构造一线三直角,巧解几何综合题

时在帮助学生打好基础知识 的 前 提 下 ，引 导 他 们 探 寻 解 培养学生思维的广阔性 ．
题规律，通过触类旁通，寻 找 辅 助 线 的 身 影 ，提 升 学 生 的
辅助线在数学解题时起 到 非 常 好 的 桥 梁 作 用 ．我 们
数学思维能力和解题能力 ，这 样 当 学 生 再 遇 到 此 类 问 题 常说“学无定 法 ”，辅 助 线 的 添 加 也 是 如 此 ．同 一 道 数 学
角形）以及它们的性质和 判 定 的 应 用 ，综 合 性 较 强，有 一 考，达到知识的理解和触 类 旁 通 ．解 题 经 验 的 积 累，有 利
定的难度．但离不开我们证明 线 段 相 等 或 角 相 等 常 见 的 于学生掌握 好 数 学 解 题 方 法 ．一 旦 找 到 解 题 的 切 入 点 ，
时，就不会束手无策 ，而是能灵活和综合运用所学知识 ． 题，辅助线可能有不同的 添 加 策 略 ，到 底 选 择 哪 种，需 要
２．从解题积累中寻觅“线”路．通 过 添 加 不 同 的 辅 助 学 生 加 强 训 练，积 累 丰 富 的Βιβλιοθήκη Baidu数 学 经 验．让 学 生 体 验 数 学
线，可得出不同的解题方 法 ．辅 助 线 虽 千 变 万 化 ，但 并 非 的 思 考 方 法 和 探 寻 之 乐，这 样 在 以 后 遇 到 难 题 时，才 能
熟悉的题型．虽然教材中关于 全 等 三 角 形 证 明 的 习 题 较 维角度去寻 觅 解 题 的 途 径 ．通 过 对 图 形 的 观 察 与 分 析 ，
多，但 试 题 往 往 源 于 教 材 又 高 于 教 材，所 以 需 要 我 们 平 揣摩出编者 出 题 的 意 图 ，通 过 感 悟 出 题 的 角 度 和 方 向 ，
度．而辅助线方法是多样 的 ，需 要 我 们 总 结 规 律 ，掌 握 辅 成为学生取之不尽的源泉 ，对 他 们 核 心 素 养 的 培 育 起 到
助线添加的技巧 ，力求在解题中收到事半功倍的效果 ．
促进作用．
１．从基本图形中寻找“线”影．本 题 全 等 三 角 形 的 构
３．从 题 目 解 读 中 发 现 “线 ”迹 ．本 题 中 ∠ＡＰＣ＝６０°是
明理由．
【例１】 （２０１６ 年 玉 林 中 考 题 ）
y
如 图１，抛 物 线ｌ：ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ 与
Ｃ
ｘ 轴 交 于 Ａ、Ｂ（３，０）两 点 （Ａ 在 Ｂ
析与解： （１）ｙ＝ －ｘ２ ＋２ｘ＋３． （２）２≤ｈ≤４．
l Ｍ
yＰ
N
Q
Ｃ
的左侧），与ｙ 轴交于点Ｃ（０，３），已
（３）设 Ｐ（ｍ，－ｍ２ ＋２ ｍ ＋
无迹可寻．陶行知曾说：“接 知 如 接 枝．”我 们 要 重 视 学 生 得心应手．
图２
联的，相对于单纯的几何 问 题 其 难 度 更 大 ，题 目 更 复 杂． 点Ｐ 为 直 角 顶 点 的 等 腰 直 角 三
下面就以一道与抛物线有关 的 几 何 中 考 真 题 来 解 析 “一 角形？若能，求出符合条件的点 Ｐ 的 坐 标；若 不 能，请 说
线 三 直 角 ”解 题 方 法 ．
Ｂ
知对称轴为 ｘ＝１．
ＡＯ
Ｂx
３），Ｑ（－３，ｎ）．
-3 Ａ Ｏ
x
（１）求 抛 物 线ｌ的 解 析 式 ．
①当点 Ｐ 在ｘ 轴的上方 时，
（２）将抛物线ｌ向下平移ｈ 个
图１
如图３，过点 Ｐ 作ＰＭ ⊥ｙ 轴交
图３
櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄櫄
一 、真 题 重 现
单位长度，使 平 移 后 所 得 抛 物 线 x=-3 的 顶 点 落 在 △ＯＢＣ 内 （包 括
y
Ｐ
△ＯＢＣ 的 边 界 ），求 ｈ 的 取 值 范 Q
Ｃ
围．
Ｂ
（３）如 图 ２，设 点 是 Ｐ 抛 物 -3 Ａ Ｏ
x
线ｌ 上的任一点，点 Ｑ 在 直 线ｌ：
初中几何问 题 中 有 一 类 几 何 题 是 和 解 析 函 数 相 关 ｘ＝ －３ 上，△ＰＢＱ 能 否 成 为 以
数学·解题研究
构造“一线三直角”，巧解几何综合题
广 西 兴 业 县 龙 安 镇 第 二 初 级 中 学 （５３７８００） 黎 品 秋
［摘 要］一条直线上有一个直角三角形，再构造两个直角三角形，整 体 看 起 来 像 是 一 个 梯 形 ，然 后 利 用 相 似 或 是 全 等 三 角 形 的 特 征 就 可 以 轻 松 解 题 ，我 们 把 这 种 模 型 叫 作 “一 线 三 直 角 ”模 型 ．研 究 此 模 型 能 开 阔 学 生 视 野 ，提 高 学 生 解 题 能 力 ．
［关 键 词 ］初 中 数 学 ；一 线 三 直 角 ；全 等 三 角 形 ；相 似 三 角 形 ［中 图 分 类 号 ］ Ｇ６３３．６ ［文 献 标 识 码 ］ Ａ ［文 章 编 号 ］ １６７４－６０５８（２０１８）０８－００２７－０２
对于初中生来说 ，面对条 件 和 图 形 都 看 起 来 相 当 复 杂 的 几 何 综 合 题，他 们 往 往 无 从 下 手．因 此 我 们 需 要 针 对复杂的几何综合题总结出 一 套 模 型 ，为 学 生 提 供 解 题 思路，增强学生 的 自 信 心 ．而 构 造 “一 线 三 直 角 ”就 是 解 决几何综合题的一种常见而又非常好用的解题方法．
思 维 模 式，即 证 两 个 三 角 形 全 等．当 我 们 发 现 图 中 没 有 打 开 思 路，下 面 的 问 题 就 会 顺 利 解 决．若 将 所 学 辅 助 线
全 等 的 三 角 形 时，需 要 借 助 辅 助 线 来 解 决，降 低 证 明 难 的 方 法 加 以 整 理，形 成 一 个 完 整 的 知 识 方 法 系 统，就 会
造是证明线段或角相等的关 键 ，它 给 我 们 提 供 了 一 条 思 一 个 关 键 条 件．它 想 要 传 达 什 么 数 学 信 息，怎 样 将 这 个
维 途 径，我 们 可 从 题 目 中 抽 象 出 基 本 图 形，变 为 我 们 所 条件有效利用，找到最优 的 辅 助 线 ？ 需 要 我 们 从 不 同 思