全等三角形中的倍长中线与截长补短法ppt课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
截长法即在较长线段上截取一段等于两 较短线段中的一条，再证剩下的一段等于 另一段较短线段。
所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。
让我们来大显身手吧！
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例如：已知如图6-1：
在△ABC中，
AB>AC，∠1=∠2， P为AD上任一点
A 1 2
P
求证：AB-AC>PB-PC。 N
D
C
B
图6 1
A
1 2
N B
P C
D
图6 1
M
证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM 在△ABP和△AMP中 AB=AM （辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△ABP≌△AMP （SAS） ∴PB=PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。
• 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线 AD的取值范围
• 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角 形两边之和大于第三边
• 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB
上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且
DF=EF，求证：BD=CE
A
D
• 方法1：过D作DG∥AE交BC于G，
B
• 方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，
例 １．在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分BAC.
求证：AB+BD=AC
A
题 证明：在AB的延长线截取B E=BD，
讲 连结D E.
解
B
D
C
E
在射线 AB截取B E=BD， 连结D E.
补短法
截长法与补短法，具体做法是在某条 线段上截取一条线段与特定线段相等，或 是将某条线段延长使之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明． 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目．
F
C
E
• 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H
• 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中 线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交 AC于F，求证：AF=EF
• 提示：倍长AD至G，连接BG，
A F
E
• 证明ΔBDG≌ΔCDA
B
D
C
• 三角形BEG是等腰三角形
BAC
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）
A
∴BD=CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等）
D
B
C
AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS）
E
∴BE=CA（全等三角形对应边相等） 图5 1
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大
M
思路导航
要证：AB-AC>PB-PC，想 到利用三角形三边关系定 理证明。
因为欲证的线段之差，故用 两边之差小于第三边，从 而想到构造第三边AB-AC
故可在AB上截取AN等于AC
，得AB-AC=BN
再连接PN，则PC=PN，又
N
在△PNB中，PB-PN<BN
即：AB-AC>PB-PC。
B
A 1 2
P C
D
图6 1
M
证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在△APN和△APC中
AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有 PB-PN<BN （三角形两边之差小于第 三边） ∴BP-PC<AB-AC
练 如图，AD∥BC，AE, BE分别平分 习 ∠DAB,∠CBA， CD经过点E，
求证：AB＝AD+BC
于第三边）
∴AB+AC>2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
练习
• 已知△ABC，AD是BC E
边上的中线，分别以
F
AB边、AC边为直角边
A
各向外作等腰直角三
角形，如图5-2， 求证
EF=2AD。
B DC
图5 2
二、截长补短法作辅助线
要证明两条线段之和等于第三条线段， 可以采取“截长补短”法。
N B
A 1 2
P C
D
图6 1
M
在△ ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C， 且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
求证：DE=AD+BE
证明：∵∠ACB=90° ， ∴ ∠1+∠2=90°. ∵BE⊥MN， ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠2=∠3. ∵AD⊥MN, ∴ ∠ADC= ∠CEB=90°.
倍长中线与截长补短法
辅助线一般作法
三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
在⊿ ADC和⊿CEB中,
﹛∠ADC= ∠CEB ∠2=∠3
AC=BC
2 1 3
∴ ⊿ADC≌⊿CEB ∴ AD=CE,CD=BE ∵ DE=CE+CD ∴ DE=AD+BE
例 1.在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分∠BAC.
题 求证：AB+BD=AC
A
讲 证明：在AC上截取A E=AB，连结D E 12 ∵ AD平分∠BAC
3
E
解
∴ ∠1＝∠2,
在△ABD和 △AED中
4
B
D
C
﹛A B=AE ∠1＝∠2
∵ ∠3= ∠4+ ∠C ∴ 2∠C = ∠4+ ∠C
A D=AD
∴ ∠ C ＝∠4
∴ △ABD≌ △AED
∴DE=CE
∴BD=DE, ∠B＝∠3 截长法
∵ ∠B＝2∠C
∴BD=CE ∵AE+EC=AC
∴ ∠3=2∠C
∴ AB+BD=AC
AB+AC>2AD
A
分析：要证AB+AC>2AD，
由图想到： AB+BD>AD, AC+CD>AD，
D
B
C
所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，
左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD，
E 图5 1
即加倍中线，
把所要证的线段转移到同一个三角形中去
• 例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上， 且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
• 求证：AE平分∠BAC
• 提示：
A
• 方法1：倍长AE至G，连结DG
F
B
D
E
C
• 方法2：倍长FE至H，连结CH 第1题图
在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：
所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。
让我们来大显身手吧！
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例如：已知如图6-1：
在△ABC中，
AB>AC，∠1=∠2， P为AD上任一点
A 1 2
P
求证：AB-AC>PB-PC。 N
D
C
B
图6 1
A
1 2
N B
P C
D
图6 1
M
证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM 在△ABP和△AMP中 AB=AM （辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△ABP≌△AMP （SAS） ∴PB=PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。
• 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线 AD的取值范围
• 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角 形两边之和大于第三边
• 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB
上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且
DF=EF，求证：BD=CE
A
D
• 方法1：过D作DG∥AE交BC于G，
B
• 方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，
例 １．在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分BAC.
