椭圆、双曲线中焦点三角形的面积
焦点三角形面积公式证明过程
焦点三角形面积公式证明过程
我们要证明的焦点三角形面积公式是：
设F1, F2为双曲线的两个焦点，P为双曲线上任意一点，则三角形PF1F2的面积是：
S = b²tan(θ/2)
其中，b是双曲线的实半轴长度，θ是角F1PF2的大小。
第一步，由题意可知，tan(θ/2) = |sin(θ)/(1 + cos(θ))|。
第二步，由于点P在双曲线上，根据双曲线的定义，我们有|PF1| - |PF2| = 2a。
又由于点P、F1、F2在同一直线上，有|PF1| + |PF2| = 2n（n为以F1和F2为焦点的椭圆的半长轴）。
根据已知，我们有c² = a² + b²，以及椭圆的基本性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴。
第三步，根据三角形的面积公式，三角形的面积等于底乘高的一半。
在这里，底是F1F2，高是从P到F1F2的垂线。
我们可以用焦距c和tan(θ/2)来表示这个高。
根据三角函数的性质，我们有sin(θ) = 2tan(θ/2)/(1 + tan²(θ/2))。
第四步，将tan(θ/2) = |sin(θ)/(1 + cos(θ))|代入上式，我们得到：
S = (1/2)c×b×|sin(θ)/(1 + cos(θ))| = (1/2)c×b×|2tan(θ/2)/(1 + tan²(θ/2))| = b²tan(θ/2)。
所以，我们证明了焦点三角形的面积公式是：S = b²tan(θ/2)。
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。
在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。
让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。
双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。
它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。
现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。
在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。
我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。
我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。
现在，我们要计算这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。
通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。
然而，这只是一个简单的推导过程。
如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。
我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。
在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。
椭圆中焦点三角形面积公式
2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。
微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用
微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F 1，F 2且∠F 1PF 2＝θ， 则椭圆中12PF F S △＝b 2·tan θ2，双曲线中12PF F S △＝b 2tan θ2.例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率为e ＝12，点P 为该椭圆上一点，且满足∠F 1PF 2＝π3，已知△F 1PF 2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 D解析 由e ＝12，得c a ＝12，即a ＝2c .①设△F 1PF 2的内切圆的半径为r ， 因为△F 1PF 2的内切圆的面积为3π， 所以πr 2＝3π，解得r ＝3(舍负)，在△F 1PF 2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知12F PF S △＝b 2tan ∠F 1PF 22＝12r (2a ＋2c )，即33b 2＝3(a ＋c )，② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③得c ＝3，a ＝6，b ＝33， 所以该椭圆的长轴长为2a ＝2×6＝12. 易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义．(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．跟踪演练1 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3.又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°， 即b 22＝b 21＝1.所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62. 