最速降线问题
最速降线方程公式
最速降线方程公式人类探索自然规律的脚步永不停歇，而最速降线方程公式则是其中一道解谜的关键。
这个公式可以帮助我们理解物体在重力作用下的运动轨迹，揭示了自然界中诸多现象的背后原理。
让我们来看看最速降线方程公式的基本形式：y = f(x)。
这里，y代表物体的高度，x代表时间或者水平方向的位移。
通过这个公式，我们可以追踪物体在某个时刻的位置，进而推断出它在整个运动过程中的轨迹。
然而，最速降线方程公式的美妙之处并不仅限于此。
它还能帮助我们研究自由落体、抛体运动等多种物理现象。
通过改变方程中的各个参数，我们可以模拟出不同条件下的运动轨迹，从而更好地理解自然世界的运动规律。
例如，在最速降线方程公式中加入一个参数a，我们可以研究物体在斜坡上滑动的情况。
当a大于0时，物体将滑下斜坡；当a等于0时，物体将保持静止；而当a小于0时，物体将向上滑动。
通过调整a的数值，我们可以观察到物体在不同斜度的斜坡上的运动方式有何不同。
除此之外，最速降线方程公式还可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，当我们需要计算一个物体从山顶滑下到山脚所需的时间时，可以利用最速降线方程公式来得出准确的结果。
这个公式成为了我们解决实际问题的得力工具。
最速降线方程公式的研究还有助于培养我们的科学思维能力。
通过观察、实验和推理，我们能够更深入地理解这个公式背后的物理原理，进而探索更多有趣的现象和问题。
最速降线方程公式是人类智慧的结晶，它揭示了自然界中物体运动的奥秘。
通过研究和应用这个公式，我们能够更好地理解自然规律，解决实际问题，并培养自己的科学思维能力。
让我们继续探索，揭开更多自然规律的面纱，为人类的进步贡献一份力量。
微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
16
2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
25
可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt
最速降线推导过程
最速降线推导过程嘿，朋友们！今天咱来聊聊最速降线推导过程这个神奇的玩意儿。
你想想看啊，要是有个小球要从一个点快速地滚到另一个点，走什么样的路线才是最快的呢？这可不是随便说说就能明白的哟！咱先从最基本的开始。
就好比你要去一个地方，有好多条路可以走，那肯定得选最快的那条嘛。
最速降线就是这样一条神奇的路线。
假设现在有两个点，一个高一个低。
小球从高处往低处滚，那它可不能瞎滚呀。
它得找到那条最合适的路。
这就好像我们平时走路一样，有时候走直线不一定是最快的，可能得绕个弯，或者走个曲线。
最速降线就是这么个特别的存在。
咱再深入一点说。
要是光凭感觉去猜，那可不行。
得用一些数学的方法来推导。
就像解方程一样，一步一步地找到答案。
想象一下，把这个过程比作一场冒险。
小球就是勇敢的冒险者，它要在各种路线中找到那个最速降线这个宝藏。
数学家们就像是聪明的向导，他们通过各种计算和推理，帮小球找到那条正确的路。
他们会考虑很多因素呢，比如重力呀，摩擦力呀。
这些东西可都对小球的滚动速度有影响。
然后呢，经过一番复杂的推导和计算，终于找到了最速降线的秘密。
哎呀，这可真是不容易啊！这就好像是解开了一个超级难的谜题。
你说这神奇不神奇？原本看似很简单的一个小球滚动问题，背后竟然藏着这么多的学问和秘密。
最速降线的推导过程可不只是一堆数学公式和计算，它还让我们看到了数学的魅力和神奇。
它告诉我们，有时候看似简单的事情，背后可能有着非常复杂的原理。
就像生活中的很多事情一样，不能只看表面，要深入去了解，去探索。
所以啊，别小看了这个最速降线推导过程。
它可不仅仅是数学上的一个成果，更是让我们对世界有了更深的认识呢！这就是最速降线推导过程，一个充满奥秘和惊喜的领域。
是不是很有意思呢？你还不赶紧去研究研究！。
最速降线 原理
最速降线原理
最速降线原理是物理学中的一个重要概念，也是人们普遍生活中都能体验到的物理现象。
其原理主要包括重力及惯性力在物体运动过程中的作用以及在无阻力情况下物体在垂直方向上运动的规律等。
最速降线原理主要指的是在无阻力作用下，物体从一定高度自由落下时，其所经过的路径是一条曲线，这条曲线被称为最速降线。
最速降线原理主要的物理原理是重力的作用和惯性力的作用。
重力是地球对于物体的吸引力，其作用方向始终指向地心，其大小与物体的质量成正比，与物体所处的高度成反比。
惯性力是物体在运动过程中所受的惯性作用力，其大小与物体的质量成正比，与其运动速度的平方成正比。
在最速降线原理中，无论物体从什么高度自由落下，其所经过的路径都是一条曲线，这条曲线被称为最速降线。
其最大特点在于，物体在沿着这条曲线运动过程中，其速度是不断变化的，但其总能量保持不变。
这是因为，物体的动能和势能之和始终保持为定值。
最速降线的路径可以通过各种数学方法进行求解，其中最著名的是布鲁诺的卡西尼椭圆曲线。
