复变函数习题答案第3章习题详解
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证明：分两种情况：
1）如果 在 的外部， 和 在 内解析，故
2）如果 在 的内部，在 内解析的函数 ，其导函数 仍是 内的解析函数，根据柯西积分公式有：
由高阶导数公式有：
22．如果 和 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 ， ，那末 是 的解析函数。
证明： ，
，
又 和 都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即 ， 。
8．计算下列各题：
解：
1) ；
解：
2) ；
解：
3) ；
解：
4) ；
解：
5) （沿 到 的直线段）。
解：
9．计算下列积分：
1) ，（其中 ： 为正向）；
解：
2) ，（其中 ： 为正向）；
解：
3) ，（其中 ： 为正向， ： 为负向）；
解： 在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：
4) ， ： （其中 为以 ， 为顶点的正向菱形）；
第三章习题详解
1．沿下列路线计算积分 。
1)自原点至 的直线段；
解：连接自原点至 的直线段的参数方程为：
2)自原点沿实轴至 ，再由 铅直向上至 ；
解：连接自原点沿实轴至 的参数方程为：
连接自 铅直向上至 的参数方程为：
3)自原点沿虚轴至 ，再由 沿水平方向向右至 。
解：连接自原点沿虚轴至 的参数方程为：
解：
5．计算积分 的值，其中 为正向圆周：
1) ；
解：在 上，
解：在 上，
6．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？ 是正向的圆周 。
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
解： 在 内解析， 在 内，
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
和 满足拉普拉斯方程： ，
，
故 是 的解析函数。
解： 在 内解析， 在 内，
7．沿指定曲线的正向计算下列各积分：
1) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
2) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
3) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
4) ， ：
解： 不在 内， 在 解析，根据柯西—古萨定理：
5) ， ：
4）如果 在 的外部， 都在 的内部，则 在 内解析，由柯西积分公式有
15． 设 与 为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明
证明：因为 与 为两条互不包含，也不相交，故 与 只有相离的
位置关系，如图所所示。
1）当 在 内时， 在 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
2）当 在 内时， 在 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
16．设函数 在 内解析，且沿任何圆周 ： ， 的积分等于零，问 是否必需在 处解析？试举例说明之。
解：不一定。例如： 在 处不解析，但 。
17．设 与 在区域 内处处解析， 为 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于 。如果 在 上所有的点处成立，试证在 内所有的点处 也成立。
证明：设 是 内任意一点，因为 与 在 及 内解析，由柯西积分公式有：
连接自 沿水平方向向右至 的参数方程为：
2．分别沿 与 算出积分 的值。
解：
而
3．设 在单连通域 内处处解析， 为 内任何一条正向简单闭曲线。问 ， 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解：不成立。
例如： ， ，
4．利用在单位圆上 的性质，及柯西积分公式说明 ，其中 为正向单位圆周 。
解：在所给区域内， 有一孤立奇点，由柯西积分公式：
5) ，（其中 为 的任何复数， ： 为正向）。
解：当 ， 在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：
当 ， 在所给区域内解析，根据高阶导数公式：
10．证明：当 为任何不通过原点的简单闭曲线时， 。
证明：当 所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理： ；
14．设 为不经过 与 的正向简单闭曲线， 为不等于零的任何复数，试就 与 跟 的不同位置，计算积分 的值。
解：分四种情况讨论：
1）如果 与 都在 的外部，则 在 内解析，柯西—古萨基本定理有
2）如果 与 都在 的内部，由柯西积分公式有
3）如果 在 的内部， 都在 的外部，则 在 内解百度文库，由柯西积分公式有
解： 在 解析，根据柯西—古萨定理：
6) ， ：为包围 的闭曲线
解： 在 解析，根据柯西—古萨定理：
7) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
8) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
9) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据高阶导数公式：
10) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据高阶导数公式：
解：因为 在单连通域 内处处解析且不为零，又解析函数 的导数 仍然是解析函数，故 在 内处处解析。根据柯西—古萨基本定理，有
20．试说明柯西—古萨基本定理中的 为什么可以不是简单闭曲线？
解：如 不是简单闭曲线，将 分为几个简单闭曲线的和。如 ，则 ， 是简单闭曲线。
21．设 在区域 内解析， 为 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对 内但不在 上的任意一点 ，等式 成立。
证明：因为 在 内解析，故积分 与路径无关，取从原点沿实轴到 ，再从 沿圆周 到 的曲线作为 ，则：
13．设 和 为相交于 、 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 与 。 与 的公共部分为 。如果 在 与 内解析，在 、 上也解析，证明： 。
证明：如图所示， 在 与 内解析，在 、 上也解析，由柯西—古萨基本定理有：
当 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式： ；
11．下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？
解：1） ；2）
由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为 在复平面上处处不解析。
12．设区域 为右半平面， 为 内圆周 上的任意一点，用在 内的任意一条曲线 连接原点与 ，证明 。[提示：可取从原点沿实轴到 ，再从 沿圆周 到 的曲线作为 。
，
又 在 上所有的点处成立，故有：
即 在 内所有的点处成立。
18．设区域 是圆环域， 在 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 与 ， 包含 ， 为 ， 之间任一点，试证 仍成立，但 要换成 。
证明：
