4.2.2圆与圆的位置关系
第二十八课时_4.2.2_圆与圆的位置关系
两个圆没有公共点，并且一个圆上 的点都在另一个圆的内部时，叫做这 两个圆 内含
两圆同心是两圆内含的一种特例
圆与圆的位置关系 : (d为两圆心间距离，即圆心距)
1、圆和圆相离 2、圆和圆外切 3、圆和圆相交
4、圆和圆内切
C1
C2
d r1 r2
公切线 条数 4条 3条
C
1
C2
d r1 r2
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
代数方法
( x a1 ) 2 ( y b1 ) 2 r12 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 2 2 2
消去y（或x）
圆心距d （两点间距离公式）
px 2 qx r 0
比较d和r1，r2的 大小，下结论
4.2.2 圆与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 1、直线和圆相离 2、直线和圆相切
判定方法
C2
d r
0
C2
d r
d r
0 0
3、直线和圆相交
C2
直线和圆的位置关系
几何方法
类比
猜想
代数圆没有公共点，并且每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
| r1 r2 | d r1 r2
C
1
C2
2条
C1
C2
| r1 r2 | d | r1 r2 | d
1条
5、圆和圆内含
C1
C2
0条
判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
外离
外切 相交 内切
4.2.2圆与圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系【学习目标】掌握圆与圆的位置关系及判定方法．【学习重难点】重点：圆与圆的位置关系的判断难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )2．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )A．外离 B．相交 C．内切 D．外切3．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D4．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．【合作探究】（一）圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含。
判断方法：方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解。
方法二：依据圆心距与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系：（二）你能两种判断圆与圆的位置关系的数学思想解决例3的问题吗？（教材中的例3）体会判断圆与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系．【巩固练习】完成教科书练习题【当堂检测】1．直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交且不过圆心 D．相交且过圆心2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对3．若点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a>0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是( )A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交4．已知圆x2＋y2－2kx－2y＝0与直线x＋y＝2k相切，则k等于( )A．2 B．－2 C．1 D．－15．直线3x＋4y＋1＝0与圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9的位置关系为________．6．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．【拓展延伸】求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．【课堂小结】学生思考：（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？【课外作业】习题4.2第3、4题【教学反思】。
4.2.2圆与圆位置关系
例:已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y24x-4y-1=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法一： 把圆C1和圆C2的方程化为标准方程： 2 2 2 C1 : ( x 1) ( y 4) 5
C2 : ( x 2) ( y 2) 3 C1的圆心 (1,4), 半径为 r1 5
消去y（或x）
圆心距d （两点间距离公式）
px 2 qx r 0
比较d和r1，r2的 大小，下结论
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
课堂小结
圆和圆的五种位置关系
(1)相离
没有公共点
(2)相切
有一个公共点
(3)相交
两个公共点
d>R+r 内含 d<R-r 内切 d=R-r 外切 d=R+r R-r <d<R+r
px 2 qx r 0
比较d和r1，r2的 大小，下结论
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
反思
几何方法 判断两圆位置关系 代数方法
各有何优劣，如何选用？
几何方法直观，但不能 求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判 圆的位置关系。
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 A(x1,y1),B(x2,y2) 即(3,-1) ,(-1,1)
请你求公共弦所在直线方程
例4.已知两圆C1: x2＋y2－4x＋2y＝0和 圆C2: x2＋y2－2y－4＝0的交点为A、B，
(1) 求AB的长；
(2) 求过A、B两点且圆心在直线
4.2.2_圆与圆的位置关系
即x - y - 1 = 0
圆心C1 (2, - 1), 半径r1 = 5
d= | 2 +1 - 1| 1 + (- 1)
2 2
A
= 2
\ | AB |= 2 5 - 2 = 2 3
例2.已知两圆C1: x2＋y2－4x＋2y＝0和 圆C2: x2＋y2－2y－4＝0的交点为A、B， (2) 求过交点A、B且圆心在直线
解法二：联立两个方程组得
2 2 ì x + y + 2 x +8 y - 8 = 0 ① ï í 2 ② 2 ï x + y 4 x 4 y 2 = 0 î
①-②得 x + 2 y - 1 = 0 ③
把③代入①得 x
B A
- 2x - 3 = 0 ④ 2 D= (- 2) - 4创 1 (-3) = 16 > 0
代数方法
2 2 2 ì ï ( x - a1 ) + ( y - b1 ) = r1 í 2 2 2 ( x a ) + ( y b ) = r ï î 2 2 2
消去y（或x）
px 2 + qx + r = 0
比较d和r1 +r2 、r1 -r2 的大小，下结论
ì D> 0 : 相交 ï ï í D= 0 :内切或外切 ï ï î D< 0 : 相离或内含
4.2.2 圆与圆的位置关系
圆与圆有哪几种位置关系？
名称 图形
外离 外切 相交 内切
R O1 r O2
公切线 圆心距d与R、 交点个数 条数 r的关系
d>R+r
0 1
4
R O1
r
O2
高中数学 第四章 圆与方程 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用学