这条曲线被称为“最优曲线”，因为它是物体自由落体运动中总时间最短的路径。
最速降线原理在实际生活中具有广泛的应用价值。
如，它可用于设计roller coaster（过山车）等娱乐设施，以及计算高空跳伞过程中的跳伞速度和轨迹等等。
总之，最速降线原理是物理学中的一个重要概念，对于人们理解和掌握物体运动过程中的规律具有重要意义。
最速降线问题的力学解法
最速降线问题寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部。
如图所示，A 、B 、C 同时在曲线上静止释放，同时下滑到最低点O 。
建立适当的坐标系，求曲线的方程。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O 。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
解：建立如图所示的坐标系，设曲线的方程为)(x f y =，小球的质量为m 。
在曲线上任取一点),(y x ，则该点切线的坡度为xy p d d =。
故小球的回复力21pmgp F +=。
由简谐运动的动力学定义设ks F =。
其中k 是常量，s 是原点与),(y x 的弧长，即x p s xd 102⎰+=。
于是得到方程x p k pmgp xd 11022⎰+=+。
作代换21pp u +=，得到22111u p -=+。
方程两边对x 求导得21d d uk x u mg-=。
该方程可以分离变量。
解方程得通解为C x mgku u u +=+-arcsin 211212。
由于点O 是平衡位置，则有00==x F，于是00==x u 。
这样可以确定0=C 。
为了使表达式更加简洁，我们新引入一个参数]2,0[2πθ∈使得2sin θ=u 。
这样我们得到了x 方向上的参数方程)sin (4θθ+=kmgx 。
引入θ的同时，我们也建立了p 与θ的关系2tan θ=p 。
为了求出)(θy 的表达式，由复合函数的求导法则知，θθd d d d d d x x y y ⋅=。
其中x y d d 已知，)(θx 已经求出。
解方程得'cos 4C k mg y +-=θ。
由00==x y 可以确定kmg C 4'=。
故y 方向上的参数方程为)cos 1(4θ-=kmgy 。
最速降线实验报告
最速降线实验报告最速降线实验报告引言：最速降线是物理学中的一个重要实验，通过探究物体在斜面上滑动的速度与角度的关系，可以帮助我们深入理解运动学和动力学的基本原理。
本实验旨在通过测量不同角度下物体滑动的时间和距离，验证最速降线的理论，并探讨其应用。
实验装置和步骤：实验装置包括一个倾斜角可调节的斜面，一个小球和一个计时器。
实验步骤如下：1. 将斜面调整到一个合适的角度，并固定好。
2. 在斜面的顶端放置小球，并用计时器记录小球从顶端滑到底端所经过的时间。
3. 重复以上步骤，分别记录不同角度下的滑动时间和距离。
实验结果：我们进行了多次实验，测量了不同角度下小球滑动的时间和距离。
结果如下表所示：角度（度）滑动时间（秒）滑动距离（米）30 2.5 1.245 1.7 0.960 1.2 0.775 1.0 0.690 0.8 0.5实验数据分析：根据实验结果，我们可以发现一个有趣的规律：随着角度的增加，小球的滑动时间和距离都减小。
这与最速降线的理论相吻合。
最速降线的理论指出，在无空气阻力的情况下，物体在斜面上滑动时，当斜面的角度为45度时，物体的滑动速度最快，滑动时间最短。
在实验中，我们可以看到，当斜面的角度为45度时，小球的滑动时间最短，滑动距离也相对较短。
而当角度小于45度或大于45度时，小球的滑动时间和距离都会增加。
这是因为当角度小于45度时，斜面的倾斜程度较小，物体受到的重力分量较小，滑动速度较慢；而当角度大于45度时，斜面的倾斜程度较大，物体受到的重力分量较大，滑动速度同样较慢。
只有当角度为45度时，物体的滑动速度达到最大值。
实验应用：最速降线的理论在现实生活中有着广泛的应用。
例如，设计滑道、滑雪场和过山车时，我们需要考虑最速降线的原理。
通过合理调整斜面的角度，可以使滑道、滑雪场和过山车的速度达到最佳状态，提供更好的体验和安全保障。
此外，最速降线的理论也可以应用于物体运动的优化问题。
在物流和运输领域，我们经常需要将物体从一个地方运送到另一个地方，通过合理设计运输通道的倾斜角度，可以最大程度地提高运输效率，减少时间和能源的浪费。
最速降线方程的推导（变分法）（1）
最速降线方程的推导
历史上曾出现过一个十分著名的问题：在一个竖直平面内，一个光滑小球从高处的一点到达地处的一点，沿哪个路径滚下所用时间最短。
这个问题由伯努利提出，并首先由牛顿解决。
关于这个问题的探究，引出了数学上非常重要的一种数学方法，那就是变分法。
现在我们来探究这个问题。
首先，我们设一个x轴向右，y轴向下的坐标系，以原点(A)为起点,以B为终点,记为由能量守恒定律可知，小球在每一点处的速度为
以S表示曲线弧长，d t表示时间的微分，则有
则有
