高数(下)要点(含微分方程)——自己整理的
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第六章 微分方程
一、一阶微分方程
1、一阶线性方程
)()(x Q y x P dx
dy
=+
])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx
x P +⎰⎰
=⎰-通解
2、伯努利方程
)1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x
y
n ).()(d d 1111x Q y x P x
y n n n
=+⋅---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程
1．)()(x f y n =
n 次积分
2．
)',("y x f y = 不显含y
令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。
3．
)',("y y f y = 不显含自变量
令)('y p y =，dy
dp
p dx y d =22，化为一阶方程。 三、线性微分方程
)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- ，
0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。
1．二阶线性齐次线性方程
0)()(=+'+''y x Q y x P y （1）
如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解，
则
)()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。
如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解,
则
)()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解.
两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为
C x y x y ≡/)
()
(21（常数）
2．二阶线性非齐次线性方程
设
)(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+''
的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则
)()(*
x y x Y y += 是该方程的通解.
设)(*
1x y 与
)(*
2x y 分别是二阶线性非齐次方程
)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''
的两个特解。则+
)(*
1x y )(*
2x y 是
)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''
的特解。（叠加原理）
3.二阶线性常系数齐次方程
0'"=++qy py y
特征方程02
=++q pr r ，特征根
,r r 4．二阶线性常系数非齐次方程
i) 如果
x m e x P x f λ)()(=,
则二阶线性常系数非齐次方程具有形如 x m k e x Q x y λ)(*= 的特解。
其中，)(x P m 是
m 次多项式, )(x Q m 也是系数待定的m 次多项式；
2,1,0=k 依照λ为特征根的重数而取值.
i)
如果
[]x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=,
则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为
[]
x
x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )()
2()1(*+=
其中)(),()
2()1(x R x R m m 是系数待定的m
次多项式,
{}n l m ,m ax =,
1,0=k 依照ωλi +特征根的重数取值.
四、欧拉方程
二阶欧拉方程
)(2
x f qy y px y x =+'+''，其中q p ,为常数. 作变换
t
e x =，则有 dt
dy x dx dt dt dy dx dy 1=⋅=,
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=dt dy dt y d x dx y d 222221。 原方程变为二阶线性常系数方程
)()1(2
2t
e f qy dt
dy p dx y d =+-+。 第七章 空间解析几何
一、1、φβαβαsin ||||||
=⨯，其中φ是α
与β
的夹角；
2、向量积满足下列运算律： 1）反交换律 )(αββα
⨯-=⨯； 2）结合律
)()()(βλαβαλβαλ
⨯=⨯=⨯，其中λ是数量 ；
3） 左分配律 βγαγβαγ
⨯+⨯=+⨯)(，
右分配律 γβγαγβα
⨯+⨯=⨯+)(．
3、
3
21
3212
12131313232b b b a a a k j i k b b a a j b b a a i b b a a
=+-=⨯βα 4、若0
},,{321
≠=a a a α，则α
αα
|
|10
=称为α
单位化向量，并有
||ααα
=．此时
}cos ,cos ,{cos ,
,
2
322213
23
22
2
1
22
3222110
γβαα=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++=a a a a a
a a a a a a a