弹塑性力学习题

4Φ 0.
(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数； (b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力 函数。
例题4 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中
Fb 力F和力矩 M 的作用，试用应力函数 2
Φ Ax Bx ,
3 2
求解图示问题的应力及位移，设在A点的 位移和转角均为零。
σ y xf ( y )。
σ y 推测 Φ 的形式， 2. 按应力函数的形式，由
所以
2Φ σy xf ( y ), 2 x 2 Φ x f ( y ) f1 (y ) , x 2 x3 Φ f ( y ) xf1 (y ) f 2 (y ). 6
3. 由相容方程求应力函数。代入 Φ 0, 得 x3 d 4 f d 4 f1 d 4 f 2 d2 f x 2x 0. 4 4 4 2 6 dy dy dy dy
G 1 2 g . 10b
2
b / 2 b/2
b / 2
(h)
由式(g),(h)解出
I b 2 g , 80
代入应力分量的表达式得最后的应力解答：
2 2 g 3 3 2 g 4 2 g 3 σx 3 x y xy 3 xy 1 gx, b 5b b y3 2 y 1 σ y 2 gx(2 3 ); b 3b 2 2 3 y 3 y 3y b 2 xy 2 gx (3 3 ) 2 gy ( 3 )。 b 4b b 10b 80 y
(c)
水平截面上的应力分布如图所示。
σx
σy
yx
例题1
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中 力和力矩的作用，体力可以不计， l h 图 Φ Axy By 2 Cy3 Dxy3 3-5，试用应力函数 求解 应力分量。
M
Fs
FN
o
σx
τ xy
h/2
y dy
h/2
x
图 l 3-5
(mσ y l xy ) x ytan 0.
(b)
其中
l cos(n, x) cos ,
m cos(n, y) sin .
由式（b)解出a、b,最后的应力解答,
3 σ y ( ρ1 g cot α 2ρ2 g cot α) x 2 ( ρ2 g cot α ρ1 g ) y, 2 xy ρ2 gx cot α. σ x ρ2 gy,


h/2
h / 2
(σ x ) x 0 d y FN ,
FN 得 B ; 2h
h/2
h / 2
(σ x ) x 0 y d y M ,
2M 得 C 3 ; h

h/2
h / 2
( xY ) x 0 d y Fs ,
1 3 得 Ah Dh Fs . (b) 4
代入A,得
b 3b 2 I 2 g G. 16 4 (g)
在次要边界（小边界）x=0上，列出三 个积分的边界条件：

b/2
b / 2 b/2
(σ x ) x 0 d y 0, (σ x ) x 0 y d y 0, ( xy ) x 0 d y 0,
得 F 0 ; 得 E 0 ; b b 得 I 2 g G . 80 4
代入Φ ，即得应力函数的解答，其中已 略去了与应力无关的一次式。
4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式 Φ f x 1 g , f y 0 (2-24) ,注意 ， 体力求得应力分 量为
B x x Ay x 2 Ay3 2 By 2 6Gy 2 H 6 Ey 2 F 1 gx 3 y x Ay3 By 2 Cy D
由上式得到
3b 2 A Bb C 0 4
b4 b3 3b 2 A B G 32 12 4 Hb I 0
(c,d)
(e,f )
求解各系数，由
(a)+(b)
得 得 得 得
(a)-(b)
(c)-(d)
b2 1 B D 2 g , 4 2 b3 b 1 A C 2 g , 8 2 2
x , y , xy
u, v
一个方向的尺寸>> 面力、体力、约束 其它两个方向的尺 都平行于横截面沿 寸、横截面的形状 长度不变 和尺寸沿长度不变
x , y , xy x , y , xy
u, v
将平面应力问题物理方 程中的
E
E 1 2


1
代换即可
§5-8 楔形体受重力及液体压力
• 两种平面问题的比较
几何特征 平 面 应 力 平 面 应 变
一个方向的尺寸<< 其它两个方向的尺 寸、有两个平行板 面
受力特征
面力作用在板边、 平行于板面；体力 也平行于板面都沿 厚度不变；约束作 用于板边平行于板 面沿厚度不变
独立量
x , y , xy
基本方程
平衡微分方程、 几何方程相同 物理方程不同
（2）由应力~ Φ 关系式， Φ 应为x,y的三次式，
Φ ax bx y cxy dy .
3 2 2 3
（3） Φ 满足相容方程 （4）由Φ 求应力，
4Φ 0.
2 σx Φ f x x 2cx 6dy, 2 y
σy Φ f y y 6ax 2by 1 gy, 2 x 2 xy Φ 2bx 2cy. xy
2
xy
例题2
y
b 2
o
b 2
挡水墙的密 度为 1 ，厚度 为b,图示,水的密 度为 2 ，试求 应力分量。
2 g
1 g
x
解：用半逆解法求解。 1. 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上，σ y 0; y=b/2 边界 上， σ y 2 gx ，所以可假设在区域内 σy 沿x 向 也是一次式变化，即
由(a),(b) 解出
3Fs A , 2h 2 Fs D 3 . h
最后一个次要边界条件(x=l上)，在平 衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件 下，是必然满足的，故不必再校核。
代入应力公式，得
σx σy FN 12 M 12 Fs 3 y 3 xy, h h h 0, 3Fs y (1 4 2 ). 2h h
3



