关键路径算法

printf("V%1d ",topo[i]+1);
printf("\n");
return TRUE;
}
void insert(ALGraph &G,int a,int b,float weight) /*在表尾插入表结点*/ { ArcNode *p,*temp; temp=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode)); temp->adjvex=b; temp->nextarc=NULL; temp->weight=weight; p=G.vertices[a].firstarc; if(p==NULL) G.vertices[a].firstarc=temp; else { while(p->nextarc!=NULL) p=p->nextarc; /*找表尾*/ p->nextarc=temp; } }
由此得到求关键路径的算法：
(1)输入e条弧<j，k>，建立AOE-网的存储结构；
(2)从源点v0出发，令ve[0]=0，按拓扑有序求 其余各顶点的最早发生时间ve[i] (1≤i≤n-1)。如果 得到的拓扑有序序列中顶点个数小于网中顶点数n， 则说明网中存在环，不能求关键路径，算法终止； 否则执行步骤(3)。
数组赋初值*/ for(i=0;i<G.vexnum;i++) { p=G.vertices[i].firstarc; while(p) { inDegree[p->adjvex]++; p=p->nextarc; } } }
void makeNewAOV(ArcNode *p,int *indegree, int
为最生事件的最早发生时间（本例均为18）*/ for(k=G.vexnum-2;k>=0;k--) /*下标从0开始，最后一个顶点
无后继，所以减2*/ { i=topo[k]; p=G.vertices[i].firstarc; while(p!=NULL) { j=p->adjvex; if(vl[j]-p->weight<vl[i]) vl[i]=vl[j]-p->weight; p=p->nextarc; } } }
typedef float AdjType;
typedef struct ArcNode
{ int adjvex;
/* 相邻顶点字段 */
AdjType weight;
struct ArcNode *nextarc;
/* 链字段 */
}ArcNode;
/* 边表中的结点 */
int vexnum,arcnum;
/* 图的顶点个数 */
}ALGraph;
/* 求出图中所有顶点的入度，方法是搜索整个邻接表 */ void FindInDegree(ALGraph G,int inDegree[]) { int i; ArcNode *p; for(i=0;i<G.vexnum;i++) inDegree[i]=0; /*顶点入度
for(k=0;k<G.vexnum;k++) /* 求事件vj可能的最早发 生时间ee(j) */
{ i=topo[k];
//k仅起控制作用
p=G.vertices[i].firstarc;
while(p!=NULL)
{ j=p->adjvex;
if(ve[i]+p->weight>ve[j]) ve[j]=ve[i]+p->weight;
typedef struct VNode
{ VertexType data;
/* 顶点信息 */
ArcNode *firstarc;
Hale Waihona Puke Baidu
/* 边表头指针 */
}VNode,AdjList[MAXVEX]; /* 顶点表中的结点 */
typedef struct
{ AdjList vertices;
和AOV-网不同，对AOE-网有待研究的问题是：
(1)完成整项工程至少需要多少时间?
(2)哪些活动是影响工程进度的关键?
由于在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的 最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度(这里所说的路 径长度是指路径上各活动持续时间之和，不是路径上弧的数目)。 路径长度最长的路径叫做关键路径(Critical Path)。假设开始点 是v1，从v1到vi的最长路径长度叫做事件vi的最早发生时间。这 个时间决定了所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间。 我们用e(i)表示活动ai的最早开始时间。还可以定义一个活动的 最迟开始时间l(i)，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动 ai最迟必须开始进行的时间。两者之差l(i)-e(i)意味着完成活动ai 的时间余量。我们把l(i)=e(i)的活动叫做关键活动。显然，关键 路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并 不能加快工程的进度。因此，分析关键路径的目的是辨别哪些 是关键活动，以便争取提高关键活动的工效，缩短整个工期。
(3)从汇点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓 扑有序求其余各顶点的最迟发生时间vl[i](n— 2≥i≥2)；
(4)根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s的最早开 始时间e(s)和最迟开始时间 l(s)。若某条弧满足条 件e(s)=l(s)，则为关键活动。
先将拓扑排序算法7.12改写成算法7.13，则算法 7.14便为求关键路径的算法。
}
if(count<G.vexnum) /* AOV网中存在回路 */
{ printf("The aov network has a cycle\n");
return FALSE;
}
printf("拓扑序列为： "); //输出拓扑序列
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
由上分析可知，辨别关键活动就是要找e(i)=l(i)的活动。为 了求得AOE-网中活动的e(i)和l(i)， 首先求事件的最早发 生时间ve(j)和最迟发生时间vl(j)。如果活动ai由弧<j,k>表 示，其持续时间记为dut(<j,k>),则有如下关系：

