初一坐标系与三角形面积

平面直角坐标系中，求三角形面积的初一数学方法

应用一：已知A、B两点坐标，求S△AOB

应用二：已知A、B、C三点坐标，求S△ABC

应用三：已知A、B两点坐标，求直线AB与坐标轴的交点

应用四：已知A、B两点的坐标和S△ABC的面积，求C点坐标

结论一：S△AOB＝1/2 ▏x1y2－x2y1▏(在各象限均可适用)

证明：如上面左图。代数方法

S△AOB＝S□POQN—S△ABN-S△AOP—S△BOQ

S△AOB＝x2y1-1/2(x1y1+x2y2+(x2-x1)(y1-y2))

S△AOB=1/2(x2y1-x1y2)

为了在应用时，不需考虑结论一里两项谁大谁小的问题，公式使用绝对值符号；输入的坐标数据为含正负号的坐标数据，因此结论一在四个象限均可使用。

几何方法：

∵S△AOB中的S△AOM=S△ASM，S△OMB＝S△TMB

又∵S△ASM+ S△ABM＝1/2 S□PSBN，S△TMB＝1/2 S□MTQB

∴S△AOB＝1/2（S□POQN－S□SOTM）

＝1/2(x2y1-x1y2)

如上右图：S△AOB＝S□POAB- S△POB= (S△POA+ S△PBA)-S△POB

=1/2(x1y2-x2y1)

结论二：已知A（x1,y1）B(x2,y2) C(a,b) 求S△ABC时，可以将三角形平移，使其中一点（比如C点）平移至原点O，则A（x1,y1）→A’(x1-a,y1-b), B（x2,y2）→B’(x2-a,y2-b) C(a,b) →O(0,0),又可适用结论一的公式。

S△ABC＝1/2▏(x1-a)(y2-b)－(x2-a)(y1-b)▏

结论三：已知直线上两点AB的坐标，求直线与坐标轴的交点坐标。

设交点为C（a,0）或C（0，b）其中a或b为未知坐标。套用上述结论二，使S△ABC面积为零，解绝对值方程求得未知数，且不会漏解。

结论四：已知AB两点坐标和△ABC的面积，求C点坐标，只需套用结论二公式解绝对值方程即可。

因为画图和写数学公式很慢，所以从结论二至结论四步骤略去，有兴趣者可以进行验证。