高数下9.3三重积分及其计算

(x, y), 作垂直于xoy面的直线穿
过闭区域 .
o
穿入 时的下边界曲面方程:
z=z1(x, y)
x
穿出 时的上边界曲面方程:
z=z1(x, y)
Dxy (x, y)
y
z=z2(x, y) 先将x, y看作定值, f(x, y, z)看作z的函数, 则积分
F ( x,
y)
z2( x, y)
z1( x, y )
f
(
x,
y,
z)dz
为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy
上的密度函数.
由三重积分的物理意义,
z
若将f(x, y, z)理解为闭区域
z=z2(x, y)
上的体密度函数, 那么三重积
分
f ( x, y, z)dv
表示空间物体的质量M.
o
a
则函数F(x, y)可以理解为压缩 b
在平面薄片Dxy上的密度函数. x
例1: 将三重积分 f ( x, y, z)dv化成三次积分,
其中 为长方体, 各边界面平行于坐标面.
解: 将 投影到xoy面得Dxy ,
它是一个矩形: c y d, a x b,
z m
在Dxy内任取一点(x, y)作平行于z
l
轴的直线, 交边界曲面于两点, 其
竖坐标为l 和m(l < m).
何也无法画出其“图形”, 因此我们不再讨论其几何
意义.
下面我们给出三重积分的定义:
定义: 设f(x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界函
数, 将闭区域 任意分成n个小闭区域v1, v2, , vn, 其中vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每 个vi上任取一点(i, i, i ), 作乘积 f(i, i, i )vi ( i=1,
§9.3 三重积分及其计算
一、三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域, 被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义.
三重积分的物理背景
以(x, y, z)为体密度函数的空间物体的质量.
首先, 将闭区域 n个小闭区域v1, v2, , vn, 其 中vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个 vi上任取一点(i, i, i ), 作乘积(i, i, i )vi ( i=1, 2,
dv = dxdydz. 三重积分可写成:
f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
与二重积分类似, 三重积分可化成三次积行计算. 具体可分为先单后重和先重后单两种类型.
①先单后重:
z
z=z2(x, y)
设闭区域 在xoy面的投
影为闭区域Dxy .
在闭区域Dxy内任取一点
, n), 并作和
n
(i ,i , i )vi
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该
和式的极限存在, 则称此极限为空间物体的质量M,
即
n
M
lim
0
i 1
(
i
,i
,
i
)vi
.
当然, 在三维空间定义的函数u=f(x, y, z)的“几何”
意义是四维空间的“曲面”, 我们可以想象, 但无论如
f ( x, y, z)dz]d .
下面只需将二重积分化成二次积分: 不妨设Dxy为X—区域: y1(x) y y1(x), a x b.
则
f ( x, y, z)dv
abdx
y2 ( x ) y1( x )
dy
z2 ( x, y) z1( x, y )
f ( x, y, z)dz.
其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同.
同样有: 闭区域上的连续函数一定可积.
由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的 性质, 不再叙述.
二、三重积分在直角坐标系中的计算法
在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标的) 平面 x=常数, y=常数, z=常数, 对空间区域进行分割那 末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为:
z=z1(x, y)
Dxy (x, y)
y
y=y2(x)
y=y1(x)
则质量M等于F(x, y)在平面薄片Dxy上二重积分:
M
Dxy
F ( x,
y)d
[ பைடு நூலகம்2( x, y) Dxy z1( x, y )
f
( x,
y, z)dz]d
.
即
f ( x, y, z)dv
[ z2( x, y) Dxy z1( x, y )
此方法也称为先一后二, 或切条法(先z次y后x, 或 先z次x后y)
注意: 这是用平行于z轴(或垂直于xoy平面)且穿过
闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面相交不多
于两点情形. 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下
的三次积分.
化三重积分为三次积分的步骤: ⑴投影: 得平面区域; ⑵穿越法定限: 穿入点—下限, 穿出点—上限. 对于二重积分化为累次积分的方法, 已经介绍过.
2, , n), 并作和 n f (i ,i , i )vi i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该
和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域
上的三重积分, 并记为 f ( x, y, z)dv, 即
n
f ( x, y, z)dv
lim
0 i1
f (i ,i , i )vi
成的空间闭区域.
解: 画出积分区域 的草图. 在xoy面上的投影区域
Dxy: x2 y 1, –1 x 1,
平行于z 轴的直线穿过 的下曲面为
z=0, 上曲面为z=x2+y2, 有0 z x2+y2.
I f ( x, y, z)dv
xdxdydz
o Dxy x+y=1 y
x
01dx01 x dy01 x y xdz
01 xdx01 x (1 x y)dy
1 2
01 x(1
x)2 dx
1. 24
例3: 化三重积分为 I f ( x, y, z)dv 三次积分,
其中积分区域 为由曲面z=x2+y2, y=x2, y=1, z=0所围
f ( x, y, z)dv Dxy [lm f ( x, y, z)dz]d
o a
b x
abdx
d
c
dy
m
l
f
( x,
y, z)dz.
c
d
y
Dxy(x,y)
例2: 计算 xdxdydz,其中 是三个坐标面与
平面x+y+z=1所围成的区域.
z
解: 画出 在xoy面上的投影区域
x+y+z=1
Dxy: 0 y 1–x, 0 x 1, 平行于z 轴直线穿过的下曲面为z=0, 上曲面为z=1–x–y, 有 0 z 1–x–y.