2021年高考数学参变分离法解决恒成立问题

x D, g a
f
x ，则只需要
g a
f
x
max
=M
③ x D, g a
f
x ，则只需要 g a
f
x
max
M
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表 达式的最值即可。
6.洛必达法则：若函数 f (x), g(x) 在定义域 D 可导，a D ，满足 f (a) g(a) 0 ，f (a), g(a) 都存在且 g(a)
④ x D, g a
f
x ，则只需要 g a
f
x
min
m
x D, g a
f
x ，则只需要 g a
f
x
min
m
（2）若 f x 的值域为 m, M
一、突破策略： 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式 的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一 个变量的范围求出另一变量的范围；
参变分离法解决恒成立问题
x D, g a f x ，则只需要 g a f x M max
导读：含参数不等式恒成立问题是高考中的一个热点和难点，在近几年的高考题中层出不穷，精彩纷呈，其综合 性强，把函数和不等式结合在一起，涉及到的知识面广，分析难度大，把这一类问题我们称之为恒成立问题，而 解决恒成立问题主要有以下三种破题策略：参变分离法，最值分析法和数形结合法，本文主要讲解如何利用“参 变分离法”破解不等式恒成立问题。
x D, g a f x ，则只需要 g a M （注意与（1）中对应情况进行对比） ③ x D, g a f x ，则只需要 g a M （注意与（1）中对应情况进行对比）
x D, g a f x ，则只需要 g a M
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行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：
3m2 1
4m2 3 0
其最值也容易求出，所以采用参编分离法来解本题也就水到渠成了.
例 2：已知函数 f x ln x a ，若 f x x2 在 1, 上恒成立，则 a 的取值范围是_________；
x 解：恒成立的不等式为 ln x a x 2 ，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法
① x D, g a f x ，则只需要 g a m x D, g a f x ，则只需要 g a m （注意与（1）中对应情况进行对比）
② x D, g a f x ，则只需要 g a M
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字 母（一般为所求）视为参数即给谁谁主元，求谁谁参数； 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可
最后绝招！
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二．高频考题：
例 1：已知函数 f x ex aex ，若 f ' (x) 2 3 恒成立，则实数 a 的取值范围是_______；
解：首先转化不等式，
f
' ( x)
ex
aex ，即 ex
a ex
2
3 恒成立，观察不等式 a 与 ex 便于分离，考虑利用参
变分离法，使 a, x 分居不等式两侧，a ex 2 2 3ex ，若不等式恒成立，只需 a ex 2 2 3ex ，令
2
1
4m2
x2 1
x 12 1 4
m2 1
，
即
1 m2
4m
2
x2
x2
2x
3 ，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以
x2
，可得：
1 m2
4m
2
x2
2x x2
3 min
，
g
x
x2
2x x2
3
3
1 x
2
2
1 x
1，
1 x
0,
2 3
最小值
g
2 3
5 3
，
1 m2
4m2 5 12m4 5m2 3 0 即 3
④ x D, g a f x ，则只需要 g a m （注意与（1）中对应情况进行对比） x D, g a f x ，则只需要 g a m
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为 3 个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作 为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理 （1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消
x
12
log a
x
，
1 1
x x
e ax
1等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出
最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设 x 为自变量，其范围设为 D ， f x 为函数； a 为参数， g a
max
g x ex 2 2 3ex ex
3
2
3（解析式可看做关于
e
x
的二次函数，故配方求最值），
g
x
max
3，
所以 a 3 .
点评：本题中的参数 a 与变量的关系并不密切，可以很快参变分离出来，而且分离出来的函数可看成二次函数，
解：先将不等式进行化简可得：
x m
不为
0，则 lim xa
f (x) g(x)
lim
xa
f (x) g ( x)
f (a) g(a)
，在解题时我们会发现一个奇特的现象就是利用参变分离法解决恒成立
问题时，入手容易，思维简单，但遇到最值为“ 0 ， ”时，我们就束手无策了，只能前功尽弃，然而此时我们 0
采用高等数学中的洛必达法则去解决，往往就能化险为夷，柳暗花明，这是我们用参编分离法解决恒成立问题的
为其表达式）
去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
（1）若 f x 的值域为m, M
① x D, g a
f
x ，则只需要 g a
f
x
min
m
x D, g x
f
x ，则只需要 g a
f
x
min
m
② x D, g a f x ，则只需要 g a f x =M max