4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自主预习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即 时 自 测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)(3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切解析 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交. 答案 B3.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条. 答案 D4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是________.解析 由题意可知（3－0）2＋（－1－0）2＝2r ，∴r ＝102. 答案102类型一 与两圆相切有关的问题【例1】 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则（a －1）2＋b 2＝r ＋1，①b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 规律方法 两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 （a －4）2＋（b ＋1）2＝1.①(1)若两圆外切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型二 与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度. [思路探究]探究点一 当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？ 提示 两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二 如何求公共弦长？提示 (1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52， 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， ∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35， ∴公共弦长l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.即A (－4，0)，B (0，2).所以|AB |＝（－4－0）2＋（0－2）2＝25， 即公共弦长为2 5.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.类型三 直线与圆的方程的应用【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时.故选B.答案 B[课堂小结]1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1)D.(－1，0)和(0，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 答案 C2.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析 直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线. 答案 A3.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝04.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 的取值满足什么条件时，圆C 1与圆C 2相切？解 对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为r 1＝3，r 2＝2，且|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（m ＋2）2.当圆C 1与圆C 2相外切时，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或m ＝2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|＝|r 1－r 2|，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝|3－2|，解得m ＝－1或m ＝－2.综上可知，当m ＝－5或m ＝2或m ＝－1或m ＝－2时，两圆相切.基 础 过 关1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. 答案 B2.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A.21B.19C.9D.－11解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 答案 C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米解析 建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)半圆所在圆的方程为：x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米).答案 B4.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2. 答案25.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.解析 圆C 2可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，则圆C 1，C 2的圆心为C 1(0，0)，C 2(－2，2)，所以C 1C 2的中点为(－1，1)，kC 1C 2＝2－0－2－0＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝06.求与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，半径为2的圆的方程.解 设所求圆的圆心为C (a ，b )，则所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝4.∵两圆外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，∴|OC |＝1＋2＝3，|CP |＝2.∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－332. ∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋3322＝4.7.已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.求： (1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0的圆心C 1的坐标为(5，5)，半径r ＝52，又点C 1到相交弦的距离d ＝|2×5＋5－5|22＋12＝2 5. ∴公共弦长为2（52）2－（25）2＝230.能 力 提 升8.设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.4 2C.8D.8 2解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根， 整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝32×2＝8. 答案 C9.以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 答案 B10.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，x 0)，则|x 0＋x 0－2|2＝2， 解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝211.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0).将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.探 究 创 新12.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于6 2.(1)证明 圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10， 圆C 2：(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝734. ∵|C 1C 2|＝（2－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52.且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交.(2)解 联立两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝0， ∴两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0.(3)解 设P (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝（62）2，解方程组，得点P 的坐标为(3，10)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－265.。
新课标高中数学人教A版必修二全册课件4.2.2圆与圆的位置关系
第四页，编辑于星期日：十三点 十六分。
讲授新课
例1. 已知圆C1: x2＋y2＋2x＋8y－8＝0， 圆C2: x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断 圆C1与圆C2的位置关系.
第五页，编辑于星期日：十三点 十六分。
探讨: 问题如何根据圆的方程，判断
两圆之间的位置关系？
第六页，编辑于星期日：十三点 十六分。
探讨: 问题如何根据圆的方程，判断
两圆之间的位置关系？
方法：通常是通过解方程或不等式
等方法加以解决.