求证：AB+BD=AC
A
题 证明：在AB的延长线截取B E=BD，
讲 连结D E.
解
B
D
C
E
在射线 AB截取B E=BD， 连结D E.
补短法
截长法与补短法，具体做法是在某条 线段上截取一条线段与特定线段相等，或 是将某条线段延长使之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明． 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目．
F
C
E
• 方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H
• 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中 线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交 AC于F，求证：AF=EF
• 提示：倍长AD至G，连接BG，
A F
E
• 证明ΔBDG≌ΔCDA
B
D
C
• 三角形BEG是等腰三角形
BAC
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）
A
∴BD=CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等）
D
B
C
AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS）
E
∴BE=CA（全等三角形对应边相等） 图5 1
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大
M
思路导航
要证：AB-AC>PB-PC，想 到利用三角形三边关系定 理证明。
因为欲证的线段之差，故用 两边之差小于第三边，从 而想到构造第三边AB-AC
故可在AB上截取AN等于AC
，得AB-AC=BN
再连接PN，则PC=PN，又
N
在△PNB中，PB-PN<BN
即：AB-AC>PB-PC。
B
A 1 2
P C
D
图6 1
M
证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在△APN和△APC中
AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有 PB-PN<BN （三角形两边之差小于第 三边） ∴BP-PC<AB-AC
练 如图，AD∥BC，AE, BE分别平分 习 ∠DAB,∠CBA， CD经过点E，
求证：AB＝AD+BC
于第三边）
∴AB+AC>2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
练习
• 已知△ABC，AD是BC E
边上的中线，分别以
F
AB边、AC边为直角边
A
各向外作等腰直角三
角形，如图5-2， 求证
EF=2AD。
B DC
图5 2
二、截长补短法作辅助线
要证明两条线段之和等于第三条线段， 可以采取“截长补短”法。
N B
A 1 2
P C
D
图6 1
M
在△ ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C， 且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
求证：DE=AD+BE
证明：∵∠ACB=90° ， ∴ ∠1+∠2=90°. ∵BE⊥MN， ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠2=∠3. ∵AD⊥MN, ∴ ∠ADC= ∠CEB=90°.
倍长中线与截长补短法
辅助线一般作法
三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
在⊿ ADC和⊿CEB中,
﹛∠ADC= ∠CEB ∠2=∠3
AC=BC
2 1 3
∴ ⊿ADC≌⊿CEB ∴ AD=CE,CD=BE ∵ DE=CE+CD ∴ DE=AD+BE
例 1.在△ABC中, ∠B＝2∠C, AD平分∠BAC.
题 求证：AB+BD=AC
A
讲 证明：在AC上截取A E=AB，连结D E 12 ∵ AD平分∠BAC
3
E
解
∴ ∠1＝∠2,
在△ABD和 △AED中
4
B
D
C
﹛A B=AE ∠1＝∠2
∵ ∠3= ∠4+ ∠C ∴ 2∠C = ∠4+ ∠C
A D=AD
∴ ∠ C ＝∠4
∴ △ABD≌ △AED
∴DE=CE
∴BD=DE, ∠B＝∠3 截长法
∵ ∠B＝2∠C
∴BD=CE ∵AE+EC=AC
∴ ∠3=2∠C
∴ AB+BD=AC
AB+AC>2AD
A
分析：要证AB+AC>2AD，
由图想到： AB+BD>AD, AC+CD>AD，
D
B
C
所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，
左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD，
E 图5 1
即加倍中线，
把所要证的线段转移到同一个三角形中去
• 例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上， 且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
• 求证：AE平分∠BAC
• 提示：
A
• 方法1：倍长AE至G，连结DG
F
B
D
E
C
• 方法2：倍长FE至H，连结CH 第1题图
在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：