数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用

第十章定积分的应用

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等

教学时数：10学时

§ 1 平面图形的面积（ 2 时）

教学要求：

1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；

2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积

一、组织教学：

二、讲授新课：

（一）直角坐标系下平面图形的面积：

1.简单图形：型和型平面图形 .

2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.

对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.

例1求由曲线围成的平面图形的面积.

例2求由抛物线与直线所围平面图形的面积.

（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边

梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.

,

亦即.

具体计算时常利用图形的几何特征 .

例3求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积.

例4 极坐标下平面图形的面积:

推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为, 顶角为的扇形面积为 . )

例5求由双纽线所围平面图形的面积 .

解或. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 ) . 以代方程不变,

图形关于轴对称 ; 以代, 方程不变,

图形关于轴对称 . 参阅P242 图10-6

因此.

三、小结：

§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）

教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积

（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为. 推导出该立体之体积.

祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )

例1求由两个圆柱面和所围立体体积 .

P244 例1 ( ) 例2 计算由椭球面所围立体 (椭球 )的体积 .

[1] P244例2 ( )

（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式.

.

例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.

例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.

例5 求由圆绕轴一周所得旋转体体积.( 1000)

例6 轴正半轴.绕轴旋转.求所得旋转体体积.

§ 3 曲线的弧长( 1 时 )

教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长，

（一）弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲

即用折线总长的极限定义弧长 . 可求长曲线 .

（二）弧长计算公式 : 光滑曲线的弧长.

设，，又，和在区间上连续可导且. 则上以和为端点的弧段的弧长为.

为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对,有

, Ch 1 §1 Ex 第5题 (P4) .

其几何意义是: 在以点和为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边 .事实上，

.

为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理, 然后对式

插项进行估计 .

如果曲线方程为极坐标形式连续可导, 则可写出其参数方程. 于是

.

§ 4 旋转曲面的面积( 1 时 )

教学要求：旋转曲面的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积

用微元法推出旋转曲面的面积公式 :

曲线方程为时，；

曲线方程为时，.

例1—2 P254—255例1—2.

§ 5 定积分的物理应用举例( 2 时 ) 教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等

例1—2 P255—257E例1—3.

例3 P257—259例4-5.