最速降线问题
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b
a f(x)g(x)dx0
那么 f (x) 0
另一种方法－变分法
Image 若 TT(y){质点沿 y=y(x)
B
下滑的时间}
y
我们要求的是怎样的函数y(x),
使得T(y) 取得最小值
求 minT(y)
近似方法
如图建立坐标系,设A为原 A xk-1 xk
bx
点, B为(b,H), 将带状区域
yk-1
0< y <H用平行于 x 轴的
yk
直线 y=yk=k H/n 把这区域
内容提要
➢ 回顾微积分有关知识 ➢ 连续,多元函数极值,积分等 ➢ 复习微分方程求解的解析与数值方法 ➢ 介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法 ➢ 最速降线求解的仿真方法
背景故事
1696年John Bernoulli向他的兄长和其他
数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:
一质量为m的质点，在重力作用下从定点A
沿曲线下滑到定点B， 试确定一条曲线，使得质 A
点由A到B下滑时间最短.
假定B比A低，不计摩擦力
和其他阻力等因素.
B
➢ 此问题导Hale Waihona Puke Baidu数学新分支的产生.
思考
这是一个求最值的问题 ➢ 与求函数的极值一样吗？ ➢ 与求线性规划问题中的极值一样吗？ ➢ 它的数学形式怎样？
历史
1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告
建立数学模型
分析：如图建立坐标系，用与x 轴平行的直线将
弧AB 分割成小段, 考虑在第k
A
bx
层与k +1层质点在曲线上的下 k
滑，依能量守恒律，可近似
认为质点在每层内的速度不
变，于是依辅助结论知
k+1
B
sink sink1
y
vk
vk1
注意上式对任何k成立，
故导出
sink
vk
C1（常数）
令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线
贝努利 约翰 Bernoulli,Johann
➢ 欧洲著名科学家族 ➢ 涉猎 微积分、微分方程、解析几
何、概率论以及变分法 更贡献于物理、化学和天文学 ➢ 谁发现 L’Hospital 法则 ➢ 欧拉的指导者和老师 ➢ 瑞士的骄傲
问题的数学形式
A
bx
设曲线为 yy(x), (x [0,b])
No 满足 y(0)=0, y(b)=H
2
OC =x, 那么质点由A1到A2需时间
A2
t x2a2 (cx)2b2
v1
v2
d t x cx dxv1 x2a2 v2 (cx)2b2
唯一驻点满足
x cx v1 x2a2 v2 (cx)2b2
也即
sin 1 sin 2
v1
v2
A1
a
1
C-x D l
O x C 2
b
A2
这就是光学中的 Snell 折射定律
B
分成 n个带状小区域.
y
在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为 vk 2gyk 而曲线段近似认为是直线段,其长度
(xi xi1)2(yi)2
于是质点从A到B所需时间近似为
n
T
(xi xi1)2(yi)2
i1
vi
( y i 是已知的！)
( n -1元函数! )
➢ 求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解 (为简单计,可取g =1000cm/s2)
function m6_1(b,H,n) h=H/n;g=9.8;f=1.0;a=0; d=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H));c=(a+d)/2; i=1; while abs(f)>1e-10 s=0; for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c^2*v^2); end f=c-b/(h*s); if f>0 d=c;else a=c; end c=(a+d)/2;i=i+1;end x(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h); T=sqrt((x(1)-a)^2+h^2)/sqrt(2*g*h) for k=2:n v=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v); T=T+sqrt((x(k)-x(k-1))^2+h^2)/v; end plot(x,-(0.1:h:H),'*r')
利用数学软件求解得到的曲线
再作分析
质点要走最快的路线(曲线)，应该如何变化？
➢ 依然用从质点速度变化的角度考虑
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的
上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？
如图,若A1,A2到l 的垂足分 A1
别为O,D, A1,A2 到l的距离分别
1
Dl
为a, b, OD =c, 质点经过l于C, 设 O C
寻找最速降线
数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这 些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着, 而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这 些真理之间的新的接触点.
── C. F. Gauss
数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人 类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.
── R. C. Buck
➢ 可以使用数学软件来求极值，但所得曲线为 离散形式，无解析表达式
求解极值数值方法
令 x T i v i[x i( x ix i-1 ) x 2 i 1 h 2 ]1 2 v i 1 [x i( x 1 i 1 x i) x 2 i h 2 ]1 2 0 可令 v 1 [x 1 ( x 1 x 0 )x 2 0 h 2 ]1 2 v i 1 [x i( x 1 i 1 x i)x 2 i h 2 ]1 2 c
解出 故
xi xi11c vc ih 2vi2 (i1,2,,n)（ *）
n
xn x0ch
i1
vi 1c2vi2
令 c为下列方程的解
f
(x)
x h
n
xn
x0 vi
0
i1 1x2vi2
再将 c代入(*)式中，将x i,y i(i 0 ,1 , ,n )用曲线
连接即得拟合最速降线，再求出时间 T.