考点二 焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l 过焦点F 与椭圆相交于A ，B 两点，则1|AF |＋1|BF |＝2ab 2，同理，双曲线中，1|AF |＋1|BF |＝2ab 2.例2 已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点．若AF 2--→＝2F 2B --→，|AB |＝|F 1B |，则双曲线C 的方程为________． 答案 x 23－y 24＝1解析 如图，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ，∴|AB |＝3t ，|F 1B |＝3t ， 又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴12t ＋1t ＝2a b 2， 即32t ＝2a b2， 又|F 1B |－|F 2B |＝2a ，∴3t －t ＝2a ，∴2t ＝2a ，∴t ＝a ， ∴32a ＝2ab 2，即3b 2＝4a 2， 又c ＝7，∴a 2＋b 2＝7， 解得b 2＝4，a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 24＝1.易错提醒 公式的前提是直线AB 过焦点F ，焦点F 不在直线AB 上时，公式不成立． 跟踪演练2 已知椭圆C ：x 216＋y 24＝1，过右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF 2|＝2，则|AB |＝______，cos ∠F 1AB ＝________. 答案 83 －13解析 由椭圆方程知a ＝4，b ＝2，|AF 2|＝2，又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， 即12＋1|BF 2|＝84， 解得|BF 2|＝23，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝83，由椭圆定义知|AF 1|＝8－2＝6，|BF 1|＝8－23＝223，在△AF 1B 中，由余弦定理，得 cos ∠F 1AB ＝62＋⎝⎛⎭⎫832－⎝⎛⎭⎫22322×6×83＝－13.考点三 周角定理核心提炼周角定理：已知点P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A ，B 为长轴(或实轴)端点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.例3 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右两个顶点为A ，B ，点M 1，M 2，…，M 5是AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为k (k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10，这10条直线的斜率乘积为( ) A ．－116B ．－132C.164D.11 024答案 B解析 由椭圆的性质可得11·AP BP k k＝22·AP BP k k ＝－b 2a2＝－12.由椭圆的对称性可得11010111012·.BP AP BP AP AP AP k k k k k k =-＝，＝，同理可得293847561····=.2AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k -＝＝＝∴直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为⎝⎛⎭⎫－125＝－132. 规律方法 周角定理的推广：A ，B 两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P 为椭圆(双曲线)上异于A ，B 的任一点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.跟踪演练3 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 2与该椭圆交于A ，M 两点，若∠F 1AF 2＝90°，则直线BM 的斜率为( ) A.13 B.12 C ．－1 D ．－12 答案 B解析 ∵∠F 1AF 2＝90°，∴△F 1AF 2为等腰直角三角形，∴b ＝c ， ∴a 2＝2b 2＝2c 2， ∴b 2a 2＝12， 且∠AF 2O ＝45°，∴k MA ＝－1， 又k MA ·k MB ＝－b 2a 2＝－12，∴k MB ＝12.考点四 过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2＋y 0y b 2＝1，双曲线中x 0x a 2－y 0y b2＝1.例4 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1.如图，设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝R 2(1<R <2)相切于点A ，与椭圆C 相切于点B ，则|AB |的最大值为________．答案 1解析 连接OA ，OB ，如图所示．设B (x 0，y 0)，所以过点B 与椭圆相切的直线方程为x 0x4＋y 0y ＝1，即x 0x ＋4y 0y －4＝0， 又R 2＝|OA |2＝16x 20＋16y 20， R 为圆半径，R ∈(1,2)，|AB |2＝|OB |2－R 2＝x 20＋y 20－16x 20＋16y 20， 又x 24＋y 20＝1， 所以x 20＝4－4y 20， 所以|AB |2＝4－3y 20－43y 20＋1＝5－(3y 20＋1)－43y 20＋1≤5－24＝1， 当且仅当3y 20＋1＝43y 20＋1， 即y 20＝13，x 20＝83时，等号成立， 所以|AB |max ＝1， 此时R 2＝16x 20＋16y 20＝2， 即R ＝2∈(1,2)， 故当R ＝2时，|AB |max ＝1.