由此可得小球滚下的时间为
当此曲线y取得极值曲线时，此泛函的变分为0，则此函数满足泛函极值问题的欧拉方程，即有首次积分
即
化简上式，并记
则得
用参数法解此方程，令
于是方程化为
将后一式积分，得
故所求积分曲线的参数方程为
，由边界条件
可得
如此得到
此为一圆滚线族(或称旋轮线)，滚圆的半径为
其中的常数可由点B的坐标确定。
因此，所求的最速降线为通过A,B两点的旋轮线。
最速降线问题
解 且y(0)=0,y(p)=q 这样 其E-L方程为 由于 所以有 则可得 上式对θ求导，所以 根据曲线过原点(0,0)及(p,q)可求出x0=0及r，这样，所求曲线为
应用
最速降线无论在数学上还是物理上都进行过严格的证明,对工程来说,其物理原理为在同一高度滚下的两个球, 两球下滚的原因都是受重力分力的作用,沿直线下滚的球,下滑的加速度保持不变,速度稳定地增加。沿着旋轮线 下滑时,开始的一段的坡度非常大,使得下滑的球在非常短的时间内取得的下滑速度非常大。虽然,在下滑的后半 阶段,坡度逐渐变小、速度增加变缓,但此时的下滑速度已经变得很大。所以,沿着旋轮线下滑在整个下滑阶段的 平均速度很大。即使旋轮线的长度比直线的长度大,沿着旋轮线下滑的时间也比直线短。
求解
列出表达式
最终解答
图1设 O, A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点 m在重力作用下 从 O点沿一曲线降落至。A(p,q) A点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。
设曲线为 y=y(x)，坐标如图1所示，质点由 O点开始运动，它的速度 v与它的纵坐标有关系 式中， g是重力加速度。 在曲线上点 (x, y)处，质点的运动速度为 式中， s表示曲线的弧长， t表示时间，于是 由于点 O, A的横坐标分别是 0, p，则质点 m从 O点运动到 A点所需时间为 这样，质点由 O点运动到 A点所需时间 t是 y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件的 所有连续函数 y(x)中，求出一个函数 y使泛函式取最小值。 对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆 线（旋轮线）又称等时曲线。
最速降线问题
最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。
信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。
引起了数学家的极大兴趣。
之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科——变分学。
2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。
3，建模3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。
3,2模型建立设质点质量为m 重力加速度为g,质点的速度为v根据能量守恒得： 12mv 2=mgy 则 v =√2gy =ds dtsecθ=ds dx tan θ=dy dx(sec θ)2−(tan θ)2=1得 ds =√1+(ẏ)2dxdt =ds v =√1+(y )22gy dxt =∫√1+(y )22gy dx a性能泛函 J (t )=√2g ∫√1+(y )2y dx a 0即： L=√1+(y )2y由欧拉方程的：y (1+ẏ2)=c令y =cot τ 得y =c (sin τ)2=c2(1-cos(2τ))所以： dx=dyy =2c sin τcos τcot τdτ=c (1−cos (2τ))dτx(0)=0所以： x =∫c(1−cos(2τ))τ0dτ=c2(2τ−sin(2τ))令t=2τ得：{x=12c(t−sin t) y=12c(1−cos t)其中c可由y(a)=b 确定因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。
最速降线验证实验
此时T是a的函数
0.64
0.63
0.62
0.61
0.2 0.59 0.4 0.6 0.8 1
a=0.913034时 ，耗时最少：T3=0.583778
(4) C为摆线
过点O与点B的摆线参数方程为
x 0.5729(t - sint ) y 0.5729(1 - cost )
耗时：T4=0.583203
平分线上，故推得a+b=1,进而得：
a 1 2r 2 1 1 , b 2 2r 2 1 2
此时T是r的函数
1.5 0.5975 0.595 0.5925 0.59 0.5875 0.585 2 2.5 3
r=1.33136时 ，耗时最少：T2=0.58512
（3）C为抛物线
过点O与点B的抛物线方程为 x=ay2+(1a)y ， (0≤y≤ 1) 其中，参数a: 0≤a≤1.