利用数学软件求近似最速降线和最短时间
上任何一点
A
bx
sin
v
C1
（常数）
其中 为该点切线与铅垂线
的夹角
B
y
导出微分方程
v 2gy
A
bx
又因 ytanco t
sin 1 1
y
B
co2t1 y21
于是得到
2g1 yy21C 1 y(1y2)C 2
一个引理
设集合E0={g(x)C1 │g(a) =g(b)=0}
No 如果在[a,b]上连续函数 f (x)满足 对g (x)ImE0a，g总e有
a f(x)g(x)dx0
那么 f (x) 0
另一种方法－变分法
Image 若 TT(y){质点沿 y=y(x)
B
下滑的时间}
y
我们要求的是怎样的函数y(x),
使得T(y) 取得最小值
求 minT(y)
近似方法
如图建立坐标系,设A为原 A xk-1 xk
bx
点, B为(b,H), 将带状区域
yk-1
0< y <H用平行于 x 轴的
yk
直线 y=yk=k H/n 把这区域
内容提要
➢ 回顾微积分有关知识 ➢ 连续,多元函数极值,积分等 ➢ 复习微分方程求解的解析与数值方法 ➢ 介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法 ➢ 最速降线求解的仿真方法
背景故事
1696年John Bernoulli向他的兄长和其他
数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:
一质量为m的质点，在重力作用下从定点A
沿曲线下滑到定点B， 试确定一条曲线，使得质 A
点由A到B下滑时间最短.
假定B比A低，不计摩擦力
和其他阻力等因素.
B
➢ 此问题导Hale Waihona Puke Baidu数学新分支的产生.
思考
这是一个求最值的问题 ➢ 与求函数的极值一样吗？ ➢ 与求线性规划问题中的极值一样吗？ ➢ 它的数学形式怎样？
历史
1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告
建立数学模型
分析：如图建立坐标系，用与x 轴平行的直线将
弧AB 分割成小段, 考虑在第k
A
bx
层与k +1层质点在曲线上的下 k
滑，依能量守恒律，可近似
认为质点在每层内的速度不
变，于是依辅助结论知
k+1
B
sink sink1
y
vk
vk1
注意上式对任何k成立，
故导出
sink
vk
C1（常数）
令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线
贝努利 约翰 Bernoulli,Johann
➢ 欧洲著名科学家族 ➢ 涉猎 微积分、微分方程、解析几
何、概率论以及变分法 更贡献于物理、化学和天文学 ➢ 谁发现 L’Hospital 法则 ➢ 欧拉的指导者和老师 ➢ 瑞士的骄傲
问题的数学形式
A
bx
设曲线为 yy(x), (x [0,b])
No 满足 y(0)=0, y(b)=H
2
OC =x, 那么质点由A1到A2需时间
A2
t x2a2 (cx)2b2
v1
v2
d t x cx dxv1 x2a2 v2 (cx)2b2
唯一驻点满足
x cx v1 x2a2 v2 (cx)2b2
也即
sin 1 sin 2
v1
v2
A1
a
1
C-x D l
O x C 2
b
A2
这就是光学中的 Snell 折射定律
B
分成 n个带状小区域.
y
在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为 vk 2gyk 而曲线段近似认为是直线段,其长度
(xi xi1)2(yi)2
于是质点从A到B所需时间近似为
n
T
(xi xi1)2(yi)2
i1
vi
( y i 是已知的！)
( n -1元函数! )
➢ 求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解 (为简单计,可取g =1000cm/s2)
function m6_1(b,H,n) h=H/n;g=9.8;f=1.0;a=0; d=2/(sqrt(2*g*(n-1)/n*H));c=(a+d)/2; i=1; while abs(f)>1e-10 s=0; for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c^2*v^2); end f=c-b/(h*s); if f>0 d=c;else a=c; end c=(a+d)/2;i=i+1;end x(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h); T=sqrt((x(1)-a)^2+h^2)/sqrt(2*g*h) for k=2:n v=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v); T=T+sqrt((x(k)-x(k-1))^2+h^2)/v; end plot(x,-(0.1:h:H),'*r')
利用数学软件求解得到的曲线
再作分析
质点要走最快的路线(曲线)，应该如何变化？
➢ 依然用从质点速度变化的角度考虑
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的
上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？
如图,若A1,A2到l 的垂足分 A1
别为O,D, A1,A2 到l的距离分别
1
Dl
为a, b, OD =c, 质点经过l于C, 设 O C
寻找最速降线
数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这 些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着, 而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这 些真理之间的新的接触点.
── C. F. Gauss
数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人 类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.
── R. C. Buck
➢ 可以使用数学软件来求极值，但所得曲线为 离散形式，无解析表达式
求解极值数值方法
令 x T i v i[x i( x ix i-1 ) x 2 i 1 h 2 ]1 2 v i 1 [x i( x 1 i 1 x i) x 2 i h 2 ]1 2 0 可令 v 1 [x 1 ( x 1 x 0 )x 2 0 h 2 ]1 2 v i 1 [x i( x 1 i 1 x i)x 2 i h 2 ]1 2 c
解出 故
xi xi11c vc ih 2vi2 (i1,2,,n)（ *）
n
xn x0ch
i1
vi 1c2vi2
令 c为下列方程的解
f
(x)
x h
n
xn
x0 vi
0
i1 1x2vi2
再将 c代入(*)式中，将x i,y i(i 0 ,1 , ,n )用曲线
连接即得拟合最速降线，再求出时间 T.
利用数学软件求近似最速降线和最短时间
上任何一点
A
bx
sin
v
C1
（常数）
其中 为该点切线与铅垂线
的夹角
B
y
导出微分方程
v 2gy
A
bx
又因 ytanco t
sin 1 1
y
B
co2t1 y21
于是得到
2g1 yy21C 1 y(1y2)C 2
一个引理
设集合E0={g(x)C1 │g(a) =g(b)=0}
No 如果在[a,b]上连续函数 f (x)满足 对g (x)ImE0a，g总e有