规律方法 (1)该切线方程的前提是点P 在圆锥曲线上．(2)类比可得过圆(x －a )2＋(y －b )2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )·(y －b )＝1.跟踪演练4 已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C 的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 D解析 由已知可得F (1,0)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y2＝1，x 2x 3＋y 2y2＝1， 因为切线AM ，AN 过点A (3，t )， 所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty2＝1，因为F (1,0)， 所以1＋t ×02＝1，所以点F (1,0)在直线MN 上， 所以M ，N ，F 三点共线， 所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.专题强化练1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，且斜率之积为25，则双曲线C 的离心率为( )A.295B.303C.355D.305答案 C解析 设P (x 0，y 0)，由于双曲线C 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为xx 0a 2－yy 0b 2＝1，故切线l 的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0，因为k ·k OP ＝25，则b 2x 0a 2y 0·y 0x 0＝25，则b 2a 2＝25， 即双曲线C 的离心率e ＝1＋25＝355. 2．(2022·保定模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与C 交于M ，N 两点，且四边形MF 1NF 2的面积为8a 2.若点M 关于点F 2的对称点为M ′，且|M ′N |＝|MN |，则C 的离心率是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5 答案 B解析 如图，由对称性知MN 与F 1F 2互相平分，∴四边形MF 2NF 1为平行四边形， ∵F 2为MM ′的中点，且|MN |＝|M ′N |， ∴NF 2⊥MF 2，∴四边形MF 2NF 1为矩形， ∴1224NF F S a △＝，又12NF F S △＝b 2tan π4＝4a 2，即b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，即c 2＝5a 2，即e ＝ca＝ 5.3．椭圆C ：x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 2--→＝2F 2B --→，则△AF 1B 的外接圆面积为( ) A.5π2 B ．4π C ．9π D.25π4答案 D解析 如图，a ＝3，b ＝2，c ＝5，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ， ∵1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴1t ＋12t ＝32⇒t ＝1， ∴|BF 2|＝1，|AF 2|＝2，由椭圆定义知|BF 1|＝5，|AF 1|＝4，∴△ABF 1中，|AB |＝3，|AF 1|＝4，|BF 1|＝5， ∴AF 1⊥AB ，∴△ABF 1外接圆半径R ＝|BF 1|2＝52，其面积为25π4.4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点O 的直线交C 于A ，B两点(点B 在右支上)，双曲线右支上一点P (异于点B )满足BA →·BP →＝0，直线P A 交x 轴于点D ，若∠ADO ＝∠AOD ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 答案 A 解析 如图，∵BA →·BP →＝0，∴BA ⊥BP ，令k AB ＝k ， ∵∠ADO ＝∠AOD ， ∴k AP ＝－k AB ＝－k ， 又BA ⊥BP ，∴k PB ＝－1k ，依题意知k PB ·k P A ＝b 2a 2，∴－1k ·(－k )＝b 2a 2，∴b 2a2＝1，即e ＝ 2. 5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是C 上异于A 1，A 2的一点，则下列结论正确的是( )A ．若C 的离心率为12，则直线P A 1与P A 2的斜率之积为－43B ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为b 2C ．若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22 D ．