龙驭球《结构力学Ⅰ》(第三版)辅导系列-第17章 结构的极限荷载【圣才出品】

第17章　结构的极限荷载
17.1　复习笔记
一、概述
1．弹性设计方法
利用弹性计算的结果，以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。

2．塑性设计方法
考虑材料塑性变形，确定结构破坏时所能承担的荷载，以此为依据得到容许荷载的方法。

3．基本假设
（1）材料是理想的弹塑性材料；
（2）满足平面截面假定；
（3）忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。

二、极限弯矩、塑性铰和极限状态
1．极限弯矩和极限状态
以图17-1理想弹塑性材料的矩形截面梁处于纯弯矩状态为例：
图17-1
（1）图（b）：弹性阶段，弯矩M为：——屈服弯矩；
（2）图（c）：弹塑性阶段，部分为弹性区；
（3）图（d）：塑性流动阶段，。

弯矩M为：——极限弯矩。

2．塑性铰
塑性铰是指弯矩达到极限弯矩时的截面。

三、超静定梁的极限荷载
1．超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点
（1）静定梁
只要一个截面出现塑性铰，梁就成为机构，丧失承载力以致破坏。

（2）超静定梁
具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，才能使其成为机构，丧失承载力以致破坏。

（3）以图17-2等截面梁来说明
图17-2
图（b）为弹性阶段（）的M图，A截面弯矩最大；后，塑性区在A附近形成并扩大，在A截面形成第一个塑性铰，M图如（c）图；继续增加，荷载增量引起的弯矩增量图相应于简支梁的弯矩图，如图（d），第二个塑性铰出现在C截面，梁变成机构。

由平衡条件可知
得极限荷载
另外，极限荷载也可以利用虚功原理求得，图（e）为破坏机构一种可能位移。

外力作功为：
内力作功为：
由虚功原理得
（4）超静定结构极限荷载计算的特点
①只需考虑最后的破坏机构；
②只需考虑静力平衡条件；
③不受温度变化和支座位移等的影响。

2.连续梁的极限荷载
（1）条件
①梁的每一跨度内为等截面；
②荷载的作用方向相同，并按比例增加。

（2）结论
①连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，如图17-3（a ）、
（b ）；
②不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构，如图17-3（c ）。

图17-3
（3）连续梁极限荷载的计算方法
①对每一单跨破坏机构分别求出相应的破坏荷载；
四、比例加载时判定极限荷载的一般定理
1．比例加载的两层意思
（1）所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，可用一个参数来表示；（2）荷载参数只是单调增大，不出现卸载现象。

2．假设条件
（1）材料是理想的弹塑性；
（2）截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等；
（3）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。

3．结构极限受力状态应满足的条件
（1）平衡条件
结构的整体或任一局部都能维持平衡；
（2）内力局限条件
任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩；
（3）单向机构条件
结构称为机构，能够沿荷载方向作单向运动。

4．可破坏荷载和可接受荷载
（1）可破坏荷载
对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，用表示；
（2）可接受荷载
在某个荷载值情况下，能够找到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其
5．四个定理
（1）基本定理
（2）唯一性定理
极限荷载的值是唯一确定的。

（3）上限定理
可破坏荷载是极限荷载的上限，即。

（4）下限定理
可接受荷载是极限荷载的下限，即。

五、刚架的极限荷载——增量变刚度法
1．基本假设
（1）当出现塑性铰时，塑性区退化为一个截面，其余部分仍为弹性区；
（2）荷载按比例增加，且为结点荷载，塑性铰只出现在结点处；
（3）每个杆件的极限弯矩为常数，各杆的极限弯矩可不同；
（4）忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。

2．增量变刚度法的基本思路
把非线性问题转化为分阶段的几个线性问题。

（1）把总的荷载分成几个荷载的增量，进行分阶段计算—增量法；
（2）对每个荷载增量按弹性方法计算，但不同阶段采用不同的刚度矩阵—变刚度法。