高数 斯托克斯公式 环流量 旋度

三式相加, 即得斯托克斯公式。 证毕
注意: 如果是xoy面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
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为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:


d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
I

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o x
dS
2
0
10
y
x 2
y
z
xy
xz
例3
利用斯托克斯公式计算曲线积分
是用平面 x y z
3 2
z
2 2 2 2 2 2 ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y )dz (0,1,1) Γ
其中Γ 截立方体：0≤x≤1，0≤y≤1， 0≤z≤1的表面所得的截痕，若从 Ox轴的正向看去，取逆时针方向 (如图（a））。
3 因为在Σ 上 x y z ，故 2
3 3 9 3 I dS 2 3 A 2 3 4 2 3 2
4
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4 ( x y z )dS . 3
二、 环流量与旋度
斯托克斯公式
Pd x Qd y Rd z
思考与练习
2
2
2
rot (grad r )
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x x r
y y r
z z r
(0 , 0 , 0)
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P P z d xd y Dx y y z y P P f y cos d S y z
n
z
o x
,


Dx y
y C
cos
1 , 2 2 1 f x f y
cos
fy 1
f x2 f y2
Q
R
21
设r x y z , 则 2 div (grad r ) r ; rot (grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r 2 2 y x r y ( ) ( ) r r x , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得div (grad r ) 3 z r r i j k
梯度: grad u u , u , u u x y z P Q R 散度: div A A x y z
, , x y z
,
则
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
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情形2
曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可
通过作辅助线面把 分成与z轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用上式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这
类曲面上式仍成立.
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Q Q Q d y 同理可证 Leabharlann Baidu d xd y d yd z x z R R R d z y d y d z x d z d x
9.5 斯托克斯公式 、环流量与旋度 1.斯托克斯公式 2.环流量与旋度 3＊. 汉密尔顿算子
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1
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理9.5.1 设光滑曲面的边界是分段光滑曲线, 的
侧与的方向符合右手法则, 在包含在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
内容小结
1. 斯托克斯公式

P d x Q d y R d z

d yd z d zd x d xd y
x y z
P cos
x
Q cos
y z
R cos dS R


P
Q
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2. 场论中的三个重要概念
设 u u ( x, y, z ) , A ( P , Q , R) ,
记作 rot A
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
x y z P Q R
i
j
k
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
①
定义
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
二阶偏导连续的函数f ( x, y, z)的梯度场是无旋场。
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*三、汉密尔顿算子
定义向量微分算子:
x i y j z k 它又称为▽(Nabla)算子, 或汉密尔顿(Hamilton)算子.
( 1) 设 u u( x , y, z ), 则
u x u i y u j z

设曲面 的单位法向量为
n (cos , cos , cos )
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
(cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s

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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
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P P cos cos d S 因此 P d x y z cos P P cos cos d S z y P P dzdx d xd y z y
如果取下侧，则也相应的改成相反的方向， 那么上式两端同时改变符号，仍然成立。
或用第一类曲面积分表示:


cos x P
cos y Q
cos d S Pd x Qd y Rd z z R
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例1 利用斯托克斯公式计算积分 其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的 整个边界, 方向如图所示. z 1 解： 记三角形域为,取上侧, 则
d yd z d zd x d xd y
x y z
o
1
1 y
x
Dx y
利用对称性 z x y 3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
或
dydz dzdx dxdy
D xy

(
cos cos 3 1)dxdy 3 dxdy cos cos 2 D
xy
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例2
为柱面
与平面y=z 的交线,从z
轴正向看为顺时针,计算 解 且取下侧, 设为平面z = y上被所围椭圆域 ,
则其法线方向余弦
z


y
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
u
k grad u
2u u grad u

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2u x2
2 u y2
2 u z2
u
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(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
2 2 2 2 2 2 解： gradu ( y 3x ,2 xy 2 y cos( y z ),2z cos( y z ))
i rot ( gradu ) x P
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( P, Q, R)
j y Q
k z R
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0i 0 j 0k 0
为向量场 A 沿 的环流量
rot E x
qx r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋。
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y qy r3
z qz r3
(0, 0, 0) (除原点外)
2 3 2 2 u ( x , y , z ) xy x sin( y z )， 例5 求rot(gradu)。
一般地，设 u f ( x , y , z ) 二阶偏导数连续， 则 gradu ( f x , f y , f z )
i rot (gradu) x fx j y fy k z fz
( f zy f yz )i ( f xz f zx ) j ( f yx f xy )k
cos fy cos
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C P[ x , y , f ( x , y )]dx
(C是Dxy的正向边界，也是Γ 在面xOy上的投影) P ( x , y , z )dx 等号成立的理由： （i）函数 P[( x , y , f ( x , y )]在C上点(x，y)处的值与 函数 P ( x , y , z )在Γ 上对应点 ( x , y , z )处的值是一样的； （ ii ） Γ 及 C 上对应的小弧段在 x 轴上的投影也是 一样的。
向量 rotA称为向量场A的 沿有向闭曲线 的环流量。 旋度。 2016/1/7 14
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A) n d S A d s
向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意与的方向形成右手系! q 例4 求电场强度 E 3 r 的旋度 . r i j k 解
P Q R x y z
div A
k
i
A x P
j
y
z
rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
A d v An d S ( A ) n d S A d s
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证 情形1 与平行 z 轴的直线只交于
n

Dx y
2
z
o x

一点, 设其方程为
: z f ( x, y ) , ( x, y ) D x y
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图)
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y C
则 P d x C P( x, y, z ( x, y )) d x （说明） P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y
Σ O x
(1,0,0)
(0,1,0)
y
3 解 取∑为平面 x y z 的上侧被Γ 所围成的部 2 分，∑的单位法向量
1 n {1,1,1}, 3
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（a）
1 即 cos cos cos . 3
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按斯托克斯公式，有
1 3 I x y2 z2 1 3 y z2 x2 1 3 dS z x2 y2