一道典型的函数与数列求和综合题

一道典型的函数与数列求和综合题

已知函数()2x f x m t =⋅+的图像经过点(1,1),(2,3)A B 及(,)n C n S ，n S 为数列{}n a 的前n 项和.

（1）求n a 及n S ；

（2）若数列{}n c 满足6n n c na n =-，求数列{}n c 的前n 项和.n T 解：（1）将,A B 的坐标代入()f x ，得1234m t m t

=+⎧⎨=+⎩，解得11m t =⎧⎨=-⎩，()2 1.x f x ∴=- 将点C 的坐标代入()f x ，得2 1.n n S =-

当1n =时，111a S ==；

当2n ≥时，111(21)(21)2.n n n n n n a S S ---=-=---= 又当1n =时，11121a -==， 12.n n a -∴=

（2）由（1）知166232n n n n c na n n n n n -=-=⋅-=⋅-.

（注：此处用分组求和，2n n ⋅用错位相减法，n 用等差数列求和公式） 121123[1222(1)22](12)n n n n T c c c n n n -=+++=⨯+⨯++-⋅+⋅-+++L L L 令1211222(1)22n n A n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅L ，

则23121222(1)22n n A n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅L ， 两式相减得23112(12)122222212n n n n A n n ++--=⨯++++-⋅=-⋅-L 1(1)2 2.n A n +∴=-⋅+

11(1)(1)3[(1)22]3(1)2 6.22n n n n n n n T n n ++++∴=-⋅+-=-⋅-+