高二数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则PPT优秀课件
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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (1)
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝__－__s_in__x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
∴所求的最短距离
d＝1本初等函数的导数公式
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
命题角度2 求切点坐标问题 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y ＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
f′(x)＝_e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝__x_
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
基本初等函数的导数ppt课件
5．2 导数的运算 5．2.1 基本初等函数的导数
要点
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
π 3 ＝－
23，
∴切线方程为 y－12＝－ 23x－π3 ，即 y＝－ 23x＋ 36π＋12.
(2)已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离 最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时， 抛物线在点 P 处的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切 线的斜率为－1.
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(5 x2)′＝25x－35；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若直线 y＝x＋a 和曲线 y＝ln x＋2 相切，则实数 a 的值为( C )
A.12
B．2
C．1
3 D.2
解析 因为 y＝ln x＋2，所以 y′＝1x，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以 y′＝x10 ＝1，∴x0＝1.所以 y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选 C.
要点
基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q，且 α≠0)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0 且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0 且 a≠1)
f(x)＝ln x
π 3 ＝－
23，
∴切线方程为 y－12＝－ 23x－π3 ，即 y＝－ 23x＋ 36π＋12.
(2)已知点 P 为抛物线 y＝x2 上任意一点，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离 最小时，求点 P 的坐标及点 P 到直线 l 的距离．
【解析】 由图形的直观性可知，当 P 到直线 l：x＋y＋2＝0 的距离最小时， 抛物线在点 P 处的切线与直线 l 是互相平行的，那么它们的斜率是相等的，即切 线的斜率为－1.
【思路分析】 依题意可知，|AB|为定值，只要点 P 到 AB 的距离最大，S△ ABP 就最大，问题转化为在抛物线的弧 AOB 上求一点 P 到直线 AB 的距离最大， 由导数的几何意义知，P 为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切点，求出点 P 的 坐标即可求得 S△ABP 的最大值．
【解析】 由题意可知，|AB|为定值，要使△ABP 面积最大，只要点 P 到直
①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(5 x2)′＝25x－35；④(cos 2)′＝－sin 2.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若直线 y＝x＋a 和曲线 y＝ln x＋2 相切，则实数 a 的值为( C )
A.12
B．2
C．1
3 D.2
解析 因为 y＝ln x＋2，所以 y′＝1x，设切点坐标为(x0，x0＋a)，所以 y′＝x10 ＝1，∴x0＝1.所以 y＝ln 1＋2＝2＝x0＋a＝1＋a，∴a＝1.故选 C.
导数的基本公式与运算法则PPT优秀课件
补充例题： 求下列函数的导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1， 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
1 y ' sin( x 2 y 2 ) (2 x 2 yy ')
1 y ' 2 x sin( x 2 y 2 ) 2 y sin( x 2 y 2 ) y '
[1 2 y sin( x 2 y 2 )] y ' 1 2 x sin( x 2 y 2 )
练 习 ： 求 下 列 函 数 的 导 数 ( 课 堂 练 习 ) （ 1 ） y ( 1 x 2 ) 3 ; ( 2 ) y c o s 3 x ； ( 3 ) y x 2 3 x 2 ； （ 4 ） l g c o s ( 3 2 x 2 )
解: (1) y ' 6x(1 x2)2
2.2.3 高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，
所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
记作 f (x) 或 y 或
d2y dx2 .
如对二阶导数再求导，则
称三阶导数，记作
f
(x)
或
d d
3y x3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4)，y(5)，···，y(n) 或 d 4 y , ···，d n y ,
(4)y2x33xsinxe2
解：
高中数学-函数的导数及运算法则精品ppt课件
2 2
1 1 a ( 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 , 2 ).
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
练习1、若直线y =3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
3 2 练习2、设三次曲线 y x x 3 x 在原点处的切 2
3
a=4
线为l1,平行于l1的另一条切线为l2. 求l1、l2的方程;
基本初等函数的导数
导数运算法则
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) [ ] g( x ) [ g( x )]2
(a x ) a x ln a (a 0)
2
1 x y 0 4
1 1 ( , ) 2 4
例.如图，设直线l1与曲线y x 相切于点P，直线 l2过点P且垂直于l1。若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于 x轴于点K，求KQ的长。
设：P ( x0 , x0 )
1 则：k1 , k 2 2 x 0 2 x0
y
l1
P
O
K
Q
x
l2
x (e ) e x
1 (log a x ) (a 0, a 1) x ln a
1 (ln x ) x
练习一
1.在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线方程。
y 13 x 14
2.求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
x y 1 0
3.求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
y 2 x 1, y 10 x 25
1 1 a ( 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 , 2 ).