第七页，编辑于星期日：十三点 十六分。
例2.圆C1的方程是: x2＋y2－2mx＋4y＋m2 －5＝0， 圆C2的方程是: x2＋y2＋2x－2my＋m2 －3＝0，
4.2.2圆与圆 的位置关系
第一页，编辑于星期日：十三点 十六分。
复习引入
1. 两圆的位置关系有哪几种？
第二页，编辑于星期日：十三点 十六分。
复习引入
2. 如何利用半径与圆心距之间的关系 来判断两圆的位置关系？
第三页，编辑于星期日：十三点 十六分。
复习引入
2. 如何利用半径与圆心距之间的关系 来判断两圆的位置关系？
第十三页，编辑于星期日：十三点 十六分。
2. 已知圆C与圆x2 y2 2x 0相外切, 并 且与直线x 3 y 0相切于点Q(3, 3), 求圆C的方程 .
3. 求两圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋y2＝4的外 公切线方程.
第十二页，编辑于星期日：十三点 .129到P.130； 2. 《习案》二十八.
第4章 4.2.2圆与圆的位置关系
解 依题意所求的圆的圆心在已知两圆的圆心的连心线
本
讲 栏
上，又已知圆的圆心分别为(－3,0)和(0，－3)．则连心
目 开
线的方程是x＋y＋3＝0.
关
由xx＋ －yy＋ －34＝ ＝00 解得yx＝＝－12 72
.所以所求圆的圆心坐标
是(12，－72)．
研一研·问题探究、课堂更高效
4.2.2
设所求圆的方程是x2＋y2－x＋7y＋m＝0.由三个圆有同一
本
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，将x2＋
讲 栏
y2－2x＝0化为标准形式(x－1)2＋y2＝1，由题意可得
目 开 关
a－12＋b2＝r＋1，
|a＋ 2
3b|＝r，
解得 ab＝ ＝40， ，
a＝0， 或b＝－4 3
ba＋－33·－ 13＝－1.
r＝2.
r＝6.
故所求的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4 3)2＝36.
栏
目 问题1 圆与圆的位置关系有几类？
开
关 答 有内含、内切、相交、外切、外离五种．
研一研·问题探究、课堂更高效
4.2.2
问题2 如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？
答 设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依
据有以下几点：
本 讲
(1)当l＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离；
栏 目
(2)当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；
4.2.2
4.2.2 圆与圆的位置关系
【读一读学习要求，目标更明确】
1．知道两圆间的位置关系有：外离、外切、相交、内切、
内含 5 种；
本 讲
2．能根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.2 圆与圆的位置关系
思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程， 当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切， 当Δ<0时，两圆外离或内含.
答案
解析答案
1 23 4
2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( B )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
解析答案
1 23 4
3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( D )
解析 由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， ∴kAB×1＝－1， 3－－1
1－m ＝－1，得 m＝5， AB的中点坐标为(3,1)， AB的中点在直线x－y＋c＝0上. ∴3－1＋c＝0，∴c＝－2， ∴m＋c＝5－2＝3.
解析答案
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思 维 导 图 &超 级 记 忆 法 &费 曼 学 习 法
1
外脑-体系优化
知 识 体 系 &笔 记 体 系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
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题型探究
重点难点 个个击破
【高中数学必修二】4.2.2圆与圆的位置关系.
