川大版高等数学第一册部分课后题复习资料
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解：设 ，则 ， ， 代入得
其中
（10）
解：
其中设
（11）
解：
（12）
解：
（13）
解：
（14） （令 ）
解：设 ，则 ， ， 代入得
其中
7、求下列无理函数的积分
（1）
解：设 ，则 ， 代入得
（2）
解：令 ，则 ， 代入得
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解： ，令 ， ， ，
故
另解：令 ，则 ， ，
。代入得
故得
（5）
令 ，则 ， ， ， 代入
故得
（6）
解：令 ，则 ， ， ， 代入
故得
（7）
解：令 ，则 代入
故得
（8）
解：令 ，则 ，
故得
（9）
解：由于被积函数的存在域为 ，因此可设 ，并限制 ，从而
， ，代入
故得
（10）
解：令 ，则 ， ， ，代入
故得
又 ，
(11)
解：被积函数的存在域为 或 ，分别考虑。
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
（23）
（24）
（25）
（26）
（27）
（28）
（29）
（30）
（31）
（32）
（33）
(34)
(35)
2、用适当的代换求下列积分
（1）
解：令 ，则 ，
故得
另一解法：令 ，则 ，
故得
（2）
解：令 ，则 ，
故得
（3）
解：令 ，则 ，
故得
（4）
解：令 ，则 ， 代入
若 ，有
于是有
（12）
解：
(13)
解：
（14）
解：
（15）
解：
（16）
解：
注：
（17）
解：
作代换 ，得
（课本例七结果）
最后得
（18）
解：
（19）
解：
故有
5、用有理函数积分法求下列积分
（1）
解：设 ，通分后应有 ，解得 ， 。于是
（2）
解：设 ，通分后解得 ， ， 。于是
（3）
解：设 ，通分后解得 ， ，
此题利用的是定积分的性质6：若函数 、 都在 可积，且对任意 ，有 ，则 。
（5） ， ，
解：特征方程为 ， ，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
12、求下列各种类型的微分方程的通解。
（1）
解：一阶、线性、非齐次
（2）
解：分离变量 ， ， ， ，
又解（利用公式）：
（3）
解：分离变量 ， ，
，
又解（利用公式）：原式变形为 ，
第五章5.1
1、利用积分的性质比较下列积分的大小。
（6）
解：
（7）
解：设 ，则 ， ，
，代入得
当 时
当 时
总之，
（8）
解：设 ，则 ， ， ，
代入得
（9）
解：设 ，则 ， ，
，代入得
（10）
解：设 ，则 ， ，代入得
（11）
解：设 ，则 ， ，
代入得
其中
（12）
解：设 ，则 ， ， 代入得
其中
8、求下列积分
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
（1） ， ，
解：特征方程为 ，解得 ， ，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
（2） ， ，
解：特征方程为 ，解得 ， ，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
（3） ， ，
解：特征方程为 ，解得 ，，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
（4） ， ，
解：特征方程为 ，解得 ，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
高数第一册第一章
习题1.1
（4）
（8）
（10）
7．
（6）
（7） ）
（8）
（9）
13．（1）
（2）
（3）
14．
习题1.2
2。(1) ，解不等式 ，得
(2) ，解不等式 ，得
(3) ，解不等式 ，得
当 时，
(4) ，解不等式 ，得
3.证： ，有 。
于是
，有 ，即
4.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
6.（1）
故
（2）
（3）设 ，
则
（4）
则
7（1）
， 单增。
，有上界。
（2）
， 单增。
，有上界。
（3）
10．
12．
13．
14．
17．
．
18．
19
20
21
习题1.3
5．
6．
7．
10． 11．
12、利用洛必达法则求极限
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
＝
（8）
（9）
（10）
法二：
（11）
（12）
（13）
（1）当 时，可设 ，并限制 ，从而 ，
（2）当 时，可设 ，并限制 ，从而 ，
（12）
（13）
解：令 ，则 ， ，
（14）
解：令 ，则 ，
故得
（15）
（16）
解：被积函数的存在域为 ，因此可设 ，并限制 ，从而
，
代入得
注意到
，最后得
（17）
解：令 ，则
故得
（18）
故
3、求下列积分
（1）
