超静定次数的判定

2
2
dx M+dM
dx
8
（受拉）
(Energy methods) RA
F1 F2 F3 F4 RB
A
剪力虚功
Q dλ (Q dQ) dλ
2
2
M
dx
l
d
Q+dQ 2
Q
d
dx M+dM 2
B
d 2
d
dx
2
9
(Energy methods) (1) 该微段的外力虚功
M d (M dM ) d
FNj Fi
Combined：δi

U Fi

FN (x) FN (x) dx EA Fi
T (x) T (x) dx GIp Fi
M (x) M (x) dx EI Fi
4
(Energy methods)
知识要点回顾
莫尔积分图乘法
Δ M ( x)M ( x)dx MC
13
(Energy methods)
第十四章 静不定结构
(Chapter 14 Statically Indeterminate Structure)
§14-1 静不定结构概述(Instruction about
statically indeterminate structure)
§14-2 用力法解静不定结构(Solving
(3) 梁的内力虚功
Wi
dW
l
i


(M dθ Q dλ)
l
梁的虚位移原理为
4
Fiδi
(M dθ Q dλ) 0
l
11
i 1
(Energy methods)
若横截面上不仅有弯矩 M 和剪力 Q，
还有轴力 FN 和扭矩 Mn，则杆的虚位移原理为
4

U Fi

FN (x) FN (x) dx EA Fi
Torsion：δi

U Fi

T (x) T (x)

dx
GIp Fi
Bending：δi

U Fi

M (x) M (x) dx EI Fi
Plane
Truss：δi

U Fi

n j 1
FNjl j EA
折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，然后求其和.
5
(Energy methods)
虚功原理
We Wi 0
外力虚功 杆件的约束条件：
内力虚功
支座约束条件 各单元体变形的几何相容条件
杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件，
且为微小量，即符合虚位移的基本要求. 所以，可以把杆件
由荷载作用产生的 微小实位移 当作虚位移.
6
(Energy methods)
(一) 梁的外力虚功
梁上荷载：
RA
F1， F2， F3， F4， RA， RB
给梁任一虚位移，荷载作
A
用点沿其作用方向的相应
虚位移（支座处没有虚位
移）为
1， 2， 3， 4
F1 F2 F3 F4 RB
B
1 2
3 4
l
4
4
外力虚功为 We Fiδi RA 0 RB 0 Fiδi 7
i 1
i 1
(Energy methods)
(二) 梁的内力虚功
RA
F1 F2 F3 F4 RB
A
dx
B
弯矩虚功
M d (M dM ) d
2
2
M
l
Q+dQ M
M+dM
d
d
Q
材料力学
刘鸿文主编(第5版) 高等教育出版社
目录
(Energy methods)
夏学期作业13： 13.31、13.33 14.4ac、14.5c
2
(Energy methods)
夏学期作业14： 14.7、14.12、14.14
3
(Energy methods)
知识要点回顾
卡氏定理应用
Tension：δi
Fiδi
(M
l

dθ

Q

dλ

FNdδ

Mnd
)
i 1
i 为 Fi 力作用点沿Fi方向的相应虚位移，d，d，d ， d 分别为与弯矩M ，剪力Q，轴力FN 和扭矩 Mn相对应虚
位移；
虚位移原理既不限定于线性问题，也不限定于弹性问题.
12
Chapter14 Statically Indeterminate Structure
第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的, 可称为外力静不定系统;
2
2
Q dλ (Q dQ) dλ
2
2
M，Q 应看作该微段的外力 该微段的外力虚功为（略去二阶小量）
M d Q dλ
10
(Energy methods) (2) 该微段的内力虚功 dWi
由该微段的虚位移原理
dWi dWe dWi (M dθ Q dλ) 0 dWi (M dθ Q dλ)
为超静定结构或系统.
在静不定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的 数目为结构的静不定次数（degree of statically indeterminate）.
15
(Energy methods)
二、静不定问题分类 （Classification for statically indeterminate）
（Instruction about Statically indeterminate structure）
一、静不定结构（Statically indeterminate structure）
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称
为静不定结构或系统（statically indeterminate structure）,也称
statically indeterminate structure by force
method)
§14-3 对称及反对称性质的应用
(Application about symmetrical and
antisymmetrical properties )
14
(Energy methods)
§14-1 静不定结构概述
l EI
EI
ab
C
lb
la
3
3
l
三角形
ω lh 2
顶点
C
5l
Hale Waihona Puke Baidu3l
8
8
l
二次抛物线 ω 2 h l 3
顶
c
点
3l/4 l/4
l
二次抛物线 ω l h 3
顶 点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
有时M(x)图为连续光滑曲线，而M(x)为折线，则应以折线的转