数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲-转化与化归

(3) (x +

第七讲 转化与化归

______ 可化为一元二次方程的方程及方程组

数学（家）特有的思维方式是什么若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在 一个槪念和公理体系内实施推理讣算，若从“转化”这个侧面又该如何回答匈牙利女数学家 路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不 对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题

转化与化归是解分式方程和髙次方程（次数高于二次的整式方程）的基本思想.解分式方 程，通过去分母和换元：解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一 次方程去求解.

【例题求解】

【例1】已知关于X 的方程√ ÷2x 3

+ （3 + A:）√ + （2÷）x + 2k = O 有实数根，若所有

的实数根的积为一2,则所有实数根的平方和为 _________________ 。 思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。

【例2］方程√x÷3-4√^-l +√x + 8-6λAv-l = 1的解的情形是（ ）

A 、无解

B 、恰有一个解

C 、恰有两个解

D 、有无穷多个解

思路点拨：由配方法得√（√J -T-2）2+7（√^--T-3）2

= 1,即 ∣√ΓΠ^-2∣+∣√ΓΠ^-3∣

= 1,通过讨论去掉绝对值符号。

【例3】解下列方程: X 2

+ 3x X 2

+x-4

11

+ =— 2X 2+2X -8 3X 2+9X 12

2 (1999-X )3

+(X -1998)3

= 1 : （河南省竞赛题）

（山东省竞赛题）

1 3X -X 2

13-x x + l

) = 42： （“祖冲之杯”邀请赛试题）

x(x + l)(3x + 5y) = 144 x 2

+4x + 5y = 24 思路点拨：

按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1）,利用倒数关系换元；对于（2）,从 13- V （1999 — x ） +（x_1998） = 1受到启示：对于（3）,设y =—,则可导出x + >¼ Q 的

x + 1 结果：对于(4),视X 2

+x , 3x + 5y 为整体，可得到(x 2

+ X)+ (3x + 5y). (x 2

+ x)(3x + 5y) 的值。 1

非等价转化

X ICX +1

【例5】若关于X 的方程 ------- --- =-一只有一个解（相等的解也算作一个），试求*

x-1 X^-X X 的值与方程的解。

分析：先将分式方程转化为整式方程•把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只 有一个解”内涵丰富，在全而分析的基础上求出&的值。

(4)

（西安市竞赛题）

【例4】解下列方程（组人 （1〉、X 2

+x+√x 2

+x+7 =5

(2)

x-5y + 18λ∕2y=20 6>∕2x -x-5y = 11

（克罗地亚奥林匹克试题）

（2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题）

(2)

X

+X

8、解下列方程: (1)

6x 5

2(X + 1)2

-6 = 0

（2011年上海市中考

题）

（上海市中考题）

学力训练

Y 5

1、方程——+

= 4的解是 __________ >

（威海市中考

2x-3 3-2X 题）

Y Y

2、 方程(-)2+6 = 5(——)的整数解是 _____________ O

(天津市中考

x-1 x-1 题)

3、 用换元法解方程-^— + -^—- = 5时，如果设x 2

+x = y ,那么原方程可变形为

IX-1 X ( )

A 、y 2

+ y + 2 = 0

B 、y 2

- y- 2 = O

CX y 2

- y + 2 = O

D 、y 2

+ y- 2 = O

5、关于X 的方程—=1的解是负数，则“的取值范围是（ ）。

Λ + l AX GYl

B 、GYl 且 a ≠0

C 、a≤∖

D 、αSl 且 a≠0

（山西省中考

（天津市中考题）

题）

6、 下列方程有实数解的是（ ）

A 、√2x -l =-1 B. ∣x+l∣ + 2 = 0

题）

X-V = 2

7、 解方程组｛ , 9 Jr-2小一3;T =O

C 、 ---- = ----- DX X 2

— 2x + 3 = 0

Λ+l x+1

(潍坊市中考

(4) (X+I)(X+2×x +3)(x+4) = 120 9、（1）求方程X 2

+ 25x+52 = 3√√+25x+80所有实数根的积。

（日本数学奥林匹克试题）

2（x + y + z ） - 5y Jx + y + z + 5 = 2 （2）解方程组｛ % y Z

・3 "4"5

（太原市竞赛题）

能力拓展:

10.解方程. ■ X

+ 7 + x X" +3x + 2 ÷ I . + j f +5x + 6 +7x + 12 =—得

21 （“祖冲之杯”邀请赛题

）

χ+ x + 8 x + 2 x + 7 ,

11. 方程： + ----- = = ---- + 的解是 O

（第16届江苏省竞赛

x + 2 x + 9 x + 3 x + 8

12. 若实数X 、 y 满足《 xy + x + y + 1 = 0 I ∙ 7

,贝IJX fc

y + xy =

O

3x + 3y = 9 + 2xy

（第20届江苏省竞赛

题）

13.若实数X. y 、Z 满足方程组仝一 = 2,则（ y + 2z

-^— = 3 z + 2x

A 、x + 2y + 3z = 0

B 、7x + 5y + 2z = 0 CX 9x + 6y + 3z = O D 、IoX+ 7y + z = 0 14、如果方程疋-5F+4（4 + k ）x-R= 0的三个根可以作为一个三角形的三边长，则实数£ 的值为（ ）

A 、3 B. 4 C 、5

DX 6

（四川省竞赛题）

15、关于X 的方程古=0仅有两个不同的实根，则实数"的取值范围是（

）。

x + 2y =1