63巧构造 妙解题

巧构造 妙解题

1. 直接构造

例1. 求函数f x x x ()sin cos =

-+32的值域。 分析：由于f x x x

()sin cos =-+32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx ，sinx ）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。

解：令μθ=-=cos sin x x ，，则μθ221+=表示单位圆

f x k ()=

--=32θμ

表示连接定点P （2，3）与单位圆上任一点（μ，θ）所得直线θμ---=k k ()320的斜率。 显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即||32112-+=k k

所以k =±

2233 故22332233-

≤≤+f x ()

例 2. 已知三条不同的直线x y a sin sin 3αα+=，x y a sin sin 3ββ+=，x y a sin sin 3γγ+=共点，求sin sin sin αβγ++的值。

分析：由条件知sin sin sin αβγ，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。

解：设（m ，n ）是三条直线的交点，则可构造方程m n a sin sin 3θθ+=，即 4303m n m)a sin (sin θθ-++=（*）

由条件知，sin sin sin αβγ，，均为关于sin θ的一元三次方程（*）的根。 由韦达定理知sin sin sin αβγ++=0

2. 由条件入手构造

例3. 已知实数x ，y ，z 满足x y z xy =-=-692，，求证：x y =

分析：由已知得x y xy z +==+692，，以x ，y 为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。

解：构造一元二次方程p p z 22690-++=

其中x ，y 为方程的两实根

所以∆=-+≥364902()z

即z 299+≤

z z 200≤=，

故△＝0，即x y =

3. 由结论入手构造

例4. 求证：若n ≥3，n N ∈，则13141511123333++++< n

分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。 11111211113k

k k k k k k k <-+=--+()()[()()] 所以左边<⨯⨯+⨯⨯++-+12341345111 ()()

n n n =

⨯-⨯+⨯-⨯++--+121231341341451111[()()] n n n n =⨯-+<1212311112

[()]n n 故原式得证。

例5. 已知实数x ，y 满足02<<<

，求证：

π

222222++>++sin cos sin cos sin sin sin x y y z x y z

分析：要证原式成立，即证

π

4++>++sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos x y y z x x y y z z 即证π

4>-+-+sin (cos cos )sin (cos cos )sin cos x x y y y z z z

由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和S S S 123++，而14单位圆的面积为π4

，所以

π4>-+-+

sin(cos cos)sin(cos cos)sin cos x x y y y z z z

故结论成立。