交时，则没有这个关系。
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平面汇交力系
13
注意：力的投影是代数量，而力的分量是矢量； 投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。 Fy,则反力之F， 的若大已小知和力方F向在为两：正交坐标轴上的投影为Fx、
F Fx2 Fy2
cos Fx
Fx2
F
2 y
cos Fy
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平面汇交力系
4
2. 平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，
即:
FR=0 ；在几何法中，合力为零即为力多边形自
行封闭。
理论力学电子教案
平面汇交力系
5
3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交 于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。
x1 ab , x2 bc , FRx ac FRx x1 x2 同理
FRy y1 y2 推广之
FRx x1 x2 xn FRy y1 y2 yn
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平面汇交力系
16
3. 合成
FR FR x 2 FR y 2
tan FR y
FR x
FRx Fx
P
2 cos
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b 为锐角时，Fx、Fy 均为 正值；当a、b 为钝角时，Fx、Fy 为负值。故力在坐
标轴上的投影是个代数量。
理论力学电子教案
平面汇交力系
12
而如将力 F沿正交的
x、y 坐标轴方向分解，则 所 小得与分 力力F在相Fx应、轴Fy上的的大投 影Fx、Fy的绝对值相等。
有三个力：重力 P；BC 杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力 FAB（设为压力），列出平衡方程
Fx 0, FCBcos 30 FABcos 45 0 Fy 0, P FCBsin 30 FABsin 45 0
P mg 联立上述两方程，解得：
FAB= 88.0 N， FCB= 71.8 N。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 个未知量。
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平面汇交力系
18
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬 挂在支架铰接点 B 处，A、 C 为固定铰支座，杆件
位置如图示，略去支架 杆件重量，求重物处于
平衡时， 杆AB、BC所受
的力。
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平面汇交力系
19
例 题 2- 3 解：取铰B为研究对象，其上作用
A
FR y
F y
应用合力投影定理，用解析计算的方法求合力 的大小和方向，称为解析法。
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4. 平衡
FR FR x 2 FR y 2 0
FRx Fx 0
A
FR y
F 0 y
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在
x轴和y轴上的投影之代数和均等于零。
理论力学电子教案
例 题 2- 1
平面汇交力系
6
利用三力平衡汇交定理确定铰A
处约束力的方位。
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平面汇交力系
7
思 考 题 2- 1
试指出图示各力之间的关系。
(a)
(b)
(c)
(d)
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8
例 题 2- 2
水平梁 AB 中点 C 作用着力 F，其大小等于 20 kN，方向与梁的轴线成 60º角，支承情况如图所 示。试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的约束 力。梁的自重不计。
Fx2
F
2 y
式中cos 和cos 称为力 F的方向余弦。
理论力学电子教案
平面汇交力系
14
思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力 F沿 x、y 轴方向的分力的大小与力 F在x、y 轴上的投影的大 小是否相等？
理论力学电子教案
平面汇交力系
15
2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。
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平面汇交力系
1
第 2 章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
理论力学电子教案
平面汇交力系
2
平面汇交力系的定义：
若力系中各力的作用线在同一平面内且相交于 一点的力系，称为平面汇交力系。
刚体静力学中平面汇交力系可以简化为平面共 点力系。 本章研究的两个问题：
理论力学电子教案
平面汇交力系
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例 题 2- 2
解：1. 取梁AB为研究对象。
2. 根据三力平衡汇交定理 画出受力图。 3. 选定合适的比例尺作出 相应的力三角形。
4. 由力三角形中量出：
FA = 17.0 kN ， FB = 10.0 kN
它们的方向如图所示。 可见用几何法可以求解两个未知量。
理论力学电子教案
图(a)
图(b) 这样建立坐标系 FT 和FN相互耦合
图(c) ∑Fx=0, FT－P ·sin30°=0 可求得FT
理论力学电子教案
平面汇交力系
22
思 考 题 2- 3
重量为 P 的钢管C 搁在斜槽中，如图所示。试 问平衡时是否有 FA = P cosq，FB = P cosq ？为什么？
答：FA
平面汇交力系
10
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
图(a)平行光线照射 下物体的影子
图(b)力在坐标轴 上的投影
理论力学电子教案
平面汇交力系
11
由图知，若已知力 的
大小为F 及其与x轴、y轴的 夹角分别为a、b，则
Fx F cos Fy F cos F sin