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
练习1、若直线y =3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
3 2 练习2、设三次曲线 y x x 3 x 在原点处的切 2
3
a=4
线为l1,平行于l1的另一条切线为l2. 求l1、l2的方程;
基本初等函数的导数
导数运算法则
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) [ ] g( x ) [ g( x )]2
(a x ) a x ln a (a 0)
2
1 x y 0 4
1 1 ( , ) 2 4
例.如图，设直线l1与曲线y x 相切于点P，直线 l2过点P且垂直于l1。若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于 x轴于点K，求KQ的长。
设：P ( x0 , x0 )
1 则：k1 , k 2 2 x 0 2 x0
y
l1
P
O
K
Q
x
l2
x (e ) e x
1 (log a x ) (a 0, a 1) x ln a
1 (ln x ) x
练习一
1.在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线方程。
y 13 x 14
2.求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
x y 1 0
3.求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
y 2 x 1, y 10 x 25
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
x)'
0 5284 (1) 5284 (100 x)2 (100 x)2
c'(90) 52.84(元/吨)
c'(98) 1321(元/吨)
二、复合函数的概念
思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，记作y=f(g(x)).
一、导数的运算法则
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx
y' 3x2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则
复习：
公式一: C= 0 (C为常数)
公式二: (x ) x1(是常数)
算一算：求下列函数的导数
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式三: (sin x) cos x
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
5.2.2导数的运算法则课件(人教版)
导数的四则运算法则
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)
新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1
(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解：y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3
( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3
2
(9 3)
144
6
'
新知探究
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x
3.
g x 0
′=
2
g x
新知探究
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
新知探究
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明： y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)
高中数学1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件苏教版选修.pptx
| b (4) | 10 | b 4 | 10, b 6或b 14; 32 1
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
用单位 : 元为
cx 5284 80 x 100.求净化到下纯度
100 x 时,所需净化费用的瞬时变 化率 :
1 90% ; 298% .
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,
练习:已知曲线 行且距离等于
y
10
,x求13 直在线点mP(的1,方1)处程的. 切线与直线m平
解：y
1 x3
,
y
(
1 x3
)
( x3 )
3 x 4 ;
曲线在P(1,1)处的切线的斜率为 k y |x1 3,
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
导数的四则运算法则(课件)-2024-2025学年高二数学同步课件
u(x)v(x)·…·w′(x)．
3．函数的商的导数
f′x
fx
Hale Waihona Puke (1)注意 ′≠.
g′x
gx
g′x
fx 1 1
(2)(特殊化)当 f(x)＝1，g(x)≠0 时， ＝ ， ′＝－
2.
gx gx gx
[gx]
微辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2 ＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2 ＋
11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x＋
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′
＝
x2＋32
－x2－6x＋3
＝
.
x2＋32
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
cf′(x)
即[cf(x)]′＝ 04 __________________.
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
(2)[f(x)g(x)]′＝
fx
(3)
′＝
gx
f′(x)±g′(x)
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′xgx－fxg′x
3．函数的商的导数
f′x
fx
Hale Waihona Puke (1)注意 ′≠.
g′x
gx
g′x
fx 1 1
(2)(特殊化)当 f(x)＝1，g(x)≠0 时， ＝ ， ′＝－
2.
gx gx gx
[gx]
微辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2 ＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2 ＋
11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x＋
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′
＝
x2＋32
－x2－6x＋3
＝
.
x2＋32
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
cf′(x)
即[cf(x)]′＝ 04 __________________.
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
(2)[f(x)g(x)]′＝
fx
(3)
′＝
gx
f′(x)±g′(x)
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′xgx－fxg′x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
y′|x＝π ＝－
2
π 2
，切点为
πห้องสมุดไป่ตู้，0
，
∴切线方程为y－0＝－π2x－π2 ，
即2πx＋4y－π2＝0.