x2 xy 3 Ay 2 2

A 2 By C y 2

4
2B 3 2 y 3Gy 2 Hy I 3
5. 考察边界条件： 主要边界 y b / 2 上,有
(σ y ) y b / 2
b3 b2 b 2 gx,得 x( A B C D) 2 gx; 8 4 2
(c)+(d)
b3 b 1 A C 2 g , 8 2 2 2 3b A C 0。 4
由此得
2 A 3 2 g , b 3 C 2 g. 2b
又有
(e) ( f ) 得 (e) ( f ) 得 H 0， A b G 3b I 0 . 32 4
4 2
2
（5）考察边界条件--本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件。 x=0 铅直面，
(σ x ) x 0 2 gy, 解出 d 6 ;
( xy ) x 0 0,
解出
2 g
c 0.
(a)
x y tan
斜边界上，
须按一般的应力边界条件来表示，有
(lσ x m yx ) x ytan 0,
设有楔形体， 左面垂直，顶角为 α，下端无限长， 受重力及齐顶液体 压力。 o
α
x
n
1 g
2
2 g

α
fx 0,
f y 1 g.
y
用半逆解法求解。 （1）用量纲分析法假设应力: 因为应力 ρ1 g, ρ2 g , 而应力的量纲只比
ρ1 g, ρ2 g
高一次（L），
所以应力 ( ρ1 g, ρ2 g ) (x , y 一次式）, 即可假设应力为x , y 的一次式。
均已满足
考察次要边界条件，在y=0上，
( xy ) y 0 0,
满足。
得 B F ;
2b

b
b
b
(σ y ) y 0 d x F ,
Fb b (σ y ) y 0 x d x 2 ,
Hale Waihona Puke Baidu
得
F A 。 2 8b
代入，得应力的解答，
σ y F (1 3x ), 2b 2b σ x xy 0.
F Fb/2 O
x
b h
b
A y
(h b, 1)
解： 应用应力函数求解：
(1) 校核 相容方程 Φ 0 ，满足.
4
(2) 求应力分量 ，在无体力时，得
σ y 6 Ax 2 B,
(3) 考察主要边界条件，
x b , σ x 0,
σ x xy 0.
xy 0 ,
上述应力已满足了 4Φ 0 和全部边界条 件，因而是上述问题的解。
(4) 求应变分量，
3x x (1 ), 2 Eb 2b F 3x y (1 ), 2 Eb 2b xy 0。
F
(5) 求位移分量，
u F 3x 由 x (1 ), x 2 Eb 2b
3. 考察边界条件：
主要边界 y h / 2 上应精确满足式(2-
(σ y ) y h / 2 0, ( xy ) y h / 2 0,
15),
满足； 3 2 得 A Dh 0 . 4 (a)
在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢 量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的 边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表 示了负x面上的σ x 和 xy 的正方向，由此得：
b3 b2 b 0, 得 x( A B C D) 0; 8 4 2
(a)
(b)
(σ y ) y b / 2
( xy ) y b / 2 0,得
x 2 3b 2 (A Bb C ) 2 4 b4 b3 3b 2 (A B G Hb I ) 0. 32 12 4
例题3 已知
(a) Φ Ay 2 (a 2 x 2 ) Bxy C ( x 2 y 2 ); (b) Φ Ax 4 Bx 3 y Cx 2 y 2 Dxy 2 Ey 4 ,
试问它们能否作为平面问题的应力函数？
解：
作为应力函数，必须首先满足相容方程
，
将 Φ 代入，
y
(l h, 1)
解： 本题是较典型的例题，已经给出了应 力函数 Φ ，可按下列步骤求解。 1. 将Φ 代入相容方程，显然是满足的。 2. 将 Φ 代入式(2-24)，求出应力分量。
σ x 2 B 6Cy 6 Dxy, σ y 0,
xy ( A 3Dy 2 )。
4
要使上式在任意的x处都成立，必须
d4 f 0 , 4 dy
得 f Ay 3 By 2 Cy D;
d 4 f1 d2 f A 5 B 4 3 2 2 2 0, 得 f1 y y Gy Hy Iy; 4 dy dy 10 6 d4 f2 0, 4 dy 得 f 2 Ey 3 Fy 2 .
3x 2 u (x ) f1 ( y ); 2 Eb 4b
对x积分得
F
v F 3x 由 y (1 ), y 2 Eb 2b
对y积分得
F 3 xy v (y ) f 2 ( x). 2 Eb 2b
将u,v代入几何方程的第三式，
v u xy 0。 x y
两边分离变量，并全都等于 常数，即
d f 2 ( x) d f1 ( y) 3F y , 2 dx dy 4 Eb
从上式分别积分，求出
f 2 ( x) x v0 ,
3F 2 f1 ( y ) y y u0。 2 8Eb
代入u,v, 得
3x 2 3F 2 u (x ) y y u0 , 2 2 Eb 4b 8 Eb F 3 xy v (y ) x v0 . 2 Eb 2b