换元积分法与分部积分法

换元积分法与分部积分法Newly compiled on November 23, 2020

换元积分法与分部积分法（4时）

【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。

【教学重点】换元积分法和分步积分法。

【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。

【教学过程】

一 换元积分法

由复合函数求导法，可以导出换元积分法．

定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ϕ=在[]b a ,上可导，且[]b a x x ,,)(∈≤≤βϕα，并记

(i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数

C x G x F x F +=))(()(),(ϕ，即

(ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'ϕ则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1ϕ，即

⎰⎰⎰='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(ϕϕ．

证 （i ） 用复合函数求导法进行验证：

所以)(x f 以))((x G ϕ为其原函数，(1)式成立．

( ii ) 在0)(≠'x ϕ的条件下，)(x u ϕ=存在反函数)(1u x -=ϕ，且

于是又能验证（2）式成立：

)())((u g x g ==ϕ． 口

上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)．

下面的例1至例5采用第一换元积分法求解．在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式：

例1 求⎰.tan xdx

解 由 ,cos )(cos cos sin tan dx x x dx x x xdx ⎰⎰⎰

'-== 可令,1)(,cos u

u g x u ==则得 例 2 求).0(2

2>+⎰a x a dx 解 ⎰⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+2

2211a x a x d a x a dx )(a x u =令 对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量u ，而直接使用公式)1('.

例 3 求⎰-22x a dx

)0(>a

解 ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2222111a x dx a x dx

a x a dx

例 4 求).0(22≠-⎰

a a x dx 解 ⎰-22a x dx dx a x a x a ⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=1121 例 5 求⎰.sec xdx

解 [解法一]利用例4的结果可得

[解法二]

⎰xdx sec =dx x

x x x x ⎰++tan sec )tan (sec sec C x x ++=tan sec ln ．

这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来．

从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式dx x f )(凑成()()()dx x x g ϕϕ'的形式，以便选取变换)(x u ϕ=，化为易于积分的()⎰du u g ．最终不要忘记把新引入的变量()u 还原为起始变量()x ．

第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解． 例6 求⎰+3u u du

.

解 为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6，并令6x u =,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分： C u u u u ++-+-=1ln 6632663.

例7 求 )0(22>-⎰a dx x a

解 令,sin t a x = 2π<

t (这是存在反函数a x t arcsin =的一个单调区间)．于是 例8 求()022>-⎰a a x dx

.

解 令t a x sec =,20π

<

x t =

sec ， a a x t 2

2tan -=，故得 例9 求)0()(222>+⎰a a x dx

解 令t a x tan =，2π

有些不定积分还可采用两种换元方法来计算．

例10 求.122⎰-x x dx

解 [解法一]采用第一换元积分法：

［解法二] 采用第二换元积分法(令t x sec =)：

二 分部积分法

由乘积求导法，可以导出分部积分法．

定理（分部积分法）若()x u 与()x v 可导，不定积分()()dx x v x u ⎰'存在，则()()dx x v x u '⎰也存在，并有 ()()dx x v x u '⎰=()x u ()-x v ()()dx x v x u ⎰' （3）

证 由 ()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='

或 ()()x v x u '=()()[]'x v x u ()()x v x u '-，

对上式两边求不定积分，就得到(3)式．

公式(3)称为分部积分公式，常简写作⎰⎰-=vdu uv udv （4）

例11 求⎰xdx x cos .

解 令x u =，x v cos ='，则有.sin ,1x v u =='由公式（3）求得

例12 求⎰.arctan xdx .

解 令=u x arctan ，1=v ，则211x u +=

'，x v =，由公式（3）求得 例13 求⎰.ln 3xdx x

解 令3,ln x v x u ='=，由公式（4）则有

有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类的项，需经移项合并后方能完成求解．现分别示例如下

例14 求.2dx e x x -⎰

解 ()

⎰⎰⎰----+-=-=dx xe e x e d x dx e x x x x x 2222

例15 求bxdx e I x cos 1⎰-=和⎰=.sin 2bxdx e I ax 解 ()()bxdx e b bx e a

e bxd a I ax ax ax sin cos 1cos 11⎰⎰+== ()

2cos 1bI bx e a ax +=，