若|PF 1|≤2b 恒成立，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，35 答案 BD解析 设P (x 0，y 0)，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝43b 2，∴12·PA PA k k ＝－b 2a 2＝－34， ∴选项A 错误；若PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2，∴选项B 正确；若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，即C 上存在四个点P 使得△PF 1F 2的面积为b 2， ∴12·2c ·b >b 2，∴c >b ，∴c 2>a 2－c 2， ∴e ∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴选项C 错误；若|PF 1|≤2b 恒成立，∴a ＋c ≤2b ， ∴a 2＋c 2＋2ac ≤4b 2＝4(a 2－c 2)， ∴5e 2＋2e －3≤0，∴0<e ≤35，∴选项D 正确．6．(多选)(2022·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为双曲线的左支上一点，且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的离心率为2B ．若PF 1⊥PF 2，且12PF F S △＝3，则a ＝2C ．以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1 答案 ACD解析 对于A ，设P (x ，y )，则y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1，因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，所以12·PA PA k k ＝b 2a 2＝3， 得e ＝1＋b 2a2＝2，故A 正确； 对于B ，因为c a＝2， 所以c ＝2a ，根据双曲线的定义可得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，又因为PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2＝3， 又b 2a2＝3，所以a ＝1，故B 错误； 对于C ，设PF 1的中点为O 1，O 为原点．因为OO 1为△PF 1F 2的中位线，所以|OO 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ， 则可知以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切，故C 正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，则x 0<－a ，y 0>0.因为e ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，则渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∠PF 1A 2∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 又tan ∠PF 1A 2＝y 0x 0＋c ＝y 0x 0＋2a， tan ∠P A 2F 1＝－y 0x 0－a， 所以tan 2∠P A 2F 1＝－2y 0x 0－a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0－a 2 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－y 20 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3(x 20－a 2) ＝y 0x 0＋2a ＝tan ∠PF 1A 2， 因为2∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 所以∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1，故D 正确． 7．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为－13，则椭圆的离心率e ＝________. 答案 32解析 如图，设MN 的中点为Q ，∴y Q ＝－13， ∴x Q ＝y Q －1＝－43， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，－13，∴k OQ ＝14， M ，N 关于直线l 对称，∴MN ⊥l ，∴k MN ＝－1，由点差法可得k MN ＝－b 2a 2·x Q y Q， 又k OQ ＝y Q x Q， ∴k OQ ·k MN ＝－b 2a2， ∴14×(－1)＝－b 2a 2，∴b 2a 2＝14， 即a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，即3a 2＝4c 2，∴e ＝32. 8.(2022·成都模拟)经过椭圆x 22＋y 2＝1中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在第一象限)，过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ，则cos ∠NMP 的值是________．答案 0解析 设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，P (x 0，y 0)，则N (－x 1，－y 1)，E (x 1，0)，所以k MN ＝y 1x 1，k PN ＝k EN ＝y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 12x 1， k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0， k PN ×k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 21－y 20x 21－x 20＝－12， 所以k PN ＝－12k PM ＝y 12x 1， 所以k PM ＝－x 1y 1. 所以k MN ×k PM ＝y 1x 1×⎝⎛⎭⎫－x 1y 1＝－1， 所以MN ⊥MP ，所以cos ∠NMP ＝cos π2＝0.。