则直线l2的方程为
y－( x02＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)，
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－
2 3
.
∴直线l2的方程为y＝－13x－292 .
y＝3x－3， (2)解方程组y＝－31x－292，
x＝16， 得y＝－52.
又直线 l1，l2 与 x 轴的交点分别为(1,0)，－232，0.
4．法则3：uvxx′＝u′xvxv－2xu xv′x
(v(x)≠0)． exx′＝__x_ex_x－_2_e_x_.
利用导数公式及运算法则求函数的导数 求下列函数的导数． (1)y＝(2x－3)2 ＝________； (2)cos x－x2＋2＝________.
答案：(1)8x－12 (2)－sin x－2x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基础梳理
1．若c为常数，则(cu) ′＝cu′. (3x2)′＝__6_x_____. 2．法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． (x3＋x2)′＝_3_x_2_＋__2_x_.
3．法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)． (xex)′＝__ex_＋__x_e_x_.
∴所求三角形面积为 S＝12×－52×1＋232＝11225.
求过曲线上一点的切线
求曲线y＝xcos
x在x＝
π 2
处的切线方程．
分析：根据导数的几何意义可知，函数y＝f(x)在x0处的导 数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ axlna (a>0)
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
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2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的
方法感悟
1．导数公式和运算法则为我们求导提供了更好的工具,求 导前要先将函数解析式进行化简． 2．求复合函数的导数要分析函数的复合层次，把复合函数 从外及内分解成若干个常见的基本初等函数，然后利用求 导共点处的切线问题 例4 已知定义在正实数集上的函数 f(x)＝1x2＋2ax，g(x) 2
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
＝3a2ln x＋b，其中 a＞0.设两曲线 y＝f(x)，y＝g(x)有公共 点，且在公共点处的切线相同． (1)若 a＝1，求 b 的值； (2)试写出 b 关于 a 的函数关系式．
抓信息 破难点 (1)两曲线在公共点处的切线相同，可知在切点处，两函 数值及切线斜率均相等，故可先求导，参考所给数据列 方程组求b. (2)依照上述思路可得a与b之间的函数关系．
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演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__导__数____的乘积．
想一想 下列函数是由哪两个函数复合而成的？ (1)y＝cos 3x； (2)y＝log2(x2－x)． 提示：(1)y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成． (2)y＝log2(x2－x)由函数y＝log2u，u＝x2－x复合而成．
(3)[gfxx]′＝__f_′__x__g__[xg_－_x_f_]2_x_g_′___x__(g_(_x_)_≠__0_)__． 特别地： [cf(x)]′＝ cf′ (x)．
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
(1)y＝ln(3x＋1)； (2)y＝cos(2x－π)；
3 (3)y＝ 2x2＋ 3x＋ 1；
(4)y＝(2x＋3)2.
【解】 (1)∵y＝ln u，u＝3x＋1， ∴y′＝(ln u)′·(3x＋1)′ ＝1u·3＝3x3＋1.
【名师点评】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的 步骤： (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
(2)由于(a3x)′＝a3xln a·(3x)′＝3a3xln a， [cos(2x＋1)]′＝－sin(2x＋1)·(2x＋1)′ ＝－2sin(2x＋1)． ∴y′＝[a3xcos(2x＋1)]′ ＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′ ＝3a3xln a·cos(2x＋1)－2a3xsin(2x＋1)． 【名师点评】 如果函数(或变形后的函数)解析式中一部分 是复合函数，可先求出复合函数的导数，然后再用导数的四 则运算法则求导数．
第一章 导数及其应用
1．2.2 基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则(二)
学习导航 学习目标
导数公式 ―理―解→ 复合函数的求导法则 ―掌―握→
导数的四则运算法 则 重点难点 重点：利用导数的四则运算法则求解导函数． 难点：运用复合函 数的求导法则进行复合函数的求导．
新知初探思维启动
1．导数运算法则 已知 f(x)，g(x)的导数存在，则： (1)[f(x)±g(x)]′＝__f_′__(x_)_±__g_′__(_x_) __； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′__(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′__(_x_) _；