指对幂函数-教案

燕园思达教育教案

指数函数

指数函数的图象与性质

指数函数

一个关系

分数指数幂与根式的关系

根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范

(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．

(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点

画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，

1a .

双基自测

1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π

6

的值为( )． A ．0 B.

3

3

C ．1 D. 3

解析 由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π

3

＝ 3. 答案 D

2．(2012·郴州五校联考)函数f (x )＝2|

x －1|

的图象是( )．

解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －1，x <1，故选B.

答案 B

3．若函数f (x )＝1

2＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．

A ．单调递减无最小值

B ．单调递减有最小值

C ．单调递增无最大值

D ．单调递增有最大值

解析 设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1， 则y ＝1

t

，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞)

t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)． 因此y ＝1

t 在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．

答案 A

4．(2011·天津)已知a ＝5 3.4

log 2

，b ＝5 3.6

log

4

，c ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫150.3

log

3，则( )．

A ．a ＞b ＞c

B ．b ＞a ＞c

C ．a ＞c ＞b

D ．c ＞a ＞b

解析 c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log30.3＝5-log30.3＝5310log3，log 23.4＞log 22＝1，log 43.6＜log 44＝1，log 3

103

＞log 33＝1， 又log 23.4＞log 2

103＞log 3 103，∴log 2 3.4＞log 3 10

3

＞log 4 3.6 又∵y ＝5x 是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案 C

5．(2012·天津一中月考)已知a 21

＋a 2

1-＝3，则a ＋a －1＝______；a 2＋a －2＝________. 解析 由已知条件(a 21

＋a 2

1

-)2＝9.整理得：a ＋a －

1＝7

又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47.

答案 7 47

考向一 指数函数的性质

【例2】►已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1

a x －1＋12·x 3(a ＞0且a ≠1)．

(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的奇偶性；

(3)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．

[审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决． 解 (1)由于a x －1≠0，且a x ≠1，所以x ≠0. ∴函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭

⎫1

a －x －1＋12(－x )3

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x

－1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )，

∴f (x )是偶函数．

(3)当a ＞1时，f (x )＝(a x ＋1)x 3

2(a x －1).

对x ＞0，由指数函数的性质知a x ＞1， ∴a x －1＞0，a x ＋1＞0.

又x ＞0时，x 3

＞0，∴(a x ＋1)x 3

2(a x －1)0，

即当x ＞0时，f (x )＞0.

又由(2)知f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， 则当x ＜0时，－x ＞0，有f (－x )＝f (x )＞0成立． 综上可知，当a ＞1时，f (x )＞0在定义域上恒成立． 当0＜a ＜1时，f (x )＝(a x ＋1)x 3

2(a x －1).

当x ＞0时，1＞a x ＞0，a x ＋1＞0，

a x －1＜0，x 3＞0，此时f (x )＜0，不满足题意； 当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝f (x )＜0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值范围是a ＞1.

(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利

用f (－x )±f (x )，f (x )

f (－x )

来判断．

(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法． 【训练2】 设f (x )＝e －x a ＋a

e －x 是定义在R 上的函数．

(1)f (x )可能是奇函数吗？

(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)的单调性． 解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ， ∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋a e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫

e －x a ＋a e －x ，

整理得⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x

)＝0，

即a ＋1

a ＝0，即a 2＋1＝0显然无解．

∴f (x )不可能是奇函数．

(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ， 整理得⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a －1a (e x －e －x )＝0，