解：
（2）
解：
解：
(27)
解：
(28)
解：设 ，则 ， ， 。代入得
（29）
解：设 ，则 ， 代入得
（30）
解：设 ，则 ， ，代入得
（31）
解：当 时
当 时
总之
（32）
解：
（33）
解：
（34）
解：
（35）
解：
（36）
解：
这里暗中分别假定了被积函数 ， 是连续的
（37）设 ，求
解：由 ，得 ，于是
第四章
4、求下列微分方程的特解。
于是
（4）
解：设 ，通分后解得 ， ， ， 。于是
令解：
(5)
解：
若用代定系数法较复杂
（6）
解：设 ，经计算解得 ， ， ， 。于是
（7）
解：设 ，通分后解得 ， ， ， 。于是
（8）
解：设
6、求下列三角函数的积分
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解： 、
（7）
解：
（8）
（9） ，
解：令 ，则 ， ，代入得
（6）
解：
（7）
解：令 ，则 ， ，代入得
（8）
解：
（9）
解：
（10）
解：
（11）
解：
（12）
解：
（13）
解：
（14）
解：
（15）
解：
（16）
解：
（17）
解：
（18）
解：
（19）
解：
（20）
解：当 时
当 时
总之
(21)
解:
(22)
解：
（23）
解：
（24）
解：
（25）
解：
（26）
（14）
14．证明：
习题2.1
2．
3．
7．（单数）（没有）
14．（单数）（没有）
16．（单数）
19．（单数）
20．（单数）
习题2.2
6．（单数）（没有）
7．（单数）
8．（单数）
9
习题2.3
3．
6．（单数）
8(单)
12．（单数）
14
15
18（显示问题）
19（显示问题）
20
21．(单)
22．（单）
P208习题3.1
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解：
（7）
解：
（8）
解：
（9）
解：
（10）
解：令 ，则 ， ，故得
（或
4、用分部积分法求下列积分
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解：令 ，则 ，待入得
（7）
（8）
（Biblioteka Baidu）
解：令 ，则 ，代入得
（10）
（11）
解：如果a，b同时为零，积分显然为 ；若 ， ，积分显然为 ；
1、利用基本积分公式计算下列积分
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
P237习题3.2
1、用适当地变化被积表达式的方法求下列积分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
其中
（10）
解：
其中设
（11）
解：
（12）
解：
（13）
解：
（14） （令 ）
解：设 ，则 ， ， 代入得
其中
7、求下列无理函数的积分
（1）
解：设 ，则 ， 代入得
（2）
解：令 ，则 ， 代入得
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解： ，令 ， ， ，
故
另解：令 ，则 ， ，
。代入得
故得
（5）
令 ，则 ， ， ， 代入
故得
（6）
解：令 ，则 ， ， ， 代入
故得
（7）
解：令 ，则 代入
故得
（8）
解：令 ，则 ，
故得
（9）
解：由于被积函数的存在域为 ，因此可设 ，并限制 ，从而
， ，代入
故得
（10）
解：令 ，则 ， ， ，代入
故得
又 ，
(11)
解：被积函数的存在域为 或 ，分别考虑。
（18）
（19）
（20）
（21）
（22）
（23）
（24）
（25）
（26）
（27）
（28）
（29）
（30）
（31）
（32）
（33）
(34)
(35)
2、用适当的代换求下列积分
（1）
解：令 ，则 ，
故得
另一解法：令 ，则 ，
故得
（2）
解：令 ，则 ，
故得
（3）
解：令 ，则 ，
故得
（4）
解：令 ，则 ， 代入
若 ，有
于是有
（12）
解：
(13)
解：
（14）
解：
（15）
解：
（16）
解：
注：
（17）
解：
作代换 ，得
（课本例七结果）
最后得
（18）
解：
（19）
解：
故有
5、用有理函数积分法求下列积分
（1）
解：设 ，通分后应有 ，解得 ， 。于是
（2）
解：设 ，通分后解得 ， ， 。于是
（3）
解：设 ，通分后解得 ， ，
此题利用的是定积分的性质6：若函数 、 都在 可积，且对任意 ，有 ，则 。
（5） ， ，
解：特征方程为 ， ，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
12、求下列各种类型的微分方程的通解。
（1）
解：一阶、线性、非齐次
（2）
解：分离变量 ， ， ， ，
又解（利用公式）：
（3）
解：分离变量 ， ，
，
又解（利用公式）：原式变形为 ，
第五章5.1
1、利用积分的性质比较下列积分的大小。
（6）
解：
（7）
解：设 ，则 ， ，
，代入得
当 时
当 时
总之，