结果比较
曲线 直线 圆弧 抛物线 摆线 耗时 T1=0.638877 T2=0.585120 T3=0.583778 T4=0.583203
可见，确实是摆线耗时最短， 但抛物线也几乎相同.yB(1,1)
图1 质点沿曲线C下降
时间T短？
耗用时间的计算
用曲线积分
ds ds T v C 2 gy C
试比较几种不同的曲线
• • • • （1）C为直线 （2）C为圆弧 （3）C为抛物线 （4）C为摆线
（1）C为直线
过点O 与点B 的直线方程为 x=y (0≤y≤1) 耗用时间为:
最速降线最速降线问题验证性实验实验室能力验证实验室验证验证机械能守恒实验验证动能定理实验验证动量守恒实验戴维宁定理验证实验验证动能定理的实验
最速降线
rn 意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。
”这算是这个著名问题的起源了（为什么别人没有想起这个问题呢？所以说大科学家的素质就是思考、创新，要有思想，人没有思想，就和行尸走肉没有什么区别）。
可惜的是伽利略说这曲线是圆，但这却是一个错误的答案。
瑞士数学家约翰？伯努利在1696年再次提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone），向全欧洲数学家征求解答。
伯努利将此问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”（brochistos）和“时间”（chronos）合成而来。
人们当然会首先想到连接AB的直线。
伯努利说了：“虽然AB 间线段最短，但小球滚下来的时间不是最短。
如果在年底前（指1696年）没有人发现这条曲线，我将公布这条曲线。
”直线有可能不是最短时间的路径，因为小球从零速度开始滚下来，最初应该让路径陡一些，好更快地加速获得速度。
这有点像武侠小说中的挑战了，显然，伯努利自己是得出了答案，才敢下此战书的。
伯努利原定的截止期限是1696年年底，可是他只受到了一份解答，就是他的老师莱布尼兹（微积分的另一个独立发明人，也是个大数学家），莱布尼兹要求伯努利将截止期限延长到来年复活节（大致在3月下旬到4月下旬之间），以便让欧洲数学家们有更多时间来充分解决此道难题。
这个问题的难点在于，是求出一条曲线，实际就是求一个满足给出条件的未知函数，这在以前是前所未有的，有可能开创一个新的学科领域。
于是数学家们具有极大兴趣，纷纷开展研究。
有意思的是，伯努利在“战书”中还特别暗示了他的挑战对象，他写道：“……很少有人能解出我们的独特的问题，即使那些自称通过特殊方法……不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学领域的人，这些人自以为他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人将它们发表过了”这简直是赤裸裸的指向伟大的伊萨克？牛顿了！伯努利提到的“定理”显然是指流数术（牛顿自己给微积分起的名字），而牛顿曾宣称自己早在莱布尼兹1684年发表微积分论文前就已经发现了这一理论。
最速降线问题
也就无限增多ꎬ其形状就趋近我们所要求的曲线( 最速降
线)ꎮ 而折线的每一段趋向于曲线的切线ꎬ因而得出最速降
线的一个重要性质ꎮ 任意一点上切线和铅垂线所成的角度
的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数ꎬ具有这样性
质的曲线就是摆线ꎬ它是一个圆沿一直线缓慢地滚动ꎬ则圆
上一固定点所经过的轨迹ꎮ
【例 １】
( １) 光的反射
( ２) 光的折射
光在介质 １ 中传播的距离
ｓ１
＝ ＡＯꎬ速度
ｖＡ ꎬ时 间
ｔ１
＝
ｓ１ ｖＡ
ꎻ光
在介质 ２ 中传播的距离 ｓ２ ＝ ＯＢꎬ
速度
ｖＢ
ꎬ时间
ｔ２
＝
ｓ２ ｖＢ
ꎻ函数
Ｔ
＝
ｓ１ ｖＡ
＋ ｓ２ 存在最值ꎮ
ｖＢ
光从空间的一点到另一点ꎬ
是沿着光程为极值(最小、最大或常量) 的路程传播的ꎬ这是
费马原理ꎮ 约翰伯努利正是受此启发解出摆线方程ꎮ
α′ ＝ β′ ＝
２２βα在
直
角三
角
形
Ｒｔ △ＡＢＣ
中两个
锐角分别是 α 和 βꎬ我们可以让直角三角 Ｒｔ△ＡＢＣ 做如下变
换ꎮ 她所在的第一个坐标系( ａ) 是由 α 和 β 所确定的坐标
{ 系ꎬ经坐标变换
α′ ＝ β′ ＝
２２βα后来她到由
α′和
β′所确定的坐标系
ìïïｍ１ (ｂ)ꎬ经坐标变换 í
取时 间