椭圆、双曲线焦点三角形面积公式及其应用
椭圆、双曲线焦点三角形面积公式及其应用
刘志勇; 方志平
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2009(000)011
【摘要】在高考中涉及到椭圆、双曲线的焦点三角形问题很多，在这些问题中有一类与面积有关，如果我们能合理而又灵活地运用椭圆、双曲线的焦点三角形的面积公式，在解决一类有关问题时，可避免冗长的推理和运算，大大降低难度，使解题过程简捷而明了．
【总页数】3页(P32-34)
【作者】刘志勇; 方志平
【作者单位】广东省惠州市第一中学 516007
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式及应用 [J], 张扩社
2.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式——解决客观题的法宝 [J], 董晖
3.椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式--解决客观题的法宝 [J], 董晖;
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5.椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用 [J], 吴爱龙;黄园军;徐招平
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椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2222122212212222121PF PF PF PF F F c b a aPF PF cF F ⇒)cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=bc a PF PF ）)2tan()2(cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221αb S F PF =∆．二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF cF F ⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ）12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF 即1-2)2tan(21αb S F PF =∆．。
有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用
圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。
双曲线上的点与焦点围成的三角形面积
双曲线上的点与焦点围成的三角形面积双曲线是一个非常特殊的数学曲线，它与椭圆、抛物线、圆等曲线有着不同的性质和特点。
双曲线由两个分离的支撑形成，这两个支撑与双曲线上的所有点的距离之和相等。
这两个支撑点被称为焦点，它们在双曲线上具有很重要的作用。
在本文中，我们将探讨双曲线上的点与焦点围成的三角形面积。
这个问题涉及到一些高等数学知识，如双曲线的方程和曲线积分，但我们将尽量用简单的语言和例子来解释它。
首先，我们来看一下什么是双曲线。
双曲线可以用下面的方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$是双曲线的参数，控制曲线的形状。
双曲线有两个支撑，它们在$x$轴上分别位于$(-c,0)$和$(c,0)$处，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$是焦点之间的距离。
现在假设我们有一个双曲线上的点$P$，它与左侧焦点$F_1$和右侧焦点$F_2$的距离分别为$d_1$和$d_2$。
我们要计算的是点$P$、焦点$F_1$和焦点$F_2$围成的三角形面积$S$。
为了计算这个面积，我们可以使用曲线积分的方法。
具体地说，我们需要计算曲线$C$沿着点$P$到焦点$F_1$的路径的积分，再减去曲线$C$沿着点$P$到焦点$F_2$的路径的积分，即：$$S=\int_{C_1}ydx-\int_{C_2}ydx$$首先考虑曲线$C_1$，它可以表示为：我们可以进行一些代数变换，使得这个积分变为一个和已知函数有关的积分。
具体地说，我们令$x=a\cosh{u}$，得到：$$\int_{C_1}ydx=\int_{\cosh^{-1}{\frac{d_1}{a}}}^0b\sqrt{\cosh^2{u}-1}\sinh{u}du$$这个积分可以用三角代换来求解，最终结果为：进行同样的变换，令$x=a\cosh{u}$，得到：将这两个积分相减，得到：$$S=\frac{1}{2}ab\left(\ln{\frac{a+d_1}{b}}-\ln{\frac{a+d_2}{b}}-\frac{d_1}{a} \sqrt{1+\frac{d_1^2}{a^2}}+\frac{d_2}{a}\sqrt{1+\frac{d_2^2}{a^2}}\right)$$这个式子可以进一步化简，变成：这就是我们要求解的双曲线上的点与焦点围成的三角形面积的公式。
