悖论研究的误区与爱因斯坦的启示

　摘要：导致典型语义悖论的语句均为一个无穷嵌套的自相似结构的简略表达式，并且具有多种含义而不是单一的确定含义，只要证伪其单义句预设，此类悖论便可以被消解。类似地，导致典型集合论悖论的语句均涉及一个并不存在的对象，只要证伪其存在预设，此类悖论同样可被消解。

关键词：典型悖论 ；预设； 自相似

Abstract：Every paradoxical sentence causing a typical semantic paradox is the short expression of an infinitely nested self-similar structure and has ambiguous meanings instead of a specific meaning. If only disconfirming the presupposition of single meaning sentence, these paradoxes will be resolved. Similarly, every paradoxical sentence causing a typical set theory paradox involve inexistent object. If only disconfirming the presupposition of existence, those paradoxes will be also resolved.

Key words：typical paradox presupposition self-similar


悖论研究的困境

斯蒂芬·里德曾这样谈及哲学家与悖论的关系：“悖论既是哲学家的惑人之物，又是他们的迷恋之物。悖论吸引哲学家就像光吸引蛾子一样。但同时，悖论又是不能忍受的。我们做出的各种努力必然是为了消除悖论。哲学家是巫师，其任务就是拯救我们，使我们摆脱这个恶魔。”[1]

然而，令人惊异的是，自古希腊哲人发现“说谎者悖论”以来，两千多年过去了，“巫师”们虽使尽了浑身解数，却始终未能为我们除去这个“恶魔”。用大逻辑学家克林的话说便是：

“问题至今悬而未决，没有任何一种答案能得到普遍的认可。”

“至今没有一个人能令人信服地明确指出悖论的推理中有任何谬误，从而解除悖论。”[2]

“悖论”简单得连小孩子都能看懂、又有一代又一代一流思想家为之耗尽心力，竟然无人能解，这实在是人类思想史上极为罕见的现象。人们不仅要问：出路究竟何在？

爱因斯坦的启示

爱因斯坦曾经断言[3]：

“我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思考层次上解决。”

那么，“悖论”之所以一直无法解决，是不是由于众“巫师”花样翻新的“法术”始终停留在我们制造出“悖论”的思考层次上呢？回答是肯定的。

下面，我们将以“强化的说谎者悖论”为例展开讨论。事实上，我们业已表明，爱因斯坦的启示同样适用于解决所有“典型语义悖论”——包括“说谎者悖论”、“格雷林悖论”、“理查德悖论”、号称“语义学黑洞”的诸多“三值悖论”等，甚至还适用于解决所有的“典型悖论”。

“强化的说谎者悖论”与无穷嵌套的自相似结构

该“悖论”

由一个极其简单的句子——“本句子非真”（其中，“本句子”是指它所在的那个句子本身，为简便计，以下将该句子简记作L）引出：

如果L是真的，则L就不是真的；

如果L不是真的，则又有L是真的。

这个“悖论”的构成可谓简单至极，难怪霍夫斯塔德要称其为“一步即成的奇异的循环”了。

爱因斯坦的警语可以给我们带来这样的启示，那就是，我们必须回过头来重新审视人们是在什么思考层次上“制造”出这个怪圈的，从而跳出这一思考层次。

请注意，在“制造”怪圈时，人们苦苦追问的是，如果L是真的（以及如果L不是真的）究竟可以从中推出什么结论。这实际上便已然预设了（或者说默认了）L是一个单义句（亦即L有且仅有一个明确的含义），否则，人们便不会去直接谈论L为真与否，而是会就L的某一种含义谈论其真值了。换言之，“制造”怪圈的“思考层次”可以用“L是单义句”来刻画。

依照爱因斯坦的说法，我们应该跳出这个思考层次，亦即对“L是单义句”这一成见提出质疑。

果不其然，这个预设是荒谬的。

事实上，我们完全可以用反证法严格地证明，L不是单义句而是多义句。该证明十分简洁，人们以前之所以没有想到，并不是由于它有多么复杂，而是由于始终没有意识到“说谎者”竟然有这样一个预设，当然就更谈不上怀疑其真实性了。

