压杆稳定性计算汇总
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ，必须经过计算才能最后确定。
返回 下一张 上一张 小结
第三节 压杆的临界应力
一、临界应力与柔度
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时
的应力。
?
lj
?
Plj A
?
? 2EI
?? l?2 A
?
? 2E
?? l ?2
E ? 200GPa,? p ? 200EPa, ? p ?
? 2 ? 200000 ? 100
200
返回 下一张 上一张 小结
三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图
当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
? lj ? a ? b? 2; Plj ? ? lj A ? (a ? b?2 ) A;
?
中性轴为z轴： Iz
?
200? 1203
12
?
28.8? 106 mm4
?
28.8? 10?6 m4
木柱两端固定，????? ，则得：
Plj
?
? 2 EI z
?? l ?2
?
3 .14 2 ? 10 ? 10 3 ? 28 .8 ? 10 6
?0.5 ? 8000 ?2
? 178 KN
比较计算结果可知：第一种情况临界压 力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明，
λ c—修正的分界柔度。
A3钢：λ c=123；16锰钢：λ c＝102。 返回 下一张 上一张 小结
例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。
钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。
解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
中性轴为y轴： Iy=120×2003/12 =80×106mm4 =80×10-6m4
木柱两端铰支，??? ，则得：
Plj
?
? 2 EI y
?? l ?2
?
3.142 ? 10 ? 103 ? 80 ? 106
?1? 8000 ?2
? 123kN
返回 下一张 上一张 小结
? （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。
?
第11章 压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念
第二节 细长压杆的临界力
第三节 压杆的临界应力
第四节 压杆的稳定计算
第五节 提高压杆稳定的措施
小结
返回
?
第一节 压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
Plj
?
? 2 EI min (? l)2
式中： E? 材料的弹性模量；
Imin? 压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl? 计算长度；
?? 长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
?
? 2 EI
l2
计算
? 2 EI ? 2 ? 200 ? 106 ? 158 ? 10 ?8
Plj ? l 2 ?
32
? 346 kN
?由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便
会丧失稳定。
返回 下一张 上一张 小结
? 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668；
16锰钢：a＝343,b＝0.0142。
临界应力总图—临界应力
? lj与柔度? 的函数关系曲线。
?
?
?c
: 大柔度杆；?
lj
?
? 2E ?2
;
? ? ? c :中小柔度杆；? lj ? a ? b? 2;
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。
返回 下一张 上一张 小结
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d2y dx 2
?
?
M (x) EI
?
?
Plj EI
y; 令 Plj EI
?
k 2 , 则有 d 2 y dx2
?
情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。
（1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。
l2
(n
?
0、1、2、?
?
n);
n取不为零的最小值，即 取n ? 1,所以
? 2 EI
Plj ? l 2
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
返回 下一张 上一张 小结
二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。
也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
返回 下一张 上一张 小结
返回 下一张 上一张 小结
? 例10-1 一根两端铰支的 20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量 E=200GPa ，试确定 其临界压力。
?解：查表得20a号工字钢:
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
?临界压力按公式
p lj
?
?
?l
i
? 1? 3000 23 .1
? 129 .9 ? ? p
? 123
大柔度杆
由欧拉公式
?
lj
?
? 2E ?2
?
?
2 ? 200 ? 10 3 129 .92
? 117 MPa
k2y ?
Fra Baidu bibliotek0;
其通解为y ? c1 sin kx ? c2 cos kx;
由边界条件x ? 0, y ? 0; x ? l, y ? 0;
得c2 ? 0;c1 sin kl ? 0;
因为c1 ? 0,所以sin kl ? 0;得kl ? n? (n ? 0、1、2、? ? n)；
则
Plj ?
n2? 2 EI
?I ? A
? 2E
?? l?2
?i 2
?
? 2E ?2
其中：i ? I — 截面的惯性半径；为截面的几何性质； A
? ＝ ? l 称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
i
二、欧拉公式的适用范围
λ p—分界柔度，取决与
?
lj
?
? 2E ?2
?
?
p
或
??
? 2E ?p
?