（8）
解：设 ，则 ， ， ，
代入得
（9）
解：设 ，则 ， ，
，代入得
（10）
解：设 ，则 ， ，代入得
（11）
解：设 ，则 ， ，
代入得
其中
（12）
解：设 ，则 ， ， 代入得
其中
8、求下列积分
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
（1） ， ，
解：特征方程为 ，解得 ， ，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
（2） ， ，
解：特征方程为 ，解得 ， ，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
（3） ， ，
解：特征方程为 ，解得 ，，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
（4） ， ，
解：特征方程为 ，解得 ，通解为 ， ，利用初始条件有 ，解得 ，所以特解为
高数第一册第一章
习题1.1
（4）
（8）
（10）
7．
（6）
（7） ）
（8）
（9）
13．（1）
（2）
（3）
14．
习题1.2
2。(1) ，解不等式 ，得
(2) ，解不等式 ，得
(3) ，解不等式 ，得
当 时，
(4) ，解不等式 ，得
3.证： ，有 。
于是
，有 ，即
4.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
6.（1）
故
（2）
（3）设 ，
则
（4）
则
7（1）
， 单增。
，有上界。
（2）
， 单增。
，有上界。
（3）
10．
12．
13．
14．
17．
．
18．
19
20
21
习题1.3
5．
6．
7．
10． 11．
12、利用洛必达法则求极限
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
＝
（8）
（9）
（10）
法二：
（11）
（12）
（13）
（1）当 时，可设 ，并限制 ，从而 ，
（2）当 时，可设 ，并限制 ，从而 ，
（12）
（13）
解：令 ，则 ， ，
（14）
解：令 ，则 ，
故得
（15）
（16）
解：被积函数的存在域为 ，因此可设 ，并限制 ，从而
，
代入得
注意到
，最后得
（17）
解：令 ，则
故得
（18）
故
3、求下列积分
（1）
解：
（2）
解：
解：
(27)
解：
(28)
解：设 ，则 ， ， 。代入得
（29）
解：设 ，则 ， 代入得
（30）
解：设 ，则 ， ，代入得
（31）
解：当 时
当 时
总之
（32）
解：
（33）
解：
（34）
解：
（35）
解：
（36）
解：
这里暗中分别假定了被积函数 ， 是连续的
（37）设 ，求
解：由 ，得 ，于是
第四章
4、求下列微分方程的特解。
于是
（4）
解：设 ，通分后解得 ， ， ， 。于是
令解：
(5)
解：
若用代定系数法较复杂
（6）
解：设 ，经计算解得 ， ， ， 。于是
（7）
解：设 ，通分后解得 ， ， ， 。于是
（8）
解：设
6、求下列三角函数的积分
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解： 、
（7）
解：
（8）
（9） ，
解：令 ，则 ， ，代入得
（6）
解：
（7）
解：令 ，则 ， ，代入得
（8）
解：
（9）
解：
（10）
解：
（11）
解：
（12）
解：
（13）
解：
（14）
解：
（15）
解：
（16）
解：
（17）
解：
（18）
解：
（19）
解：
（20）
解：当 时
当 时
总之
(21)
解:
(22)
解：
（23）
解：
（24）
解：
（25）
解：
（26）
（14）
14．证明：
习题2.1
2．
3．
7．（单数）（没有）
14．（单数）（没有）
16．（单数）
19．（单数）
20．（单数）
习题2.2
6．（单数）（没有）
7．（单数）
8．（单数）
9
习题2.3
3．
6．（单数）
8(单)
12．（单数）
14
15
18（显示问题）
19（显示问题）
20
21．(单)
22．（单）
P208习题3.1
（3）
解：
（4）
解：
（5）
解：
（6）
解：
（7）
解：
（8）
解：
（9）
解：
（10）
解：令 ，则 ， ，故得
（或
4、用分部积分法求下列积分
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解：令 ，则 ，待入得
（7）
（8）
（Biblioteka Baidu）
解：令 ，则 ，代入得
（10）
（11）
解：如果a，b同时为零，积分显然为 ；若 ， ，积分显然为 ；
1、利用基本积分公式计算下列积分
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
P237习题3.2
1、用适当地变化被积表达式的方法求下列积分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）