第六讲 微分方程模型(人口模型.传染病模型.战争模型)

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这个模型称为Logistic模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。
图：
N
Nm
N0
0
t
三、建模实例
2.传染病模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论

问题提出
本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制．然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象， 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）感染上疾病的人数与哪些因素有关 （2）如何预报传染病高潮的到来．
模型的建立
假设2、3得：
di N k Ns(t )i (t ) Ni(t ) dt i (0) i0
将假设1代入，可得模型：
di k i(1 i ) i dt i (0) i0
模型的解：
k k 1 ( k )t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (k t 1 ) 1 k i0
模型的建立
di dt k si i ds k si dt i (0) i0 s (0) s0
i ( t )与s ( t )无解释解。从相轨线定性分析
相轨线
s i ( s0 i0 ) s ln s0 1
相轨线（s，i）
二、建模步骤
1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如 “速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经 济学中)等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t时，因变量的增 量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令 △t →0，即得到 dw 的表达式．
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论

1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
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这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的 人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它 与19世纪的人口资料比较时，却发现了相当大的 差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代 的人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法 国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。
2.5 模型修改
分析表明，以上这些现象的主要原因是随着 人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口 增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口 的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一 定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而 减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长 率是常数的基本假设进行修改。
模型四
某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免 疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。 模型假设： （1）人群分为健康者、病人、病愈免疫者三类， 这三类人在总人数中所占的比例分别为s(t)， i(t)，r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)＝1。 （2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时 健康者人数成正比，比例系数为k （3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比，比例系数为μ
阈值σ=k/μ的意义
一个病人在平均传染期内传染的人数与当时
健康的人数成正比，比例源自文库数为σ
1 1 1 lim i(t ) i 0 1
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终 趋于零。 （2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
t
t 0
dt
例子分析
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
单位匹配
有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位
的匹配，利用
例子分析
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
建立表达式
三、建模实例
模型一
模型假设：
（1）一人得病后，久治不愈，人在传染
期内不会死亡。
（2）单位时间内每个病人传染人数为常
数k。 为什么假设不会死亡？ （因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统）
模型建立：
I（t）——表示t时刻病人的数量，时间：天 则：I（t+Δt）—I（ t）＝k0I（t） Δ t 于是模型如下：
认识人口数量的变化规律，建立人口模型， 作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前 提，下面介绍两个最基本的人口模型。
2. 模型1 (Malthus模型) 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的 人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中， 净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率） 是常数。
模型二
设t时刻健康人数为S(t)．
模型假设： （1）总人数为n，I(t)十S(t)＝n
（2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不
会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为k（称之为 传染系数）
模型改进
dI .I ( k S(t ) t ) dt I (0) I 0
图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向
相轨线分析结果
1、不论初始条件s0、i0如何．病人终将消失。
2、最终未被感染的健康者的比例是s∞，图中
可看出是在(0，1/ σ)内的单根。
3、若s0 >1/ σ，则i(t)先增加，当s＝1/ σ时，i(t)达到
最大。
4、若s0 ≤1/ σ ，则i(t)单调减小至零
dt
一、建模步骤
3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位． 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确
定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
关于建模步骤的一个例子
例1：某人的食量是10467焦／天，其中5038焦／ 天用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在 健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦／ 公斤•天乘以他的体重 (公斤)． 假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效， 而1公斤脂肪合热量41868焦。试研究此人的体重 随时间变 化的规律．
阈值1/σ的意义
1、减小传染期接触数σ ，即提高阈值l/ σ ，使得
s0 ≤1/ σ(即σ ≤1/ s0)，传染病就不会蔓延。
年 1625 1830 1930 10 20 1960 30 1974 40 1987 1999 50 60
人口（亿）5
可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百 年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带 着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。 只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶 化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系， 人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问 题。
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
对模型作进一步分析
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
n ln( 1) 疾病的传染高峰期 2 I0 d I 此时 计算高峰期得： t0 0 2 dt kn 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等 学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的 放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程． 2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的 规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需 根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设， 在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律， 然后利用适当的数学方法得出微分方程。
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
微分方程模型
引言
在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变
量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率 的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的 微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微 分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口 问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。
一、建立微分方程的方法
例子分析
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)． 2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化／天=净吸收量／天一WPE／天 其中： 净吸收量／天＝10467 – 5038 ＝5429（焦／天) 净输出量／天＝69(焦／公斤· 天)×W／(公斤 ＝69W(焦／天) dw w (公斤／天) 3、体重的变化／天＝
dI k0 I (t ) dt I ( 0) I 0
模型的解：
I (t ) I 0 e k0t
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律