§4.7 周期信号的傅里叶变换

■
第1页
一．正、余弦的傅里叶变换
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知 由频移特性得
1←→2πδ(ω)
e j ω0 t ←→ 2πδ(ω–ω0 ) e –j ω0 t ←→ 2πδ(ω+ω0 )
cos0t
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
同理
sin0t jπ 0 jπ 0
号fT(t)的傅氏系数Fn的关系：
f0 t
fT t
T o T
2
2
设 f0t F0j
T
F0 j
2 T
f0 te jt d t
Fn
1 T
T2
2 T
fT
t e jnt d t
2
t T
o
T
tห้องสมุดไป่ตู้
n
比较(1)(2) f0 t fT t
(1)
Fn
1 T
F0
j
n
4.7-18
(2)
▲
■
第7页
例
2
▲
■
第4页
周期信号傅氏变换例2
例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。
f(t) 1 … -4 -1 0 1
…
4
t
■
第5页
周期信号傅氏变换例2
例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。
解：周期信号f(t)也可看作 一时限非周期信号f0(t)的周 期拓展。即
f(t) = T(t)* f0(t)
… -4
f(t) 1 -1 0 1
…
4
t
F(jω) = ΩΩ(ω) F0(jω) F0 ( jn) ( n) n
本题 f0(t) = g2(t)←→ 2Sa() 2
T2
4.7-17
F(jω)
2Sa(n) ( n)
Sa( n ) ( n )
n
n
2
2
■
第6页
三、傅里叶系数与傅里叶变换关系
推导：第一个周期单脉冲f0(t)的傅氏变换F0(jω)与周期信
§4.7 周期信号的傅里叶变换
周期信号：f(t)←→傅里叶级数Fn 离散谱
非周期信号：f(t)←→傅里叶变换F(jω) 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？
f
t 非 周期 周期
统一的分析方法：傅里叶变换
• 正、余弦的傅里叶变换
• 一般周期信号的傅里叶变换
• 傅里叶系数与傅里叶变换
1 T
T
2 T
fT (t) e jn t d t
2
fT (t) Fn e jn t FT ( j) 2 Fn ( n) (4.7-8)
n
n
说明：(1)周期信号fT(t)的傅氏变换由冲激序列组成， 冲激函数仅存在于谐波频率处；
(2)谱线的幅度不是有限值，因为F(jω)代表频谱密度。
例1 例4.7-2：δT(t)←→?
▲
■
第2页
频谱图
cos0t π ( 0 ) ( 0 )
F j
cos0t 频谱图:
π
π
0 O 0
sin0t jπ 0 jπ 0
sin0t 频谱图:
F j
π
π
0 o
0
2 0
0
o
2
▲
■
第3页
二、一般周期信号的傅里叶变换
fT (t) Fn e jn t n
Fn