证明：

不妨假设L为单义句。

此时便有，L要么为真要么非真。

如果L为真，则有L非真，矛盾。

由反证法即有，L非真。

如果L非真，则有L为真，矛盾。

由反证法即有，L并非非真。

综合以上两个子证明的结果便有，L既不是真的也不是非真的，矛盾，证毕。

请注意，在上述假设（亦即L的预设）下，谈论L为真与否的句子便是命题，并因而成为合法的推理对象。这意味着，在该假设下将怪圈嵌入证明之中乃是合乎逻辑的。

不难看出，L无非是“L非真”的简略写法，两者虽形式有别而含义并无不同。同理，后者无非是（（L非真）非真）的简略写法， 两者也是形异而义同。此种分析可一直进行下去。其结果是，我们愕然发现，L原来乃是下述无穷嵌套的自相似结构的简略写法，两者虽形式有别，含义却并无不同：

（（（…）非真）非真）非真 (L1)

显然，这个无穷嵌套的自相似结构正像一切无穷嵌套的自相似结构一样，还有一个奇妙的性质，那就是，无论在其外层依其构造规律再添加几层（有限层），所得到的仍为同一个结构。

例如：

（（（…）非真）非真）非真）非真 (L2)

（（（…）非真）非真）非真）非真）非真 (L3)

………………………………………………

与L1实际上完全相同。

容易看出，我们可以把L1理解成一个永远也说不完的、语义不完整的语句。显然，L1在这种含义下的真值只能是非真非假的（亦即克里普克所谓的“无根基的”）。与此同时，我们可把L2理解为是在断言上述含义下的L1非真。由于上述含义下的L1是非真非假的，故而L2的此种含义只能是真的。类似地，我们可把L3理解为是在断言上述含义下的L2为假。显然，此种含义下的L3就只能是假的。此种分析可一直进行下去，以至无穷：

（（（…）非真）非真）非真 (L1) 非真非假

（（（…）非真）非真）非真）非真 (L2) 真

（（（…）非真）非真）非真）非真）非真 (L3)假

……………………………………………… 真

……………………………………………… 假

………………………………………………

请注意，L1，L2，L3，…的所有这些不同的含义实际上都是由同一个结构——

（（（…）非真）非真）非真

来表达的！这足以表明，该无穷嵌套的自相似结构实际上具有无穷多种含义，并且它在这一系列含义下的真值依次为非真非假以及真与假的交替出现。

由于L与这个无穷嵌套的自相似结构形异而义同，说它是多义句便是极易理解的了。

附带说一下，利用无穷嵌套的自相似结构可以巧妙地解决许多看上去似乎根本无法下手的难题。让我们以一道有趣的数学题为例试说明之:

试证如下等式：

=

乍看上去，该等式两侧的表达式都十分复杂，欲证它们相等谈何容易，简直是无从下手。然而，只要我们能够看出，左式与右式均为无穷嵌套的结构，且其每一层子结构（表达式本身可视为第０层子结构）实际上均为同一个结构（具有以上两个特点的结构即我们所谓的无穷嵌套的自相似结构），灵感便会突如其来。

令

，

利用上述无穷嵌套自相似结构的特点立即便有：

，

将二式分别变形即有：

a2－a－1 = 0，b2－b－1 = 0

鉴于a, b均大于0，于是，我们便有a = b，证毕。

回到我们的问题。我们已经证明了L是多义句。

至此，人们寻觅已久的答案终于出现了：既然L是多义句，“L是真的”、“L不是真的”便也成了多义句。因而，它们非但不是什么相互矛盾的命题，甚至根本就不成其为正确的推理对象（正确的推理对象只能是命题）。这

意味着，“说谎者悖论”的推理纯属出于语言误解的逻辑误用，根本不合逻辑。这样我们就回答了克林的问题，彻底消解了“强化的说谎者”。

现在，我们可以把“强化的说谎者悖论”修正如下：

如果“本语句非真”在一种意义上为真，则它在另一种意义上就非真；

如果“本语句非真”在一种意义上非真，则它在另一种意义上就为真。

正如我们已经看到的，这非但不复成其为什么悖论，还不失为一种“新奇”的真理。

反观此前的诸多解法，才知道“巫师”们全都中了“恶魔”的圈套。他们均下意识地仿照怪圈本身的做法——直接就L本身而不是就其某一含义谈真论假，始终没有意识到L具有无穷多种含义。

借用爱因斯坦的话，众“巫师”原来全都是在“制造”怪圈的思考层次上试图“解决”怪圈。这就难怪他们始终摆脱不了“恶魔”的纠缠：要么自相矛盾、要么回到了原先的怪圈，要么跳出了“油锅”又进“火坑”。