平面的投影

平面的投影

一、平面的表示法

平面的投影通常用确定平面的几何元素的投影表示，如图所示。

(a) (b) (c) (d) (e)

二、平面对投影面的各种相对位置及其投影特性

平面对投影面的相对位置有三种情况：投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面。前两种统称为特殊位置平面。

投影特性：

1.投影面垂直面

垂直于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的的平面称为投影面垂直面。其中，垂直于 V 面的平面称为正垂面；垂直于 H 面的平面称为铅垂面；垂直于 W 面的平面称为侧垂面。

2.投影面平行面

平行于某一投影面，必定会垂直于另外两个投影面的平面，称为投影面平行面。其中，平行于 V 面的平面称为正平面；平行于 H 面的平面称为水平面；平行于W 面的平面称为侧平面。

3.一般位置平面

对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。一般位置平面在三个投影

面上的投影都是原空间平面图形类似形的。

例题 1 如图所示，完成平面的侧面投影。

分析：平面图形是由线围成的，故与点、直线一样，可根据两投影求第三投影。该平面为八边形，有八个顶点，只要作出顶点的侧面投影，然后连接起来即可。

作图：利用点的投影规律，求出各个点的投影。

三、用平面的迹线表示平面

平面除了用前面所述的几何元素表示外，也可以用迹线表示。平面与投影面的交线称为平面的迹线。如图所示，平面 P 与 V 面的交线，称为正面迹线，用P V 表示；平面 P 与 H 面的交线，称为水平迹线，用 P H 表示；平面 P 与 W 面的交线，称为侧面迹线，用 P W 表示。P V 和 P H、P W 和 P H、P V 和 P H 分别相交于 OX、OY、OZ 轴上的 P X、P Y、P Z 点。由于 P V 与 P H 是平面上的两条相交直线，因此，用迹线表示平面和用两相交直线表示平面实质上是一样的。

由于迹线是投影面上的直线，因此，它在该投影面上的投影与本身重合，另外两个投影分别在相应的投影轴上。为简化起见，在用迹线表示平面时，只需画出不与投影轴重合的那个投影，并加以标记。如图所示的 P V、P H、P W。

用迹线表示平面

四、平面上的点与直线的投影

（重点掌握，通过举例使学生掌握平面上取点和取线，讲清作图原理和方法）

1.面上取线

平面上的直线：

① 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

② 若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

例 2：已知平面由直线 AB、AC 所确定，试在平面内任作一条直线。

解法一：解法二：面

上取一般位置线

提出问题：有多少解？

例3：在平面 ABC 内作一条水平线，使其到 H 面的距离为 10mm，如图所示。

在面上取水平线

提出问题：有多少解？

2.平面上取点

如果点在平面上，那么点一定在属于平面上的任意一条直线上。

作图方法：先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

作图举例

例 4：已知 K 点在平面 ABC 上，求 K 点的水平投影。

面上取点

3.平面内的投影面平行线

平面内的投影面平行线是指该直线既在平面内又与某投影面平行，故这样的

直线满足直线在平面内的条件并符合投影面平行线的特性。由于平面内有无穷多条直线，故在一个一般位置平面内既有正平线，也有水平线和侧平线。

例题如图 a 所示，在由 AB、CD 两相交直线所确定的平面内，过点 D 作正

平线。

分析：正平线的水平投影平行于 OX 轴，且与 ab、cd 相交。

作图：如图 b 所示。

（a） (b)

过点 D 在平面内作正平线

例题完成平面△SBC 的缺口的水平投影，如图 a 所示。

分析：点 E、G 位于直线 SB 上，利用点在直线上的特性直接求取；点 F 位于平面△SBC内，可利用在平面内取点的方法求取 f（请读者自行分析）；还可利用GF∥BC（因g′f′∥b′c′,且GF 与BC 共面）作gf∥bc求取f，如图 b、c 所示。

（a）已知（b）求 g、e、f (c)整理图线完

成平面△SBC 的缺口的水平投影