Rr
O1
O2
外离
O1O2>R+r
Rr
O1
O2
外切
O1O2=R+r
Rr O1 O2
相交
R-r<O1O2<R+r
R
O1 O2r
内切
O1O2=R-r
R
O1 O2r
内含
0≤O1O2<R-r
R
O
1O
r
2
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=0
判断两圆位置关系 外离 d>R+r
Rr
O1
O2
外切 d=R+r 内切 d=R-r
外切
O1O2=R+r
R
O1 O2r
内含
Rr O1 O2
相交
R-r<O1O2<R+r
从图形上看圆与圆的五种位置关系：
Rr
O1
O2
外离
O1O2>R+r
Rr
O1
O2
外切
O1O2=R+r
R
O1 O2r
内切
O1O2=R-r
R
O1 O2r
内含
0≤O1O2<R-r
Rr O1 O2
相交
R-r<O1O2<R+r
从图形上看圆与圆的五种位置关系：
Rr
O1
O2
R
O1 O2r
内含 0≤d<R-r
R
O1 O2r
相交 R-r<d<R+r
Rr O1 O2
判断两圆位置关系 外离 d>R+r
几何方法
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第四章 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系
圆与方程
4.2 直线、圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系
栏 目 链 接
1．正确理解圆与圆的位置关系． 2．会判断两圆的位置关系．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
圆与圆位置关系的判定有两种方法． (1)几何法．若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆的圆心距为 d，则两圆 的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
栏 目 链 接
解析：对于圆 C1，圆 C2 的方程，经配方后 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)如果 C1 与 C2 外切，则有 m＋12＋m＋22＝3＋2， ∴m2＋3m－10＝0，解得 m＝－5 或 2. (2)如果 C1 与 C2 内含，则有 m＋12＋m＋22<3－2，
栏 目 链 接
解析：圆 C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝36， 圆 C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1， R1＝6，R2＝1， 又|C1C2|＝ 2＋12＋－1－32＝5， ∴|C1C2|＝R1－R2，故两圆内切． 答案：A
自 测 自 评
2．已知圆 A，B 相切，圆心距为 20 m，其中圆 A 的半径为 10 m，则圆 B 的半径为( A．10 m C．30 m )
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(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0， 得－2<m<－1， ∴当 m＝－5 时，或 m＝2 时，C1 与 C2 外切； 当－2<m<－1 时，C1 与 C2 内含． 点评：判断两圆的位置关系通常用几何法，这种方法 比较直观，容易理解．设圆 C1 的圆心为 O1，半径为 r1， 圆 C2 的圆心为 O2，半径为 r2，则有如下关系：
高二数学 《4.2.2 圆与圆的位置关系》课件
分析：如图，所求圆经过原点和点A(0,6),且圆心必 在已知圆的圆心和切点的连线上，根据这三个条件 可确定圆的方程。
解：设所求圆的方程为(x a)2 (x b)2 r 2
将圆C化为标准方程，得 (x 5)2 ( y 5)2 50
Y
A(0,6)
M
o
x
C
则圆心为C(-5,-5),半径为5 2，
C1 : (x 1)2 (y 4)2 52
C2 : (x 2)2 (y 2)2 ( 10)2
C1的圆心(1,4),半径为r1 5
C2的圆心(2,2),半径为r2 10
连心线长为 (1 2)2 (4 2)2 3 5
| r 2020/4/22 1 r2 | 5 10 | r1 r2 | 5 10 24
(1)几何法：
利用连心线长d与|r1+r2|和| r1-r2 |的大小关系判断
(2)代数法：
利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数
△<0
两个圆相离（外离或内含）
△=0
两个圆相切（外切或内切）
2020/4/22
△>0
两个圆相交
21
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断 圆C1与圆C2的位置关系.
解法一：圆C1与圆C2的方程联立，得
x2 y2 2x 8y 8 0
(1)
x2 y2 4x 4y 2 0
(2)
(1)-(2)，得
x 2y 1 0
(3)
由(3)得 y 1 x
2020/4/22
2
代 入(1)两, 整圆的理公 得
共弦方程
高中数学 (4.2.2 圆与圆的位置关系)示范教案 新人教A版必修2
张喜林制4.2.2 圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.两圆的位置关系：外离外切相交内切内含d＞R+r d=R+r |R-r|＜d＜R+r d=|R-r| d＜|R-r|在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 已知圆C 1：x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2：x 2+y 2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0, ③ 由③得y=21x +,把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0. ④ 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C 1的圆心是点(-1,-4),半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2,2),半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=5-10.而5-10＜35＜5+10,即r 1-r 2＜35＜r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交,它们有两个公共点A 、B.点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观. 变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-. 因为|r 1-r 2|＜d ＜r 1+r 2,所以两圆相交.例2 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59. 所以AB=2524)59(322222=-=-d r ,即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图 1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a 于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程.活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2.综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.将此关系式坐标化,得 |2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)2－32y =1. 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系||OP|－|PA||=2,即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=322=-a c ,所以轨迹方程为(x －2)2－32y =1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练课堂练习P 141练习题课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.作业习题4.2 A 组8、9、10、11.设计感想本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.《圆与圆的位置关系》这个课题在新课标中,被作为一个独立的章节,说明新课标对这一章节的要求已经有所提高,可见有其重要性.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法,但用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的基本方法.因此,用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上,对这个位置关系的了解进一步深化,而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的,所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系.作为解析几何的一堂课,判断圆与圆的位置关系,体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题,用几何方法处理代数问题.所以在教材处理上,对判断两圆位置关系用了代数和几何两种方法,两种方法贯穿始终,使学生对解析几何的本质有所了解.。
4.2.2-4.2.3圆与圆的位置关系
圆心距:d= 2 1 2 4
2
2
= 9 36 =3 5 . ∴d<r1+r2,且 d>3, ∴两圆相交.故选 A.
