江苏省陆慕高级中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试卷

陆慕高级中学2018-2019学年第二学期期初测试

高一数学

2019.02

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1. 已知全集1234{}U ＝，，，，集合{}}1223{A B ＝，，＝，，则()U C A

B =________.

2. 函数()lg(2)f x x -的定义域___ _____.

3. 若函数132x y -=+的图象经过定点P ，则点P 的坐标是________.

4. 已知 x ＝log 612－log 63，则6x 的值为 ．

5. 若α为第二象限角，则

sinα

1－cos 2

α＋2

1－sin 2α

cosα

＝________. 6. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝13，那么cos ⎝⎛⎭

⎫5π

6－θ＝_______． 7. 如图，在直角三角形ABC 中，AB ＝2，∠B ＝60°，AD ⊥BC ，垂足为D ，

则 AB →·AD →

的值为 ．

8. 将函数f (x )＝2sin2x 的图象向左平移 π

6

个单位后，得到函数g (x ) 的图象，则g (0) 的

值为 ．

9. 在△ABC 中，D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得

BM AB AC λμ=+，则λμ+= ．

10. 函数y ＝sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭

⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是________． 11. 已知向量a ＝(4，－3)，b ＝(x ，6)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围

是 ．

12. 已知a ＞0且a ≠1，若函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x ，x ≤2，

log a x ，x ＞2

的值域为 [1，＋∞)，则a 的取值范围

是 ．

13. 已知向量 OA → 与 OB → 满足 |OA →|＝2，|OB →|＝1．又 OM →＝tOA →，ON →＝(1－t )OB →

，

且|MN →| 在t ＝27 时取到最小值，则向量 OA → 与 OB →

的夹角的值为 ．

14. 已知函数f (x )＝kx 2－x ，g (x )＝sin πx

2

．若使不等式f (x )＜g (x ) 成立的整数x 恰有1个，则

实数k 的取值范围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知向量()3112()()k k R ∈＝－，，＝，－，＝＋．a b m a b (1) 若向量m 与向量2a -b 垂直，求实数k 的值；

(2) 若向量c ＝(1，－1)，且m 与向量k b +c 平行，求实数k 的值．

16．（本小题满分14分）

已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝6

2. (1) 求cosα的值；

(2) 若sin(α－β)＝－3

5，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cosβ的值．

17．（本小题满分14分）

已知函数()2sin()(0,)2

2

f x x π

π

ωϕωϕ=+>-

<<

的部分图象如图所示，直线

37,88

x x ππ

=

=是其两条对称轴．

(1) 求函数()f x 的解析式； (2) 求函数()f x 的单调增区间； (3) 若6()5f α=，且388ππα<<，求()8

f πα+的值.．

18．（本小题满分16分）

某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P （万元）与精加工的蔬菜量x （吨）有如下关系：P ＝⎩

⎨⎧120

x 2

， 0≤x ≤8，3x ＋8

10

，8＜x ≤14．

设该农业合作社将x （吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y （万元）．

（1）写出y 关于x 的函数表达式；

（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．

19．(本小题满分16分)

如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝5，cos ∠CAB ＝35，D 是边BC 上一点，且BD →＝2DC →

．

（1）设AD →＝x AB →＋y AC →

，求实数x ，y 的值；

（2）若点P 满足 BP → 与 AD → 共线，PA →⊥PC →

，求

|BP →||AD →|的值．

20．（本小题满分16分）

给定区间I ，集合M 是满足下列性质的函数f (x ) 的集合：任意x ∈I ，f (x ＋1)＞2f (x )．

（1）已知I＝R，f (x)＝3x，求证：f(x)∈M；

（2）已知I＝(0，1]，g (x)＝a＋log2x．若g (x)∈M，求实数a的取值范围；

（3）已知I＝[－1，1]，h (x)＝－x2＋ax＋a－5 (a∈R)，讨论函数h (x) 与集合M的关系．

期初考试答案

1.｛4｝；

2.(,1]-∞；

3.（1，4）；

4. 4 ；

5. —1；

6.1

3

- 7．3；

8．3； 9. 12

-

； 10[1,2].；11.9

2

x <

且8x ≠-；12．(1，2]； 13．π3 ； 14．[1

2

，2).

15. 【解答】(1) 因为m ＝a ＋k b ＝(－3＋k ，1－2k)，2a －b ＝(－7，4)，………… 3分 向量m 与2a －b 垂直，所以m ·(2a －b )＝21－7k ＋4－8k ＝0，解得k ＝5

3

. ………… 7分

(2) 因为k b ＋c ＝(k ＋1，－2k －1)，m ＝(－3＋k ，1－2k)，………………… 10分 向量m 与k b ＋c 平行，所以(－3＋k)(－2k －1)－(k ＋1)(1－2k)＝0， 解得k ＝－1

3

. …………… 14分

16. 【解答】(1) 因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sinα＝1

2.…………… 3分

又π2<α<π，所以cosα＝－3

2. ………………… 7分 (2) 因为π2<α<π，π

2

<β<π，

所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π

2.………………… 9分

由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4

5，………………… 12分

所以cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝－

32×45＋12×⎝⎛⎭⎫

－35＝－43＋310

.………………… 14分 17. 【解答】(1) 由题意知T 2＝7π8－3π8＝π

2，所以T ＝π.又ω＞0，故ω＝2，…… 2分

所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)．由f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝2，得3π4＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )，解得φ＝2kπ－π4(k ∈Z )．又－π2<φ<π2，所以φ＝－π

4

，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.…… 4分 (2) 由(1)可令－π2＋2kπ≤2x －π4≤π2＋2kπ(k ∈Z )，得－π8＋kπ≤x ≤3π

8＋kπ(k ∈Z )，故函数

f(x)的单调增区间为⎣

⎡⎦⎤kπ－π8，kπ＋3π

8(k ∈Z )．.…… 8分 (3) 由题意得 2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝65，即sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝35.因为π8<α<3π8， 所以0<2α－π4<π2， 所以cos ⎝

⎛⎭⎫2α－π

4＝1－sin 2⎝

⎛⎭⎫2α－π4＝4

5，.…… 10分