知识点10：压杆稳定

知识点10：压杆稳定

一、弹性平衡稳定性的概念

１．弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。 ２．受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。

二、压杆的临界力

１．两端铰支细长压杆欧拉（Euler ）临界力公式为2

2l

EI

F cr π=

。欧拉临界力公式只适用于小变形、

线弹性范围内。

２．在临界状态两端铰支细长压杆的弹性曲线方程为一个半波正弦方程：x l

C y π

sin

=。由此利用

“形状比较法”可求得不同约束下细长压杆的临界力。

３．杆端约束对临界力的影响：

（１）不同杆端约束的压杆的临界力，可用解压杆的挠曲线近似微分方程或用形状比较法求得。

（２）不同杆端约束细长压杆临界力的欧拉公式为2

2)

(l EI

F cr μπ=，式中μl 称为计算长度（或有效长度），μ称为支座系数（或长度系数）。当压杆在两个惯性平面内的μ值不同时，计算临界力应取较大的μ值。

（３）几种常见杆端约束的支座系数： ４．临界应力与柔度：

细长压杆的临界应力公式为2

2λπσE cr =，式中i

l μλ=称为压杆的柔度，和压杆的长度、约束情况、截面形状及尺寸相关。

三、压杆的分类与临界应力总图

１．柔度的分界值

P

P E

σπλλ22)(=

；

b

a s

s σλλ-=

)(1

式中a ，b 是与材料性质相关的常数，单位为ＭＰa 。

２．压杆的分类

压杆根据其柔度的大小而分类，计算压杆临界应力时应先判断是何类压杆，然后选择相应的临界应力公式。压杆可分为下列三类：

（１）细长杆（λ≥λP ）：计算临界应力用欧拉公式2

2λ

πσE

cr =（欧拉双曲线公式）； （２）中长杆（λs ＜λ＜λP ）：计算临界应力用经验公式σcr ＝a －b λ（雅辛斯基直线公式）； （３）粗短杆（λ≤λs ）：计算临界应力用压缩强度公式σcr ＝σs （或σb ）。 ３．临界应力总图

临界应力总图如图10－1所示。

四、压杆稳定性的校核

１．进行压杆稳定性的校核时，通常用安全系数法。在建筑等行业常用折减系数法。

２．工程中，考虑到压杆的初曲率、载荷的偏心、材料的不均匀及失稳破坏的突发性等因素对压杆临界力的影响，因而规定的稳定安全系数大于强度安全系数。

３．对于截面有局部削弱（如油孔等）的压杆，除校核稳定性外，还须对局部削弱处进行强度校核，其计算面积应是扣除孔洞削弱后的实际面积（称为净面积）。

４．压杆的稳定性是对压杆整体而言的，截面的局部削弱，对临界力影响不大，故可不必考虑。 a ．安全系数法

为了保证压杆有足够的稳定性，应使其工作压力小于临界力，或使其工作应力小于临界应力，即

Ｆ＜Ｆcr 或 σ＜σcr

用安全系数来校核压杆稳定性，其稳定性条件为

[]W cr

W n F

F n ≥=

或

[]W cr

W n n ≥=

σ

σ 式中n W 为压杆实际稳定安全系数，［n W ］为规定的稳定安全系数。

*

b ．折减系数法

用折减系数法进行压杆稳定性校核时，引入稳定性的许用应力

[][]

W

cr

W

n σσ=

，压杆的稳定条件为：

σ≤［σW ］

［σW ］常用基本许用应力［σ］来表示，即

［σW ］＝ϕ［σ］

式中ϕ为与λ相关且小于等于１的系数，称为折减系数，计算时可查有关手册。

五、提高压杆稳定性的措施

提高压杆稳定性的措施可以从改善支承情况、减小压杆长度（或增加中间约束）、选择合理的截面形状、使压杆在各弯曲平面内的柔度相等（等稳定性结构）及合理选择材料等方面考虑。

六、解题思路

计算压杆的临界应力（临界力）时，可按照下列步骤进行：

１．根据压杆的杆端约束情况确定支座系数μ值，计算出该压杆的柔度i

l

μλ

=

。

２．将压杆的柔度与压杆分类的界限柔度值λP 和λs 比较，以确定该压杆是何类杆，选取相应的临界应力公式。

３．计算压杆的临界应力（临界力）。 ４．注意事项：

（１）切忌不判断压杆的类别，直接用欧拉临界应力公式计算。

（２）当压杆分类的界限柔度值λP 及λs 值未知时，应由材料数据计算出。 （３）计算临界应力时，采用未削弱前的横截面面积和惯性矩。

（４）当压杆在各弯曲平面内的支座系数及惯性矩不同时，应分别计算压杆在各弯曲平面内的柔度，选用较大的柔度计算压杆的临界应力。

（５）当压杆不是粗短杆且又没有局部削弱时，就不需再校核其压缩强度。

七、难题解析

【例1】如图10-1（a ）所示结构，由刚性杆AB 与弹性杆CD 组成。在铅垂载荷F 作用下，刚性杆AB 在竖直状态保持平衡，试确定载荷F 的临界值。杆CD 各截面的拉压刚度均为EA 。

图10-1

解：1. 问题分析

使系统发生微偏离，如图10-1（b ）所示。

设杆端A 的水平位移为f ，则由图10-1（b ）可以看出，杆CD 的轴向变形为

2

221245cos 'f

f CC l ==

︒=∆ 根据胡克定律，并考虑上述关系式，得杆CD 的轴力为

l

EAf

l l EA F CD N 4=∆⋅

= （a ）

于是由平衡方程即可确定临界载荷值。 2．临界载荷的确定

在临界载荷作用下，系统可在微偏离状态保持平衡，平衡方程为

045cos 0=-︒=∑Ff l F M

N B

，