两圆的相交问题
【例 2】 已知圆 C1:x +y +2x-6y+1=0,圆 C2:
2 2
x +y -4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方 程及公共弦长. 名师导引:公共弦方程如何求?(把圆 C1:x +y +2x -6y+1=0 与圆 C2:x +y -4x+2y-11=0 相减即可得出 公共弦的方程)
2 2 2 2 2
2
2
2
圆与圆的位置关系
1:你用什么方法判断实例中圆的 位置关系的呢?答案是什么?圆与圆还有什么 位置关系? (用圆心之间的距离与两圆半径和或差的大 小关系;第(1)个相交,第(2)个相外切;圆与 圆还有外离,内切和内含)
1:圆与圆位置关系的判定 几何法:若两圆的半径分别为 r1、r2,两圆的圆 心距为 d,则两圆的位置关系的判断方法如表:
又 C1 到直线 AB 的距离为 d=
1 3 4 3 6 32 42
2 1 2
9 = . 5
2 2
24 9 ∴|AB|= 2 r d = 2 3 = . 5 5
24 即两圆的公共弦长为 . 5
你能总结一下本题的解法吗? (求两圆的公共弦所在的直线方程,只需把两个 圆的方程相减即可,这是因为若两圆相交,其交 点坐标必定满足相减后的方程;另一方面,相减 后的方程为二元一次方程,即直线的一般方程, 故此方程即为两圆公共弦所在直线方程,而求两 圆的公共弦长时,则应注意数形结合思想方法的 灵活运用)
4.2.2 圆与圆的位置关系
(0 a) 2 (0 b) 2 r 2 则有 (0 a) 2 (6 b) 2 r 2 a b 0
a 3. 解得 b 3. r 3 2 .
2
( 所以所求圆的方程为： x 3)
( y 3) 2 18 。
20
2
(2)2 41 (3) 16
用Δ判断两 所以方程④有两个不相等的实根x1，x2 把x1，x2代入方程③得到y1，y2 圆的位置关
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系 A(x1,y1),B(x2,y2)
11
例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与 圆C2的位置关系. 解法二： 把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
§4.2.2
圆与圆的位置关系
直线和圆的位置关系
r
d
C
d l
C d l
C l
相交：d
r
相切：d
r
相离：d
r
2
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法） 圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
( x a) 2 ( y b) 2 r 2 Ax By C 0
2
问题探究2
C (5, 5)
A(a, b)
y
C、A、O三点共线
kCO kAO 5 0 b 0 5 0 a 0
ab
| AO | 3 2
A
O C x
B
a 2 b2 3 2
17
• 2.求经过点M(3,-1) ,且与圆 x2 y2 2x 6 y 5 0 • 切于点N(1,2)的圆的方程。
人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.2.2圆与圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系问题导学一、两圆位置关系的判定活动与探究1已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．迁移与应用1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离2．两圆x2＋y2＝1和(x－1)2＋(y－a)2＝4相切，求实数a的值．判断两圆的位置关系一般有两种方法：一是代数法，二是几何法，但因代数法运算烦琐，且容易出错，因此一般采用几何法．二、与两圆相交有关的问题活动与探究2已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．迁移与应用1．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为__________．2．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0．求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则(1)两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程．(2)过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．三、与两圆相切有关的问题活动与探究3求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．迁移与应用1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0，圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0的公切线条数是__________．2．半径为3的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－1)2＝1外切，求此圆的方程．两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．当堂检测1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．内切D．相交2．已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为()A．6 cm或14 cm B．10 cmC．14 cm D．无解3．设r＞0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切和内含D．外切和外离4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0和x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于__________．5．以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程是__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．外离、外切、相交、内切内含预习交流1提示：两圆相切包括外切与内切两种情况，在解答两圆相切问题时，不能漏掉某种情况．2．(1)r1＋r2|r1－r2|(2)210内切外切外离内含预习交流2提示：代数法有时不能确切判定两圆的位置关系，如方程组只有一组解时，不能判定两圆是内切还是外切，方程组没有解时，不能判定两圆是外离还是内含，通常用几何方法判断两圆的位置关系．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．解：圆C1，C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1．∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a．(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含．迁移与应用1．B2．解：两圆圆心距为a2＋1，因为两圆相切，所以a2＋1＝2＋1或a2＋1＝2－1，即a2＋1＝3或a2＋1＝1．所以a＝±22或a＝0．活动与探究2思路分析：(1)因为两圆的交点同时满足两个圆的方程，所以两个圆的方程联立消去x2项与y2项，即得两圆的公共弦所在直线的方程．(2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x－y－4＝0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解．