中考数学复习指导：解析完全平方公式

解析完全平方公式

完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．我在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型

错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应

用难于掌握。现我结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：

一、理解公式左右边特征

（一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真

实体会随意“创造”的不正确性；

（二）学会用文字概述公式的含义：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．

与都叫做完全平方公式．为了区别，我

们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．

（三）这两个公式的结构特征是：

1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加

上或减去这两项乘积的2倍；

2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方

项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）；

3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数

学式．

（四）两个公式的统一：

因为

所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

二、把握运用公式四步曲：

1、“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符

合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．

2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式．

3、“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理。

4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是

否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。

三、掌握运用公式常规四变

（一）、变符号：

例1：运用完全平方公式计算：

（1）（2）

分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法之一：把两式分别变形为

再用公式计算（反思得：）；方法二：把两式分别变形为：

后直接用公式计算；方法三：把两式

分别变形为：后直接用公式计

算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）；

（二）、变项数：

例2：计算：

分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算．

（三）、变结构

例3：运用公式计算：

（1）（x＋y）·（2x＋2y）；

（2）（a＋b）·（－a－b）；

（3）（a－b）·（b－a）

分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即

（1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?；

（2）（a＋b）·（－a－b）= －（a＋b）?；

（3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）?

（四）、简便运算

例4：计算：（1）9992 （2）100.12

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完

全平方公式计算。即：（1）。

四、学会公式运用中三拓展

1、公式的混用

例5：计算：（l）（x+y+z）（x+y-z）（2）（2x-y+3z）（y-3z-2x）

分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。故可考

虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式

等计算。即：（1）（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z] [（x+y）-z]=…

（2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x +（y-3z）]=…

2、公式的变形：

熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。

例6：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。求下列各式的值：

（1）a2+b2；（2）（a－b）2

分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解

决问题的途径。即：（1）a2＋b2=（a＋b）2－2ab=…

（2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=…

3、公式的逆用：