第9章 点的合成运动速度和加速度

例如:车轮上的点P 的运动，如果以地 面作为参考系，点 的轨迹是旋轮线(复 杂运动)，而如果以 小车作为参考系， 点的轨迹则是一个 圆(相对简单运动) 。
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第九章 点的合成运动
前章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考系 的。然而，实际问题中，为了研究问题的方便，例如， 将一个复杂的运动分解为几个较为简单的运动或将几个 运动合成为一个复杂的运动，都需要在不同的参考系中 来研究物体的运动，分析物体相对不同参考系运动之间 的关系。 本章提出一种运动的分解和合成的方法。研究点的合成 运动,分析点的速度合成和加速度合成的规律。
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点的复合运动 — 速度分析例子
第九章 点的合成运动
思考：如果动点是顶杆上的A点，动系与凸轮固结，试对 动点进行速度分析，画出速度图。
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第九章 点的合成运动
第二节 点的速度合成定理
本节主要研究点的绝对速度、牵连速度、相对速度三者
之间的关系
vra vre vrr
■速度合成定理：
在某一瞬时与动点M重合的点M ‘相对于静坐标系的速 度和加速度, 称为动点M 在这一瞬时的牵连速度和牵连加 速度。M ‘称为牵连点。
下面通过例子来说明以上的各个概念
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第九章 点的合成运动
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动点：AB杆上A点 动系：固结于偏心凸轮C上 静系：固结在地面上
第九章 点的合成运动
动点：偏心凸轮C上A1点 动系：固结于杆AB上 静系：固结在地面上
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第九章 点的合成运动
从以上例子可以得出，如果动点 和动系选择的恰当，则相对轨迹 较为简单，反之则较复杂。因此， 动点动系的选择是分析点的合成 运动的关键之一。
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve和 牵连加速度 ae
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第九章 点的合成运动
绝对轨迹, 牵连轨迹, 相对轨迹;
绝对速度, 牵连速度, 相对速度; ( va ve vr )
绝对加速度, 牵连加速度 ,相对加速度. (aa ae ar )
若记动点相对于动坐标系的坐标为:
x' = f1( t ) , y' = f2( t ) , z' = f3( t ) .
应用运动的分解和合成的方法把点的复杂运动分解为某 些简单的运动, 对各简单的运动加以分析之后,再合起来就 可以解决复杂的运动问题。这称为点的合成运动 (点的复合 运动 )。
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第九章 点的合成运动
第一节 点的合成运动的概念
例如: 车床上车刀刀尖P的运动，很显然车刀刀尖相对于地 面是直线运动，但如果相对于旋转的工件而言，轨迹则是 圆柱面上的螺旋线。
动点
动系
静系 动系 静系
绝对运动 相对运动 牵连运动
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第九章 点的合成运动
例9-2 直管OA作定Βιβλιοθήκη Baidu转动，小球M沿OA管向外运动。
y
ve
y'
u = vr M
静坐标系 Oxy 与地面固结
x'
动坐标= 系 Oxy 与直管OA固结
问： 绝对运动是什么？
x
相对运动是什么？
牵连运动是什么？
对速度 va和绝对加速度 aa 。
动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的相对轨迹、相
对速度 vr和相对加速度 ar 。
特别需要强调的是，由于动参考系的运动是刚体的运动而不是 一个点的运动，因此定义在任意瞬时，动参考系上与动点重合 的那一点称为牵连点，该点应该是动系上在该瞬时与动点关系 最紧密的。显然牵连点不是动系上的一个固定点。有了牵连点 的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下：
则
vrx
dx dt
vry
dy dt
vrr
rr r vrxi vry j vrzk
vrz
dz dt
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第九章 点的合成运动
arx
d 2x dt 2
ary
d 2 y dt 2
arz
d 2z dt 2
则
arr
r arxi
r ary j
r arzk
牵连运动:在某一瞬时与动点M重合而与动坐标系固结 在一起的点M ‘对于静坐标系的轨迹为牵连运动的轨迹。
动坐标系 xoy 与运动车厢固结
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第九章 点的合成运动
这里：M称为动点，车厢相
y'
对地面的运动为牵连运动（ y
B
牵连速度，牵连加速度）；
u
v1
小球M相对车厢的运动是相 对运动（相对速度，相对加
M o' A
x'
速度）；小球相对于地面的 O
x
运动为绝对运动（绝对速度，
绝对加速度）。
也即
动点
称动系。例如行驶的汽车。
三运动： 绝对运动、相对运动和牵连运动。 绝对运动：动点相对静系的运动。 相对运动：动点相对动系的运动。例如：人在行驶的汽
车里走动。 牵连运动：动系相对于静系的运动。例如：行驶的汽车
相对于地面的运动。
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第九章 点的合成运动
动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的绝对轨迹、绝
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第九章 点的合成运动
第九章 点的合成运动
第一节 点的合成运动的概念 第二节 点的速度合成定理
第三节 牵连运动为平动时点的加 速度合成定理
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第九章 点的合成运动
运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同一物体的 运动在不同的参考系中是不一样的。对于不同的参考系，物 体运动的结果不一样。
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第九章 点的合成运动
例9-1 以速度 v1 向东行驶的车厢内，地板上有一南北向的槽 AB，一小球M沿槽以不变的速度 u 向北运动，而站在 地面的人看到小球往东偏北方向运动。v =( u2 + v12)1/2。
y'
y
B
u M
o' A
v1
一点两系三运动
x'
O
x
静坐标系 xoy 与物体固结
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第九章 点的合成运动
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第九章 点的合成运动
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第九章 点的合成运动
下面介绍点的合成运动中的基本概念：“一点两系三运动”
一点：即动点，所研究的点。 两系：定参考系和动参考系。
定参考系 — 固结于地面上的坐标系，简称静系。 动参考系 — 固结于相对于地面运动物体上的坐标系，简
任一瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度 的矢量和。
现推导点的速度合成定理。