《实数》题型分类归纳

2 10 （3） 27
（4）0.001
（5）0 （6）2
（7）
-6 3
类型二：化简求值 例1、 求下列各式的值。
（1） 22 =
- 169 （2） 256 =
（3） 0.0196 =
（4） - 252 - 242 = （5） - 3 - 27 = 例 2、求下列各式的值
（1） 25 - 42 （- 2）2
类型七： 的根指数是 2，指数 2 常常省略不写。 3 的根指数是 3，指数 3 不可省略。
例 1、若 2b1 5和3 a -1 都是 5 的平方根，则 a ____,b ____ 。 例 2 、 已 知 A mn m n 3 是 m n 3 的 算 术 平 方 根 ， B m2n2 m 2n 是 m 2n的立方根，求 B A的立方根。
a0
b
2
类型八、平方运算与开平方运算互为逆运算； a a(a 0)
立方运算与开立方运算互为逆运算。 3 a 3 a
例1、 若 x 2 2 ，求 2x 5 的算术平方根。
a0
a 0 双重非负性
3 - a 3 a
a2 a
2 a a(a 0)
被开方数的小数点向 右（左）每移动两 位，算术平方根的小 数点向右（左）移动 一位。 类型一：求值 例 1、求下列各数的算术平方根。
3 a3 a
3 a 3 a
被开方数小数点向 右（左）每移动三 位，立方根的小数 点向右（左）移动 一位。
B、若 3 a 3 b ，则 a b
C、若 3 a3 3 b3 ，则 a b
D、若 a2 b2 ，则 a b
例 2、如图实数 a 、 b 对应数轴上的点 A 和点 B ,化简：
a2 b2 (a b)2 (a b)2
a（a＞0）， 提示：|a|＝0（a＝0），
－a（a＜0）.
A
B
类型八、估值。 例1、 已知 m, n 为两个连续的整数，且 m 11 n 则 m n=_______。
例2、 已知 x, y 为两个连续的整数，且 x 5 1 y ，则 x y =_______。
例 3、估计 68 的立方根的大小在（ ）
A、2 与 3 之间
B、3 与 4 之间 C、4 与 5 之间
《实数》知识点比较：
定义
a 的范围
表示
算术平方根
平方根
立方根
若 正 数 x ，若 数 x ，若 数 x ，
x2 a ，正数 x 叫 x2 a ，数 x 叫 x3 a ，数 x 叫 做 a 的算术平方根， 做 a 的 平 方 根 ， 做 a 的 立 方 根 ，
x a。 a 0
x a a 0
x3 a。
a 是任意数
a (根号 a )
正数有一个算术平方
a ( 正 负 根 号 3 a (三次根号 a ) a)
正数有两个平方 正数有一个立方
根，是正数
根，它们互为相反 根，是正数
数
0 的算术平方根是 0 0 的平方根是 0
0 的立方根是 0
负数没有算术平方根 负数没有平方根 负数有一个立方
根，是负数
性质
（6） 3 729 3 512 = （2） 0.0001 104 （- 6）2 0.22
a 0
类型三：算术平方根的双重非负性
a
0
一、 被开方数的非负性 a 0
例 1、下列各式中，有意义的有哪些？
1 2 - 6 - 6 (6)2 - 6 a a2 a
例 2、若下列各式有意义，在后面横线上写出 x 的取值范围。
（1） x _________
（2） 5 - x __________
例 3、若 x 、 y 都是实数，且 y x 3 3 x 8 ，求 x 3y 的立方根。
二、 算术平方根的非负性 a 0
例 4、（1） a 1 2 的最小值是______,此时 a 的取值是______。 2/7
（2）2- a 1 的最大值是______,此时 a 的取值是______。 例 5、若 2x 1 y 3 0 ，求 （x y）2 的值。
（1）100
49
9
（2） 64
1 （3） 16
（4）0.0025 （5）0
（6）2
（7） - 62
例 2、求下列各数的平方根。
（1）100
49 （2） 64
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ （3） 16
（4）0.0025 （5）0 （6）2 （7） - 6 2
1/7
例 3、求下列各数的立方根。
8
（1）1000 （2） 27
例 6、已知 2(x 2)2 3 3y2 27 0，求（x y）2 的平方根。
类型四、 算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点 向右（左）移动一位。 立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左） 移动一位。 例1、 观察：已知 5.217 2.284，521 .7 22.84 填空： 0.05217 ______ 52170 ______ 例2、 令 2.36 1.536，23.6 4.858 则 ① 236 _______; 0.00236 ________ ②若 x 04858 , x __________ ③若 a 106 1536 ，求 a 的值。 例 3、若 15 a, 3 37 b ，则 0.15 ____,3 37000 ____ 。 类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。 例1、 一个非负数的两个平方根是 2a 1 和 a - 5 ，这个非负数是多少？
例2、 已知一个数的两个平方根分别是 3a 1和 a 11，求这个数的立方根
类型六、解方程。 3/7
例 1、求下列各式中的 x 的值：
（1） x 2 =196；
（2） 5x 2 10 0 ； （3） 3（6 x 3）2 25 0 。
（4） x3 64
（5） 8x3 125 0 （6） (x 3)3 27 0
D、5 与 6 之间
例 4、若 5 的整数部分是 a ，小数部分是 b ，则 a(b 5) 的值是多少？
例 5、若 9 13 与 9 - 13 的小数部分分别是 a 与 b ，试求 4a 3b
类型九：
a2 a ，
2
a a(a 0) ；
4/7
3 a3 a ， 3 a 3 a
例 1、下列判断错误的是( ) A、若 a b ，则 a b