双曲线的参数方程、抛物线的参数方程

通常规定
[0,
2
)且


，

3
b
。
2
2
说明：
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
练习：
1、求双曲线{x 2 3 sec 的两个焦点坐标。 y 4 3 tan
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y

a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' |
| OA |
cos
ห้องสมุดไป่ตู้

a
cos

a •sec,
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
所以M的轨迹方程是
a2 (sec2 tan 2 ) sin 2 4 cos2
a2 tan a2 b ab .
2
2a 2
由此可见, 平行四边形 MAOB 的面积恒为定值, 与点
M 在双曲线上的位置无关.
例3.设P是双曲线b2 x2 a2 y2 a2b2 (a 0,b 0)上任意一点, 过点P作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线相交 于点Q和R,求证: PQ PR a2 b2
2p
tan2
(为参数)
y 2p
tan
这就是抛物线(5) (不包括顶点)的参数方程
如果令t 1 , t (, 0) U(0, ),则有
tan
x {

2
pt
2
(t为参数)
y 2 pt
当t 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线
的顶点(0, 0)因此当t (, )时，参数方程就表
4
3、抛物线的参数方程
y
M(x,y)

o
x
设抛物线的普通方程为 y2 2 px...........(5)
因为点M 在的终边上，根据三角函数的
定义可得 y tan ..................................(6)
x
{ 由(5), (6)解出x, y，得到
x

先求圆心到双曲线上点的最小距离
OQ 2 sec2 (tan 2)2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1)2 3
当tan 1,即 或 5 时, OQ 3
44
min
PQ 3 1 min
例2.
如图, 设 M 为双曲线
点M 到两渐近线y x, 及y x的距离之积为
a sec a tan a sec a tan
D、 1 t1 t2
2、如图O是直角坐标原点，A, B是抛物线 y2 2 px( p 0)上异于顶点的两动点,且 OA OB, OM AB并于AB 相交于点M， 求点M的轨迹方程。
y
A M
o
x
B
探究： 在2中，点 A, B 在什么位置时，AOB的面积 最小？最小值是多少?
3、设M为抛物线 y2 2x 上的动点，给定点 M0 (1, 0)，点 P为线段 M0M 的中点，求点 P的轨迹方程。
程为 y b tan b (x a sec)
将
y

b
x
a
代入上式, 解得点A的
a
横坐标为
xA

a 2
(sec

tan )
同理, 得点B的横坐标为
xB

a 2
(sec

tan ).
设 AOx , 则 tan b ,
a
所以, MAOB 的面积为
S | OA | | OB | sin 2 xA xB sin 2 cos cos
x

y

a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得
x2 a2
-
y2 b2
=1,
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
1(a
0,b
0)的参数方程为：
y
a

A B' • M
x

y

a b
sec tan
(为参数)
o B A' x
示抛物线。参数t 表示抛物线上除顶点外的任意
一点与原点连线的斜率的倒数。
1、若曲线{x 2 pt2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
两点 M1，M 2 所对应的参数分别是 t1, t2 , 则弦
M1M 2 所在直线的斜率是 ( c )
A、t1 t2 B、t1 t2
C、 1 t1 t2
x2 a2

y2 b2
1(a,b 0) 上任意一点,
O为原点, 过点 M 作双曲线两渐近线的平行线, 分别与两
渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 的面积,
由此可以发现什么结论?
解: 双曲线的渐近线方程为 y b x . 不妨设M为双曲 a
线右支上一点, 其坐标为(a sec,b tan ) , 则直线MA的方
xP

a cos 1 sin
,
xQ

a cos 1 sin
所以 OP OQ xP xQ a2 为定值
3、证明：设等轴双曲线的普通方程为
x2 y2 a2 (a 0),则它的参数方程为
x {

a
sec
(为参数)
y a tan
设M (a sec, a tan )是双曲线上任意一点，则
(2 15, 0)
2、双曲线{x 3sec (为参数)的渐近线方程为_______ y tan y 1 x 3
例1、已知圆O : x2 ( y 2)2 1上一点P与双曲线 x2 y2 1上一点Q，求 P、Q 两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐标为Q(sec , tan )
1、解：因为2a 15565，2b 15443,所以
a 7782.5,b 7721.5,所求的椭圆的参数
方程为
x {

7782.5 cos
(为参数)
y 7721.5sin
2、证明：设M (a cos, b sin ), P(xp , 0), Q(xQ , 0)，
因为P、Q分别为B1M , B2M 与x轴的交点， 所以 KB1P KB1M , KB2Q KB2M 由斜率公式计算得