19．设 在单连通域 内处处解析，且不为零， 为 内任何一条简单闭曲线。问积分 是否等于零？为什么？
1）如果 在 的外部， 和 在 内解析，故
2）如果 在 的内部，在 内解析的函数 ，其导函数 仍是 内的解析函数，根据柯西积分公式有：
由高阶导数公式有：
22．如果 和 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 ， ，那末 是 的解析函数。
证明： ，
，
又 和 都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即 ， 。
8．计算下列各题：
解：
1) ；
解：
2) ；
解：
3) ；
解：
4) ；
解：
5) （沿 到 的直线段）。
解：
9．计算下列积分：
1) ，（其中 ： 为正向）；
解：
2) ，（其中 ： 为正向）；
解：
3) ，（其中 ： 为正向， ： 为负向）；
解： 在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：
4) ， ： （其中 为以 ， 为顶点的正向菱形）；
第三章习题详解
1．沿下列路线计算积分 。
1)自原点至 的直线段；
解：连接自原点至 的直线段的参数方程为：
2)自原点沿实轴至 ，再由 铅直向上至 ；
解：连接自原点沿实轴至 的参数方程为：
连接自 铅直向上至 的参数方程为：
3)自原点沿虚轴至 ，再由 沿水平方向向右至 。
解：连接自原点沿虚轴至 的参数方程为：
解：
5．计算积分 的值，其中 为正向圆周：
1) ；
解：在 上，
解：在 上，
6．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？ 是正向的圆周 。
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
解： 在 内解析， 在 内，
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
和 满足拉普拉斯方程： ，
，
故 是 的解析函数。
解： 在 内解析， 在 内，
7．沿指定曲线的正向计算下列各积分：
1) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
2) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
3) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
4) ， ：
解： 不在 内， 在 解析，根据柯西—古萨定理：
5) ， ：
4）如果 在 的外部， 都在 的内部，则 在 内解析，由柯西积分公式有
15． 设 与 为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明
证明：因为 与 为两条互不包含，也不相交，故 与 只有相离的
位置关系，如图所所示。
1）当 在 内时， 在 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
2）当 在 内时， 在 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
16．设函数 在 内解析，且沿任何圆周 ： ， 的积分等于零，问 是否必需在 处解析？试举例说明之。
解：不一定。例如： 在 处不解析，但 。
17．设 与 在区域 内处处解析， 为 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于 。如果 在 上所有的点处成立，试证在 内所有的点处 也成立。
证明：设 是 内任意一点，因为 与 在 及 内解析，由柯西积分公式有：
连接自 沿水平方向向右至 的参数方程为：
2．分别沿 与 算出积分 的值。
解：
而
3．设 在单连通域 内处处解析， 为 内任何一条正向简单闭曲线。问 ， 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解：不成立。
例如： ， ，
4．利用在单位圆上 的性质，及柯西积分公式说明 ，其中 为正向单位圆周 。
解：在所给区域内， 有一孤立奇点，由柯西积分公式：
5) ，（其中 为 的任何复数， ： 为正向）。
解：当 ， 在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：
当 ， 在所给区域内解析，根据高阶导数公式：
10．证明：当 为任何不通过原点的简单闭曲线时， 。
证明：当 所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理： ；
14．设 为不经过 与 的正向简单闭曲线， 为不等于零的任何复数，试就 与 跟 的不同位置，计算积分 的值。
解：分四种情况讨论：
1）如果 与 都在 的外部，则 在 内解析，柯西—古萨基本定理有
2）如果 与 都在 的内部，由柯西积分公式有
3）如果 在 的内部， 都在 的外部，则 在 内解百度文库，由柯西积分公式有
解： 在 解析，根据柯西—古萨定理：
6) ， ：为包围 的闭曲线
解： 在 解析，根据柯西—古萨定理：
7) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
8) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
9) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据高阶导数公式：
10) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据高阶导数公式：
解：因为 在单连通域 内处处解析且不为零，又解析函数 的导数 仍然是解析函数，故 在 内处处解析。根据柯西—古萨基本定理，有
20．试说明柯西—古萨基本定理中的 为什么可以不是简单闭曲线？
解：如 不是简单闭曲线，将 分为几个简单闭曲线的和。如 ，则 ， 是简单闭曲线。
21．设 在区域 内解析， 为 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对 内但不在 上的任意一点 ，等式 成立。
证明：因为 在 内解析，故积分 与路径无关，取从原点沿实轴到 ，再从 沿圆周 到 的曲线作为 ，则：
13．设 和 为相交于 、 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 与 。 与 的公共部分为 。如果 在 与 内解析，在 、 上也解析，证明： 。
证明：如图所示， 在 与 内解析，在 、 上也解析，由柯西—古萨基本定理有：
当 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式： ；
11．下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？
解：1） ；2）
由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为 在复平面上处处不解析。
12．设区域 为右半平面， 为 内圆周 上的任意一点，用在 内的任意一条曲线 连接原点与 ，证明 。[提示：可取从原点沿实轴到 ，再从 沿圆周 到 的曲线作为 。
，
又 在 上所有的点处成立，故有：
即 在 内所有的点处成立。
18．设区域 是圆环域， 在 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 与 ， 包含 ， 为 ， 之间任一点，试证 仍成立，但 要换成 。
证明：
19．设 在单连通域 内处处解析，且不为零， 为 内任何一条简单闭曲线。问积分 是否等于零？为什么？