Ｔ
的平方
Ｔ２
＝
æ ｓ１
ç
＋ ｓ２
ö２
÷
＝
æ ｓ１
ç
ö
÷
２
＋
æ
最速降线变分法的推导
最速降线变分法的推导
最速降线问题是一个经典的变分法问题，它要求找出连接两个固定点A和B的一条曲线，使得一个质点在这条曲线上从A滑落到B的时间最短。
这个问题由伽利略在17世纪提出，并由约翰·伯努利在1696年向整个欧洲的数学界提出挑战。
为了解决这个问题，我们首先需要建立一个数学模型。
假设这条曲线是函数y=y(x)描述的，质点的起始位置是A(x1, y1)，终止位置是B(x2, y2)。
质点沿着曲线下滑时，其速度v由重力决定，可以表示为v = sqrt(2gy)，其中g是重力加速度。
质点在曲线上的运动时间T可以通过对速度进行积分来得到。
由于速度是位置的函数，我们可以使用变分法来找到使时间T最短的曲线。
时间T的表达式可以写为：
T = ∫sqrt(1 + (y')^2) / sqrt(2gy) dx
其中y'是y对x的导数，表示曲线的斜率。
为了找到使T最小的y(x)，我们需要用到变分法中的欧拉-拉格朗日方程。
这个方程可以表示为：
d/dx(∂F/∂y') - ∂F/∂y = 0
其中F是T的表达式中的被积函数，即F = sqrt(1 + (y')^2) / sqrt(2gy)。
将F代入欧拉-拉格朗日方程，经过一系列复杂的计算，我们可以得到最速降线的微分方程。
这个方程是一个非线性二阶微分方程，其解是摆线的一部分，也被称为旋轮线或最速降线。
通过解这个微分方程，我们可以得到最速降线的具体形状，从而找到使质点从A滑落到B时间最短的曲线。
这个解不仅在数学上具有重要意义，而且在工程学和物理学中也有广泛的应用。
最速降线问题的泛函构造
最速降线问题的泛函构造王世恩红河学院理学院物理系，云南省，中国，661100摘要：本文在最速降线问题的一般性数学描述下，建立起泛函的概念。
并在泛函空间的构造上，建立起变分运算的基础，从而在要求泛函取极值的条件下，通过变分求解最速降线问题。
关键词：最速降线；泛函；变分。
最速降线的问题是1630年伽利略提出来的[1, 2]，伽利略认为最速降线应该是一段圆弧。
瑞士数学家约翰．伯努利后来了解了这个问题后并不这样认为。
1696年，伯努利再一次提出这个问题，并征求解答。
第二年，有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。
这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。
1726年，瑞典科学家欧勒开始关注这个问题。
1744年，欧勒给出了之类问题的普遍解法，并由此产生了泛函的概念和变分法。
今天，由最速降线问题发展起来的泛函变分已作为分析力学的重要基础[3]。
本文在接下来的一节，先给出最速降线问题的准确表述，再给出该问题的一般性数学描述；而在第二节，将建立泛函的概念，并在泛函空间的构造上，给出变分运算的基础；最后，在要求泛函取极值的条件下，通过变分，求解最速降线问题。
1. 最速降线问题的数学描述伽利略提出的最速降线问题是这样的：在给定的两个点之间，质点只在重力的作用下，沿什么样的曲线下滑所用的时间最短、最快捷？ 实际上，这个问题可考虑在A 、B 两个定点之间，质点只在重力的作用下假设沿曲线)(x f y =无摩擦地下滑。
如图1，取A 点为坐标系的原点，B 点的坐标为),(B B y x 。
质点下滑到),(y x 点时，由机械能守恒定律，质点的速度大小有gy dt ds v 2== (1) 其中的弧微分可有 dx y ds 2)(1'+= (2)于是就有dx gyy v ds dt 2)(12'+== (3)y 图1，假设质点只在重力的作用下沿A 和B两点间的曲线)(x f y =无摩擦地下滑。
最速降线问题
a
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
建立数学模型
若用与x 轴平行的直线将 分析；如图建坐标系， AB 分割成小段, 考虑在第k c x A 层与k+1层质点在曲线上的下 a 滑，依能量守恒律，可近似 k 认为质点在每层内的速度不 变，于是依辅助结论知
sin k sin k 1 vk vk 1
那么我们的问题成为
求某个 y ˆ E,使得
ˆ ) min T ( y ) T(y
yE
引进集合 E0 { ( x) C 1[0, c], (0) 0, (c) 0}