解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0， ①x 2＋y 2＋6y －28＝0 ②的解． ①－②得x －y ＋4＝0．∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴x －y ＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．(2)方法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4． 则(a ＋1)2＋(a －4－3)2＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝⎛⎭⎫12，－72，半径为892．故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋722＝892， 即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．方法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0解得λ＝－7．故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．迁移与应用 1．x ＋y －1＝02．解：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0. ①②①－②得3x －4y ＋6＝0．∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3．又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95， ∴|AB |＝2r 2－d 2 ＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245，即两圆的公共弦长为245． 活动与探究3 思路分析：设出圆的标准方程，根据条件列出方程组求解参数． 解：圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1,0)，半径为1．设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝2.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4．迁移与应用 1．3 解析：圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，圆C 2：(x －4)2＋(y ＋2)2＝13，因此两圆的圆心坐标分别为C 1(－2,2)，C 2(4，－2)，两圆的半径r 1＝r 2＝13．圆心距|C 1C 2|＝(－2－4)2＋(2＋2)2＝213＝r 1＋r 2，∴两圆外切，有3条公切线．2．解：因为所求圆的半径为3且与x 轴相切，所以设圆心坐标为(a ，－3)或(a,3)．又因为所求圆与圆x 2＋(y －1)2＝1外切，所以a 2＋4＝4或a 2＋16＝4，即a ＝±23或a ＝0．所以所求圆的方程为(x ±23)2＋(y －3)2＝9或x 2＋(y ＋3)2＝9．【当堂检测】1．D 2．A 3．D 4．25．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9或(x －3)2＋(y ＋4)2＝169。
高中数学必修二 圆与圆的位置关系 附答案解析版
4.2.2圆与圆的位置关系基础巩固1.圆C 1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切2.圆C 1:x 2+y 2+4x+8y-5=0与圆C 2:x 2+y 2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离3.已知圆A 与圆B 相切,圆心距为10cm,其中圆A 的半径为4cm,则圆B 的半径为（）A .6cm 或14cmB .10cmC .14cmD .无解4.已知圆O 1的方程为x 2+y 2=4,圆O 2的方程为(x-a )2+y 2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a 的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}5.圆x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆x 2+y 2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.46.已知以C (4,-3)为圆心的圆与圆O :x 2+y 2=1相切,则圆C 的方程为（）A .(x-4)2+(y+3)2=16B .(x+4)2+(y-3)2=36C .(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D .(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=367.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是.8.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m=.9.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为.10.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,半径为2的圆的方程.能力提升1.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切2.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（）A .2±B .2C .-2D .4±3.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m的最大值为（）A .7B .6C .5D .4★4.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（）A.22⎛ ⎝⎭B.22⎛-- ⎝⎭C.,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭D.22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是.6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.7.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.★8.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.参考答案基础巩固1.【解析】圆C 1的圆心是C 1(-2,2),半径r 1=1,圆C 2的圆心是C 2(2,5),半径r 2=4,则圆心距|C 1C 2|=5.因为|C 1C 2|=r 1+r 2,所以两圆外切.【答案】D2.【解析】由已知,得C 1(-2,-4),r 1=5,C 2(-2,-2),r 2=3,则d=|C 1C 2|=2,所以d=|r 1-r 2|.故两圆内切.【答案】C3.【解析】令圆A 、圆B 的半径分别为r 1,r 2,当两圆外切时,r 1+r 2=10,所以r 2=10-r 1=10-4=6;当两圆内切时,|r 1-r 2|=10,即|4-r 2|=10,r 2=14或r 2=-6(舍),即圆B 的半径为6cm 或14cm .【答案】A4.