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
高中数学之圆锥曲线之焦点三角形面积知识点
什么是焦点三角形？
定义：
椭圆（双曲线）上任意一点与两个焦点所组成的三角形叫做焦点三角形，它是由焦距和焦半径构成的特别的三角形。
其中焦点三角形的面积也是一个非常重要的几何量。
怎么求焦点三角形的面积呢？先看一道例题
公式推导：
同样的方法可以也可以证明得到双曲线的焦点三角形面积公式。
公式如下：
接下来在给出关于焦点三角形顶角的一个结论：
这个结论可以借助焦点三角形面积公式的推导过程来继续说明：
实战演练：。
焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。
由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。
双曲线焦点三角形面积公式推导
双曲线焦点三角形面积公式推导要推导出双曲线焦点三角形的面积公式，我们首先需要了解双曲线以及焦点的相关性质。
双曲线是平面上的一个曲线，其定义可以写为：对于给定的两个焦点F1和F2，对于平面上的任意一点P，其到两个焦点的距离之差的绝对值等于一个常数的比值，即，PF1-PF2，=e，其中e为双曲线的离心率。
那么，我们可以设双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1，其中a和b为双曲线的两个参数。
现在我们考虑一个焦点三角形，即一个三角形的三个顶点分别为两个焦点和双曲线上的一点。
我们需要推导出这个三角形的面积公式。
我们可以选择双曲线的顶点为原点O，焦点F1为(0,c)，焦点F2为(0,-c)，其中c为距离顶点O的焦点到原点的距离。
双曲线上的一点P的坐标可以表示为(x,y)。
由焦点的定义可知，我们可以得到以下两个方程：1.PF1-PF2=e即(√(x^2+(y-c)^2))-(√(x^2+(y+c)^2))=e2.双曲线方程(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1通过这两个方程，我们可以解得x和y的值。
首先，将第一个方程平方，得到：(x^2+(y-c)^2)-2√((x^2+(y-c)^2)(x^2+(y+c)^2))+(x^2+(y+c)^2)=e^2我们将√((x^2+(y-c)^2)(x^2+(y+c)^2))看作一个新的变量t，则方程变为：(x^2+(y-c)^2)+(x^2+(y+c)^2)-2t=e^22x^2+2y^2+2c^2-2t=e^2x^2+y^2+c^2-t=e^2/2由双曲线方程可得：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1b^2(x^2/a^2)-a^2(y^2/b^2)=b^2将此方程乘以c^2，得到：c^2(x^2/a^2)-c^2(y^2/b^2)=c^2b^2将c^2b^2-c^2(y^2/b^2)代入前一个方程中，得到：c^2(x^2/a^2)+c^2b^2-c^2(y^2/b^2)-t=e^2/2c^2(x^2/a^2)+c^2b^2-t=e^2/2将t替换为c^2(x^2/a^2)+c^2b^2-e^2/2，我们得到：c^2(x^2/a^2)+c^2b^2-c^2(x^2/a^2)-c^2b^2+e^2/2=e^2/2c^2=e^2/2所以，我们得到焦点到原点的距离c为e/√2我们可以继续化简上面的方程，得到：x^2/a^2=e^2/(2c^2)将c替换为e/√2，我们得到：x^2/a^2=e^2/(2(e^2/2))化简后得到：x^2=a^2所以，顶点P的坐标为(a,y)。
椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质
２
槡
２ ２ ２ ｂ ＋ ｃ ｔ ａ ｎ θ ＝ ． ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒ ｃ ｓ ａ， ｒ ｃ ｓ ａ， ｅ ｃ ｅ ｃ θ＋ θ－ １＝ ２＝ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ） 则ｒ ｒ ｃ（ ａ＝ ｂ＋ ｃ ｔ １＋ － ｔ ａ ｎθ ａ ｎ θ， １ ２＝ ｒｒ 所以 Ｒ＝ １ ２ ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ｂ ｔ ａ ｎ θ） 由三角形内心坐标公式知Ｉ（ ａ， ． １＋ｓ ｅ ｃ θ
ｓ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ α α 故ｔ ＝ ａ ｎ α＝ ２ ｃ ｏ ｓ α 槡 １－ｓ ｉ ｎ α ＝
ｃ ｓ ｃ ｉ ｎ θ ＝ ｓ ｉ ｎ θ． ２ ２ ２ ２ ｂ ｂｃ ａｓ ｃｓ ｏ ｓ ｉ ｎθ－ ｉ ｎθ θ＋ 槡
２ ２
ｒ １＋ ｅ 由 ① 知ｔ ａ ｎ α＝ ｂ １－ ｅ
槡
④
槡 （
ｂ－ ｃｓ ｉ ｎθ ＝ ２ ｂ ｓ ｉ ｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２ ８ １＋ ｅ ｅ时取等 当ｒ ＝ １－ Ｒ Ｓ≤ ｒ． ． ｅ ｂ １＋ ｅ 性质 １ 证毕 ．