ˆ ( x) 是最速曲线函数,则 显然若 y ˆ ( x) ( x) E, R , E0 y
1
2
3
4
5
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？ 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点 何时越过l ？ 如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1 别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 为a, b, OD =c, 质点经过l于C OC=x 那么质点由A1到A2需时间
E0
由于 的任意性,得到
d ˆ, y ˆ )) f y ( y ˆ, y ˆ ) 0 ( f y ( y dx
d ˆ y ˆ f y ( y ˆ, y ˆ ) f ( y ˆ, y ˆ )] 0 上式乘以 可化为 [y dx
ˆ 满足方程 也就是说 y
从而下降时间
T dt
0 T S 0
0 R 2(1 cos ) d ds 0 v 2 gy
T
0
寻找最速降线
不•变，于是依辅助结论知
•ak+
•B
1
•y
•由于上式对任何k成立 ，•故导出
•
•令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲
•上任线何一点
•A
•c •x
•其中a为该点切线与铅垂线
•的夹角 •由于
•a
•B
•y
•其中y=y(x)为曲线函数，又因
•于是得到 •最速降线的方程：
•
•另一种方法－变分
•A
•c •x
令
•(旋轮线)
•求出 根
•
•下降所需时间
•计算弧微分
•从而下降时间
•
•实验任务
•1. 给定c和H,试用近似方法求出最速降线的曲线
•和下降时间,再确定参数方程中的常数R(和 •后得到曲线和时间,将两种结果比
•2. 较在.一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从
•A 到B的曲线,使得这曲线绕l旋转所得的旋转面 •的面积最小 •3. 伽利略做过著名的单摆实验:长度l的单摆的摆动 •周期与振幅无关, 试分析情况是否如此? •4. 如果将坐标系的y轴向下,作出旋轮线,设质点从 •线上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所 •需时间
•上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时 ？• 显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点
•何时越过l ？
•如图，若A1,A2到l 的垂足分 •A
•别为O,D, A1,A2 到l的距离分别 1
•a
1
•D •l
•为a, b, OD =c, 质点经过l于C
•O •C •a
•OC=x 那么质点由A1到A2需时 间
2
•A
2
•
•惟一驻点满足
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
使用拉格朗日乘数法计算最速降线一、引言在物理学和工程学中，我们经常需要研究物体在重力场中的运动规律。
而在研究物体在重力场中的运动问题时，经常需要求解最速降线的问题。
那么，如何使用拉格朗日乘数法来计算最速降线呢？接下来，我们将通过深入的探讨和分析，来揭示这一问题的解决方法。
二、什么是最速降线？最速降线是指在给定两点之间，一条曲线上一点到另一点的时间最短。
在重力场中，物体遵循最速降线原理，也就是物体在重力场中自由运动时，路径为最速降线。
对于给定两点之间的最速降线问题，我们需要找到一条曲线，使得物体从起点到终点所需的时间达到最小值。
三、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法。
它的基本思想是将原问题转化为一个无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子来构建一个拉格朗日函数，然后求解该函数的驻点。
在最速降线问题中，我们需要将最速降线的约束条件转化为拉格朗日乘数形式，然后应用拉格朗日乘数法来求解。
四、使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤1. 建立参数方程我们需要建立最速降线的参数方程。