【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a 的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C .【答案】C5.【解析】两圆的圆心分别为C 1(-2,2),C 2(2,-5),则两圆的圆心距d =又半径分别为r 1=1,r 2=4,则d>r 1+r 2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r 2(r>0).因为圆C 与圆O 相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=08.【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45-=,解得m=81.【答案】819.【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB 的距离d ==故公共弦AB 的长为AB =10.【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以2222913422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得322a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以圆心C 的坐标为333,22⎛-- ⎝⎭,所求圆的方程为223422x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.能力提升1.【解析】圆心距d =,两圆半径的和为2+1=3,两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C2.【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a,又公共弦长为,所以=解得2a =±.【答案】A3.【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B4.【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a<<,所以22a-<<或22a <<.【答案】C5.【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切6.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=.①若两圆外切,则有123+=.②由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,则有211-=.③由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.7.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1.设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2,化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥).8.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1-),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1-)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r .因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=,①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①的距离得=,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。
4.2.2 圆与圆的位置关系
则此圆的方程是（ D ）
（A）(x－4)2+(y－6)2=6 （B）(x±4)2+(y－6)2=6 （C）(x－4)2+(y－6)2=36 （D）(x±4)2+(y－6)2=36
4．若圆：x2+y2－2ax+a2=2和x2+y2－2by +b2=1外离，则a、 a2+b2>3+2 2 b满足的条件是__________________.
④
2 方程④根的判别式 (2) 4 1 (3) 16 0
所以方程④有两个不等实数根，方程组有两解；
故两圆相交．
圆x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是(
)
(A)相离
(B)外切
(C)相交
(D)内切
【解析】选C.圆的方程分别化为 (x-1)2+y2=1,x2+(y+2)2=4, ∵|O1O2|= 1 4 5, 而r1+r2=3,r2-r1=1， ∴r2-r1＜|O1O2|＜r1+r2,∴两圆相交.
解法二： 将两个圆方程联立,得方程组
x 2 y 2 2 x 8 y 8 0, 2 2 x y 4 x 4 y 2 0. ① ②
① ②，得 x 2 y 1 0
1 x 由③得y 2
③
把上式代入①，并整理得
x2 2 x 3 0
1.平面几何法判断圆与圆的位置关系公式 第一步：计算两圆的半径r1，r2；
第二步：计算两圆的圆心距d；
第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置 关系. 两圆外离：r1+r2<d； 两圆内切：|r1－r2|=d； 两圆外切：r1+r2=d； 两圆内含：|r1－r2|>d.
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d r1 r2
| r1 r2 | d r1 r2
d | r1 r2 |
d＜ | r1 r2 |
C1
C2
圆和圆内切 圆和圆内含
C1
C2
C1 C2
例1:设圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-
4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的关系.
a +b > 3
2 2
3、两圆x2+y2 -2x=0与x2+y2-4y=0的公共弦所在直线的方程
X-2y=0 _____பைடு நூலகம்_____.
4.2.2
圆与圆的位置关系
直线和圆的位置关系及判定方法:
几何方法
代数方法
x 2 y 2 Dx Ey F 0 Ax By C 0
圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)
px qx t 0
2
消去y(或x)
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
圆与圆的位置关系的判定：
几何方法
两圆心坐标及半径
代数方法
( x a1 )2 ( y b1 ) 2 r12 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 2 2 2
消去y（或x）
圆心距d （两点间距离公式）
px 2 qx r 0
比较d和r1，r2的 大小，下结论
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
观察两圆的相对位置和交点个数
1个 2个 1个 0个
0个
1个
2个
1个
0个
0
圆与圆的位置关系 : 设两圆圆心距离为d,
半径分别为r1，r2 圆和圆相离 圆和圆外切 圆和圆相交
C1
C2
d r1 r2
C1
C2
0 : 相交 0 :内切或外切 0 : 相离或内含
1、两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（ Ａ.相离 Ｂ.外切 Ｃ.相交 Ｄ.内切
B
）
2、若圆x2+y2-2ax+a2=4和x2+y2-2by+b2=1外离，则a,b满足的
条件是____________.