数学通报 ２ ０ １ ７年 第５ ６卷 第４期 ｔ ａ ｎ θ 得ｒ＝ ｂ １＋ｓ ｅ ｃ θ （ ｒ Ｒ １＋ｓ ｅ ｃ ｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ） １ ２ ＝２ 由 ⑥ 两边平方整理得 ２ ２ ２ ２ （ ２＋２ ＝ ｒ ｂ ｔ ｓ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ａ ｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂ ｃ－ ａ ｓ ｓ ｃ） ｅ ｃ ｅ ｃ θ（ ａ θ＋ ， ｘ－ ａ ｎ θ＝ ｙ－ ｔ ２ ｔ ２ ｂ ａ ｎ θ
２ ２ ２ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ） ， 故令 ｘ＝０ 知 Ｗ （ ０， ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ２ ２ ２ ２ ） （ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ２ 得 Ｒ ＝ ＷＦ２ ＝ ｃ ＋ ２ ２ ４ ｂｔ ａ ｎθ
双曲线焦点三角形的面积公式
双曲线焦点三角形的面积公式在我们学习数学的过程中，双曲线焦点三角形可是一个相当有趣的知识点，特别是其中的面积公式。
先来说说什么是双曲线焦点三角形。
想象一下，在双曲线中，有两个焦点 F1、F2，然后从这两个焦点引出两条射线，与双曲线上的一点P 构成了一个三角形，这个三角形就叫做双曲线焦点三角形。
那双曲线焦点三角形的面积公式到底是啥呢？它就是 S =b²·cot(θ/2) 。
这里的 b 是双曲线的虚半轴长，θ 是∠F1PF2 的大小。
咱来举个例子好好理解一下这个公式。
记得有一次我给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就一脸懵地问我：“老师，这公式怎么来的呀？感觉好复杂。
”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”我先在黑板上画了一个双曲线，标上了焦点 F1、F2 ，然后随便找了一个点 P ，把这个三角形给画了出来。
接着，我就带着他们一起从双曲线的定义和三角函数的知识出发，一点点推导这个公式。
我先让他们回忆双曲线的定义，就是到两个焦点的距离之差的绝对值是定值 2a 。
然后我们设 |PF1| = m ，|PF2| = n ，根据定义就有 |m - n| = 2a 。
接下来，我们再在这个三角形中，用余弦定理表示出 |F1F2|²。
这时候就发现能通过一系列的代数运算和三角函数的变换，最终得到这个面积公式。
那个学生听完后，恍然大悟，眼睛都亮了起来，说：“原来如此，老师，这下我明白了！”看到他那兴奋的样子，我心里也特别有成就感。
在做相关题目的时候，这个公式可太有用啦。
比如说，给了双曲线的方程，告诉你焦点三角形中∠F1PF2 的大小，让你求面积，这时候直接把数值代入公式就能很快得出答案。
不过，要注意的是，可别记错公式或者用错条件哦。
有时候一粗心，把 a 和 b 搞混了，或者角度的计算出错了，那答案可就相差十万八千里啦。
总之，双曲线焦点三角形的面积公式虽然看起来有点复杂，但只要我们理解了它的推导过程，多做几道题目练练手，就能熟练掌握，在数学的海洋里畅游无阻。
专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)
A． 48 5
B． 36 5
C．16
D． 48 或 16 5
【答案】D
【详解】依题意， a 5,b 4, c 3 ，不妨设 F1 3, 0, F 3, 0 ，
对于直角三角形 MF1F2 ，
若 F1MF2
π 2
，
PF1 PF2 2a 10
由
PF1
2
PF2
2
4c
2
36
，整理得
PF1
PF2
7 7 3
3
2
33
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，SPF1F2
b2 tan
要特别注意记忆
F1PF2 表
2
示的是哪个角.另外利用结论 SPF1F2
b2 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
即为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 4c2
联立可得 PF1 PF2 4c2 4a2 4b2
F1F2P 的面积为
3,
可得 1 2
PF1
PF2
sin 60 1 4b 2 2
3 2
3b2
3
解得
b
1,
a
1 2
，所以双曲线的实轴的长
2a
1.
故选：A
7．（2022
秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆 x2 100
直线 AF 的斜率为（ ）
A．
1 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | AF2 2a ，
椭圆双曲线焦点三角形面积公式
椭圆双曲线焦点三角形面积公式
椭圆双曲线焦点三角形面积公式指的是一种计算三角形面积的
公式，其中三角形的顶点分别为椭圆双曲线的两个焦点和一点，椭圆双曲线是二次曲线的一种，具有两个焦点和两个顶点。
该公式可以通过将三角形分解成三个小三角形，并利用椭圆双曲线的性质来求解。
具体公式如下：
设三角形顶点为 A、B、C，椭圆双曲线的两个焦点为 F、F，椭
圆双曲线的半轴长为 a、b，则有：
S △ABC = 2ab × sin ( ∠FAF ) × sin ( ∠FBF ) × sin ( ∠FCF )
其中，S △ABC 表示三角形 ABC 的面积，∠FAF、∠FBF、∠FCF 分别表示三角形 ABC 的三个内角所对应的椭圆双曲线焦点的角度。
通过上述公式，可以较为准确地计算椭圆双曲线焦点三角形的面积。
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