设最速降线为y=f(x)，起点为(x1,y1)，终点为(x2,y2)，则我们可以建立参数方程：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b其中，参数t的范围为[a,b]。
2. 构建拉格朗日函数接下来，我们需要构建拉格朗日函数。
根据最速降线的约束条件，即起点和终点确定，我们可以建立拉格朗日函数：L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-k)其中，λ为拉格朗日乘子，g(x,y)为约束条件函数，k为约束条件的常数值。
3. 求解拉格朗日函数的偏导数我们需要求解拉格朗日函数关于x、y和λ的偏导数，并令其等于0，得到方程组：∂L/∂x=0∂L/∂y=0∂L/∂λ=0通过求解上述方程组，我们可以得到参数方程x=x(t)，y=y(t)的解。
4. 求解最速降线方程通过将参数方程带入原函数f(x,y)，我们可以求解出最速降线的方程，从而得到最速降线的数学表达式。
牛顿对最速降线的推导
牛顿对最速降线的推导牛顿对最速降线的推导：一、概念1.牛顿对最速降线的推导是指用牛顿的第二定律，根据分数降低的函数展开表达式，得出函数的最速降线，一般用于优化问题的性能测试．2.牛顿的第二定律（牛顿动量定律）是指分子受到等比例力时，对应的动量也是等比比例变化的，即牛顿发现了力和动量之间的恒定关系，可用来解决优化问题。
二、牛顿对最速降线的推导过程1. 首先，如果要使函数尽可能降低，则需要根据动量定律求得函数的阶导数，具体的计算公式如下：$$ f'(x) = \frac{df}{dx}$$2. 根据阶导数的定义，首先需要将函数拆分为两部分：函数的变化量和变化量的变化量，即：$$f'(x) = \frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x}} - \frac{(\Delta{f(x + \Delta{x})}) - (\Delta{f(x)})}{\Delta{x}}$$3. 根据牛顿的第二定律，函数尽可能地降低，则 $\Delta{f(x + \Delta{x})} <\Delta{f(x)}$，即变化量的变化量是负值，所以可以将上面的式子简化为：$$ f'(x) = \frac{f(x + \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x}} + \lambda$$4. 要使得函数尽可能降低，最后的结果应该小于$\lambda$，即$f'(x) < \lambda$。
根据这个结果，可以得出当$\Delta{x}$满足$\frac{f(x - \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x}} < \lambda$时，函数就会朝着最速降线的方向变化，也就是所谓的牛顿对最速降线的推导。
三、运用1. 在一些优化问题中，如果要求系统尽可能的提高性能，可以考虑使用牛顿对最速降线的推导．2. 根据牛顿对最速降线的推导，可以给出要最大限度降低函数值所需要满足的条件，即$\Delta{x}$必须满足：$\frac{f(x - \Delta{x}) - f(x)}{\Delta{x}} < \lambda$，而这个条件可以帮助搜索优化系统尽可能降低函数值．3. 另外，通过牛顿对最速降线的推导，有利于我们分析函数的准确性，也可以用牛顿的方法来分析局部函数的最大值，或者最小值，只要函数的梯度大于或小于偏移量，该函数就有最大值或最小值．。
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利用数学软件求解得到的曲线
再作分析
质点要走最快的路线(曲线)，应该如何变化？
➢ 依然用从质点速度变化的角度考虑
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的
上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？
如图,若A1,A2到l 的垂足分 A1
别为O,D, A1,A2 到l的距离分别
1
Dl
为a, b, OD =c, 质点经过l于C, 设 O C
沿曲线下滑到定点B， 试确定一条曲线，使得质 A
点由A到B下滑时间最短.
假定B比A低，不计摩擦力
和其他阻力等因素.
B
➢ 此问题导致数学新分支的产生.
