导数定义与极限

h0
3h
2h
3 f (x0 ) 2 f (x0 ) 5 f (x0 )
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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导数与微分习题课
处可导, 试用导数
（3）
lim
n
n
f
x0
1 n
f
(x0 )
lim
f
x0
x x0
x x0
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导数与微分习题课
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解（1）原式 lim 3[ f (x0 3h) f (x0 )] 3 f (x0 ).
h0
3h
(2) 原式
分项
lim
(
f
( x0
3h)
f
(x0 )) [
f
( x0
2h)
f
(x0 )]
h0
h
lim 3[ f (x0 3h) f (x0 )] 2[ f (x0 2h) f (x0 )]
f (2005) （2005) 0(2005) （2005)
证法2
f (2005) lim f (x) f (2005) x2005 x 2005
lim f (x) lim (x 2005)(x) lim (x)
x2005 x 2005 x2004 x 2005
x2005
(x)在x 2005处连续。 lim (x) (2005) x2005
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导数与微分习题课
练习2 设函数
处可导, 试用导数
（2） f (x) 2x2 x x
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(2)用导数定义求导
问下列结论成立?
（a） f (x) 在点0处连续? 显然连续 （b） f (x) 在点0处可导? 解
（c） f (0)?
解
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解（b）
2x2 x x f (x)
可微 可导 连续 极限存在.
本章的计算重点是求函数的导数.
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1. 导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义.
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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导数与微分习题课
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x 0,
x 0,
问常数 在什么条件下, 下列结论成立：
（a） f (x) 在点0处可导；
解
（b） f (x) 在点0处连续, 但不可导. 解
（c） f (x)在点0处连续.
解
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处可导, 试用导数
解 （a）
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0)
lim x0
x sin 1 x
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一、基本要求
1. 理解导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义. 2. 熟悉掌握函数的求导法则（四则运算求导法则、复合函数求 导法则）. 3. 掌握策分的运算法则及一阶微分形式不变性. 4. 牢记基本求导公式 5. 了解高阶导数的概念, 能熟练地求出初等函数的二阶导数及 某些函数的阶导数. 6. 掌握隐函数的求导法及由参数方程表示的函数的求导法. 7. 知道一元函数可微、可导、连续、极限存在之间的关系：
1 n
f (x0 )
n
1
f (x0 )
n
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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导数与微分习题课
处可导, 试用导数
解（4）原式
lim
x x0
xf
(x0 ) x
x0 x0
f
( x0
)
x0
f
(
x) x
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导数与微分习题课
解 （c）
处可导, 试用导数
当x 0时，
f (x) x1 sin 1
x
x2 cos 1 x
1
当x 0时，f (0) 0
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(2)用导数定义求导
f
(
x)
1
x
1
sin
1 x
x2 cos 1 , x
0,
x 0, x 0,
类似于(a )可解得 当 2时，f (x)在x 0时连续
f (2005) lim (x) (2005) x2005
练习1 设函数
(1) 导数定义与极限
f (x) 在 x0 处可导, 试用导数 f (x0 ) 表示下列极限：
（1）lim f (x0 3h) f (x0 ) 解
h0
h
（2） lim f (x0 3h) f (x0 2h) 解
h0
h
（3）
lim
n
n
f
x0
1
n
f (x0 )
解
（4） lim xf (x0 ) x0 f (x) 解
lim
x00
f
(x) x
lim x0
6x x
6
f (0)不存在
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处可导, 试用导数
练习2 设函数
(2)用导数定义求导
（3） 设f (x) (x 2005)(x)，且(x)在x 2005处连续。
证明f (x)在x 2005处可导。 证法1 f (x) （x) (x 2005)(x)
x0
x
x0
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解（c）
f
(
x)
x 2 3x2
,
x 0, 0 x
f (x)
2x 6x,
x 0,且f (0) 0 0 x,
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim
x00
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (x)
lim
x
x0
2x x
2
f(0)
lim
x00
f
(x) f (0) x0
0,
x 0, f (0) 0 0 x
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim x0
f (x) x
lim 2x2 x2 lim x 0
x0
x
x0
f(0)
lim
x00
f (x) f (0) x0
lim x0
f (x) x
lim 2x2 x2 lim 3x 0 f (0) 0
f( x0
x0
)
f (x0 ) x0 f (x0 )
f (a) lim f (x) f (a) xa x a
f (a) lim f (a x) f (a)
x0
x
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处可导, 试用导数
练习2 设函数
（1） f (x)
x
sin
1 x
,
0,
(2)用导数定义求导
x
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(2)用导数定义求导
lim
x0
x 1
sin
1 x
0, 不存在，
1, 1
f(0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim 0 0 x0
1时，f (0) 0;
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导数与微分习题课
解（b） 注意到: lim x sin 1 0( 0),
x0
x
0 1时 f (x) 在点0处连续, 但不可导.