?p
材料的力学性质。A3钢：
返回 下一张 上一张 小结
第三节 压杆的临界应力
一、临界应力与柔度
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时
的应力。
?
lj
?
Plj A
?
? 2EI
?? l?2 A
?
? 2E
?? l ?2
E ? 200GPa,? p ? 200EPa, ? p ?
? 2 ? 200000 ? 100
200
返回 下一张 上一张 小结
三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图
当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
? lj ? a ? b? 2; Plj ? ? lj A ? (a ? b?2 ) A;
?
中性轴为z轴： Iz
?
200? 1203
12
?
28.8? 106 mm4
?
28.8? 10?6 m4
木柱两端固定，????? ，则得：
Plj
?
? 2 EI z
?? l ?2
?
3 .14 2 ? 10 ? 10 3 ? 28 .8 ? 10 6
?0.5 ? 8000 ?2
? 178 KN
比较计算结果可知：第一种情况临界压 力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明，
λ c—修正的分界柔度。
A3钢：λ c=123；16锰钢：λ c＝102。 返回 下一张 上一张 小结
例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。
钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。
解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
中性轴为y轴： Iy=120×2003/12 =80×106mm4 =80×10-6m4
木柱两端铰支，??? ，则得：
Plj
?
? 2 EI y
?? l ?2
?
3.142 ? 10 ? 103 ? 80 ? 106
?1? 8000 ?2
? 123kN
返回 下一张 上一张 小结
? （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。
?
第11章 压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念
第二节 细长压杆的临界力
第三节 压杆的临界应力
第四节 压杆的稳定计算
第五节 提高压杆稳定的措施
小结
返回
?
第一节 压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
Plj
?
? 2 EI min (? l)2
式中： E? 材料的弹性模量；
Imin? 压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl? 计算长度；
?? 长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
?
? 2 EI
l2
计算
? 2 EI ? 2 ? 200 ? 106 ? 158 ? 10 ?8
Plj ? l 2 ?
32
? 346 kN
?由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便
会丧失稳定。
返回 下一张 上一张 小结
? 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668；
16锰钢：a＝343,b＝0.0142。
临界应力总图—临界应力
? lj与柔度? 的函数关系曲线。
?
?
?c
: 大柔度杆；?
lj
?
? 2E ?2
;
? ? ? c :中小柔度杆；? lj ? a ? b? 2;
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。
返回 下一张 上一张 小结
第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d2y dx 2
?
?
M (x) EI
?
?
Plj EI
y; 令 Plj EI
?
k 2 , 则有 d 2 y dx2
?
情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。
（1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。
l2
(n
?
0、1、2、?
?
n);
n取不为零的最小值，即 取n ? 1,所以
? 2 EI
Plj ? l 2
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
返回 下一张 上一张 小结
二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。
也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
返回 下一张 上一张 小结
返回 下一张 上一张 小结
? 例10-1 一根两端铰支的 20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量 E=200GPa ，试确定 其临界压力。
?解：查表得20a号工字钢:
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
?临界压力按公式
p lj
?
?
?l
i
? 1? 3000 23 .1
? 129 .9 ? ? p
? 123
大柔度杆
由欧拉公式
?
lj
?
? 2E ?2
?
?
2 ? 200 ? 10 3 129 .92
? 117 MPa
k2y ?
Fra Baidu bibliotek0;
其通解为y ? c1 sin kx ? c2 cos kx;
由边界条件x ? 0, y ? 0; x ? l, y ? 0;
得c2 ? 0;c1 sin kl ? 0;
因为c1 ? 0,所以sin kl ? 0;得kl ? n? (n ? 0、1、2、? ? n)；
则
Plj ?
n2? 2 EI
?I ? A
? 2E
?? l?2
?i 2
?
? 2E ?2
其中：i ? I — 截面的惯性半径；为截面的几何性质； A
? ＝ ? l 称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
i
二、欧拉公式的适用范围
λ p—分界柔度，取决与
?
lj
?
? 2E ?2
?
?
p
或
??
? 2E ?p
?
?p
材料的力学性质。A3钢：