思考
这是一个求最值的问题 ➢ 与求函数的极值一样吗？ ➢ 与求线性规划问题中的极值一样吗？ ➢ 它的数学形式怎样？
历史
1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告
B
分成 n个带状小区域.
y
在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为 vk 2gyk 而曲线段近似认为是直线段,其长度
(xi xi1)2(yi)2
于是质点从A到B所需时间近似为
n
T
(xi xi1)2(yi)2
i1
vi
( y i 是已知的！)
( n -1元函数! )
➢ 求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解 (为简单计,可取g =1000cm/s2)
贝努利 约翰 Bernoulli,Johann
➢ 欧洲著名科学家族 ➢ 涉猎 微积分、微分方程、解析几
何、概率论以及变分法 更贡献于物理、化学和天文学 ➢ 谁发现 L’Hospital 法则 ➢ 欧拉的指导者和老师 ➢ 瑞士的骄傲
问题的数学形式
A
bx
设曲线为 yy(x), (x [0,b])
No 满足 y(0)=0, y(b)=H
内容提要
➢ 回顾微积分有关知识 ➢ 连续,多元函数极值,积分等 ➢ 复习微分方程求解的解析与数值方法 ➢ 介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法 ➢ 最速降线求解的仿真方法
背景故事
1696年John Bernoulli向他的兄长和其他
数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:
一质量为m的质点，在重力作用下从定点A
2
OC =x, 那么质点由A1到A2需时间
A2
t x2a2 (cx)2b2
v1
v2
d t x cx dxv1 x2a2 v2 (cx)2b2
唯一驻点满足
x cx v1 x2a2 v2 (cx)2b2
也即
sin 1 sin 2
v1
v2
A1
a
1
C-x D l
O x C 2
b
A2
这就是光学中的 Snell 折射定律
建立数学模型
分析：如图建立坐标系，用与x 轴平行的直线将
弧AB 分割成小段, 考虑在第k
A
bx
层与k +1层质点在曲线上的下 k
滑，依能量守恒律，可近似
认为质点在每层内的速度不
变，于是依辅助结论知
k+1
B
sink sink1
y
vk
vk1
注意上式对任何k成立，
故导出
sink
vk
C1（常数）
令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线
b
a f(x)g(x)dx0
那么 f (x) 0
另一种方法－变分法
寻找最速降线
数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这 些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着, 而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这 些真理之间的新的接触点.
── C. F. Gauss
数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人 类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.
── R. C. Buck
➢ 可以使用数学软件来求极值，但所得曲线为 离散形式，无解析表达式
求解极值数值方法
令 x T i v i[x i( x ix i-1 ) x 2 i 1 h 2 ]1 2 v i 1 [x i( x 1 i 1 x i) x 2 i h 2 ]1 2 0 可令 v 1 [x 1 ( x 1 x 0 )x 2 0 h 2 ]1 2 v i 1 [x i( x 1 i 1 x i)x 2 i h 2 ]1 2 c
上任何一点
A
bx
sin
v
C1
（常数）
其中 为该点切线与铅垂线
的夹角
B
y
导出微分方程
v 2gy
A
bx
又因 ytanco t
sin 1 1
y
B
co2t1 y21
于是得到
2g1 yy21C 1 y(1y2)C 2
一个引理
设集合E0={g(x)C1 │g(a) =g(b)=0}
No 如果在[a,b]上连续函数 f (x)满足 对g (x)ImE0a，g总e有
Image 若 TT(y){质点沿 y=y(x)
B
下滑的时间}
y
我们要求的是怎样的函数y(x),
使得T(y) 取得最小值
求 m xk-1 xk
bx
点, B为(b,H), 将带状区域
yk-1
0< y <H用平行于 x 轴的
yk
直线 y=yk=k H/n 把这区域
解出 故
xi xi11c vc ih 2vi2 (i1,2,,n)（ *）
n
xn x0ch
i1
vi 1c2vi2
令 c为下列方程的解
f
(x)
x h
n
xn
x0 vi
0
i1 1x2vi2
再将 c代入(*)式中，将x i,y i(i 0 ,1 , ,n )用曲线
连接即得拟合最速降线，再求出时间 T.
利用数学软件求近似最速降线和最短时间
function m6_1(b,H,n) h=H/n;g=9.8;f=1.0;a=0; d=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H));c=(a+d)/2; i=1; while abs(f)>1e-10 s=0; for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c^2*v^2); end f=c-b/(h*s); if f>0 d=c;else a=c; end c=(a+d)/2;i=i+1;end x(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h); T=sqrt((x(1)-a)^2+h^2)/sqrt(2*g*h) for k=2:n v=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v); T=T+sqrt((x(k)-x(k-1))^2+h^2)/v; end plot(x,-(0.1:h:H),'*r')