带电球体电场与电势的分布

王峰
（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006）
在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -ϕ”的关系曲线图，供大家参考。

本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。

1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。

电场分布：
1.1.1内部（r <R ）：如图（1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点P 处，均有通过直径相似对称的两个带电球冠面1S 和2S ，当两条线夹角θ很小时，1S 和2S 可以近似看作两个带电圆面，且1S 和2S 两个面的尺寸相对它们距离P 点距离很小，这样1S 和2S 两个带电面就可以近似处理为点电荷，它们在P 点各自产生电场强度P E 1与P E 2，计算如下所示：设球体带电总量为Q ，且均匀分别在导体球外表面上
∵2
22
1212
14sin )sin (4R
Q K
r r R
Q
K E P θθππ=•=
2
222
2
2224sin )sin (4R
Q K
r r R Q
K
E P θθππ=•=
且P E 1与P E 2等大反向
∴0=P E ，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。

图（1）
1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds ，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场
dE 进行叠加，求出P 点的合场强P E 。

由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的
电场强度P E 的方向最终应该沿OP 连线的方向。

上述求电场强度P E 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds 和'
ds 所在球面上的带电圆环进行π20→的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的π→0的积分，最终求出带电球体在P 点的合场强P E 。

积分过程如下：如图（2）所示，设x AP r OP R OA ===，，，球表面电荷的面密度为
2
4R
Q πσ=
∵
θσcos 2
x
ds
K
E P =∆
取球面极坐标，则ψϕϕd R Rd ds sin •=，其中ϕ为沿直径方向的从π→0积分角，
ψ为带电圆环的从π20→的还积分。

θψ
ϕϕσππ
cos sin 2002
2⎰⎰=⎰⎰∆=x
d d R K
E E p P
由OAP ∆可知：ϕcos 222rR R r x -+=
ˊ
图（2）
又∵ϕ
ϕϕ
θcos 2cos cos cos 22rR R r R r x
R r -+-=-=
⎰
-+--=⎰⎰
-+-=∴π
ππϕϕϕσπϕϕ
ϕϕψσ0
2
3
22220
2
3
222)cos 2()
cos ()cos (2)cos 2(sin )cos (rR R r d R r R K rR R r d R r R d K E P
又∵r
rR R r R r r rR r R r 2cos 22cos 22cos 22222ϕ
ϕϕ-++-=-=-
()2
2
222222021220212222200
212
2232222222)(211122)
cos 2(12112121)cos 2(1
12312122)cos 2()cos (21)cos 2()cos (22r Q K
r R K R r R r R r R r R r R r R r R K rR R r rR r rR R r rR r R r R K rR R r d r rR R r d r R r R K E P =•=⎥⎦⎤--++⎢⎢⎣
⎡⎪
⎭⎫ ⎝⎛---+--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+•+-•+⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+•+-•-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰-+-•+-+-•-=∴σπσπϕϕσπϕϕϕϕσπππππ 2
r
Q K
E P =∴
由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度E ，与其上
电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。

∴ 2
r
Q K
E ＝外
当R r =时，有2
R
Q K
E =，所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在
R r =处电场强度的值有突变的情况。

1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度E 的大小随P 点到圆心O 的距离r 的关系图线。

电势分布：
1.2.1内部（r <R ）：
内部某点P 的电势P ϕ的大小可以由电场力做功和电势差关系来确定
n
n P A P n n P n n P A P r E r E r E r E U r E r E r E r E U q
r E q r E q r E q r E W q
U W ∆++∆+∆+∆=-∴-=∆++∆+∆+∆=∴∆++∆+∆+∆==∞∞
∞∞∞∞∞ 332211332211332211ϕϕϕϕ又又 由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场强度从该点到无穷远的定积分。

即：
R Q
K
r Q K dr r
Q K dr
r Q
K dr Edr R R P R R r r P =-=⎰=∴⎰+⎰=⎰=∞
∞
∞
∞22
0ϕϕ
由上述答案可知，均匀带电金属球在稳定时，其球外任一点的电势等于把全部电荷看
作集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同；在球体内任一点的电势应与球面上的电势相等，故均匀带电金属球面及其内部是一个等势体。

1.2.2外部（r >R ）：由上述电势理论同样可得：
图（3）
r
Q
K r Q K
dr
r Q
K Edr r r r =-=∴⎰=⎰=∞
∞
∞ϕϕ2
当R r =时，有R
Q
K
=ϕ，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的。

1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电势ϕ的大小随P 点到圆心O 的距离r 的关系图线。

2、 带电的绝缘体球：这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位，即电荷的体密度处处相同。

电场的分布：
2.1.1内部（r <R ）：如图（5）所示，在此带电球体内部距离圆心r 处的电场强度P E 等于以O 为圆心、r 为半径的带电球体在此处产生的电场1E 和以O 为圆心从r 到R 的带电球壳在此处产生的电场2E 的叠加；又已知带电球壳在内部产生的电场强度处处为零（即02=E ），所以P 点处的电场强度就等于以r 为半径的带电球体产生电场1E 。

图（4）
图（5）
r R
KQ r r R
Q
K r q K E E P ⋅=•==∴323
3213434ππ＝ （R r ≤≤0） 所以，带电绝缘体内部的电场强度E 的大小与P 点距球心的半径r 成正比。

2.1.2外部（r >R ）：和带电导体球（或球壳）一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在该处产生的电场。

2
r
Q K
E ＝外∴ （R r ≥）
当R r =时，有电场强度的最大值2
max R
Q K
E =，所以，带电绝缘体球的内、外部
的电场强度是连续分布的；在R r =处，电场强度最大。

2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电场强度E 的大小随P 点到圆心O 的距离r
电势的分布：
2.2.1内部（r <R ）：由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场场强从该点到无穷远的积分。

即：
2
3
223232
3223)(2)(2r
R KQ R KQ R Q
K r R R KQ r Q K r R KQ dr
r
Q
K rdr R Q
K
Edr P R R
r
P R R
r r
P -=∴+-=-+=∴⎰+⎰=⎰=∞
∞
∞ϕϕϕ
图（6）
2.2.2外部（r >R ）：由上述电势理论同样可得：
r
Q
K r Q K
dr
r Q
K Edr r r r =-=∴⎰=⎰=∞
∞
∞ϕϕ2
当0=r 时，即在球体的圆心处电势最高，有R
KQ
O 23=ϕ 当R r =，即在此球壳处处电势为R
KQ
R 2=
ϕ 所以带电绝缘体球的内、外电势的分布曲线是连续的。

2.2.3图景：如图（7）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电势ϕ的大小随P 点到圆心O 的距离r 的关系图线。

本文运用数学的积分思想对电场、电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角度认识物理过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生的物理形象思维和抽象思维。

但高三学生复习本节知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对电场、电势推导的结论、图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在选择题中时间的目的。

参考书目：1、赵凯华、陈熙谋《电磁学》1985年6月第二版 高等教育出版社
2、普通高中课程标准实验教材《物理3－1》 2004年5月第一版 人民教育出
版社
图（7）
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通讯地址：南通市濠景园14幢102室王峰 226006个人简介：王峰男 72年生南通市启秀中学高中物理教师中学一级
2006年就读南京师范大学物理科学与技术学院教育硕士研究生。