e(i ) = ve(j)
(7-1)

l (i) = vl(k)-dut(<j,k>)
求ve(j)和vl(j)需分两步进行：
（1）从ve(0)开始向前递推

ve(j) = Max{ve(i)+dut(<i,j>)}
i

<i,j> ∈T, j=1,2,3,…,n-1
（7-2）
其中，T是所有以第j个顶点为尾的弧的结合。
（2）从vl(n-1)=ve(n-1)起向后递推
void counte_l(ALGraph G,AdjType *ve,AdjType *vl,AdjType *ee,AdjType *el)
/*计算各活动的最早发生时间和最迟发生时间，并输出关 键路径*/
{ int i=0,j,k; ArcNode *p; printf("关键路径是： "); for(j=0;j<G.vexnum;j++) /*求活动ai的最早开始时间ee(i)
&top)
{ int k;
while(p)
/* 删除以该顶点为起点的边 */
{ k=p->adjvex;
indegree[k]--;
if(indegree[k]==0) /* 将新的入度为零的边 入栈 */
{ indegree[k]=top;
top=k;
}
p=p->nextarc;
/*图的关键路径问题的算法AOE.C*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXVEX 100
#define TRUE 1
#define FALSE 0
typedef char VertexType[MAXVEX]; /*存放顶点信息的字符串*/
/* 取出当前栈顶元素 */
topo[count++]=j;
/*ptopo数组存放拓扑序列*/
p=G.vertices[j].firstarc;
//取该元素边表中的第一个边结点，删除该结点,构造新的AOV网
makeNewAOV(p,indegree,top); //对indegree数组进行修改
关键路径
与AOV-网相对应的是AOE-网(Activity On Edge) 即边表示活动的网。AOE-网是一个带权的有向无 环图，其中，顶点表示事件(Event)，弧表示活动， 权表示活动持续的时间。通常，AOE-网可用来估 算工程的完成时间。
例如，图7.29是一个假想的有11项活动的AOE-网。 其中有9个事件v1，v2，v3，…，v9，每个事件 表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动 可以开始。如v1表示整个工程开始，v9表示整个 工程结束，v5表示a4和a5已经完成，a7和a8可以 开始。与每个活动相联系的数是执行该活动所需 的时间。比如，活动a1需要6天， a2需要4天等。
p=p->nextarc;
}
}
}
void countvl(ALGraph G,int *topo,AdjType *ve, AdjType *vl) /* 计算各事件的最迟发生时间*/
{ int i,j,k; ArcNode *p; for(i=0;i<G.vexnum;i++) //求事件vi允许的最迟发生时间vl(i) vl[i]=ve[G.vexnum-1]; /*每个事件的最迟发生时间赋初值
点的入度 */ for(i=0;i<G.vexnum;i++) if(indegree[i]==0) / / 将入度为零的顶点入栈 { indegree[i]=top; top=i; }
while(top!=-1)
/* 栈不为空 */
{ j=top;
top=indegree[top];
}
}
int topoSort(ALGraph G,int *topo) /*拓扑排序算 法*/
{ ArcNode *p; int i,j,count=0,top=-1; int indegree[MAXVEX]; FindInDegree(G,indegree); /* 求出图中所有顶

vl(i) = Min{ vl (j) – dut(<i,j>) }

j

<i,j> ∈S , i=n-2,…,0 （7-3）
其中，S是所有以第i个顶点为头的弧的集 合。
这两个递推公式的计算必须分别在拓扑 有序和逆拓扑有序的前提下进行。也就是 说ve(j-1)必须在vj的所有前驱的最早发生时 间求得之后才能确定，而vl(j-1)则必须在vj 的所有后继的最迟发生时间求得之后才能 确定。因此，可以在拓扑排序的基础上计 算ve(j-1)和vl(j-1)。
void makeList(ALGraph &G) /*邻接表的构造*/ { int i; G.vexnum=9; for(i=0;i<G.vexnum;i++) //给顶点指针域赋初值 G.vertices[i].firstarc=NULL; insert(G,0,1,6); insert(G,0,2,4); insert(G,0,3,5); insert(G,1,4,1); insert(G,2,4,1); insert(G,3,5,2); insert(G,4,6,9); insert(G,4,7,7); insert(G,5,7,4); insert(G,6,8,2); insert(G,7,8,4); }
#define MAXEDGE 100 /*MAXEDEG为边的最大数目*/
void countve(ALGraph G,int *topo,AdjType *ve) /* 计算 各事件的最早发生时间*/
{ int i,j,k;
ArcNode *p;
for(i=0;i<G.vexnum;i++) ve[i]=0; /*ee数组赋初值*/