【精品课件】杨辉三角与二项式系数的性质课件

, 这个
表在我国南宋
数学
家杨辉在
1261 年所
著的 《 详解九章算
法 》 一书里就出现
了 , 所不同的只是这
里的表用阿拉伯数
字表示 , 在这本书里
记载的是用汉字表
示的形式 ( 图 1 . 3 1 ).
这个表称为杨辉三角,在《 详解九章算法》 一书 里 ,还说明了表里“一” 以 外的每一个数都等于它 肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《 释锁》 算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经 用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧 洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(BlaisePas cal,1623 1662) 首先发现的,他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早 五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常 值得中华民族自豪的.
系数相.事等实,上 这一性质可直C 接m n 由公 Cnnm得到 .
直线xn将函数 fr的图象分成对称分 的, 两
2 它是图象的对 . 称轴
2增 减 性 与 最 因大 为值 Ckn nn1nk21!knk1 Ckn1nkk1,
所
以 Ckn相
上表中蕴含着许多规律,例如 : 在 同 一 行 中, 每 行 两 端 都 是1,与 这 两 个1等 距 离的项的系数相等;
在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于
它 " 肩上" 两个数的和.事实上,设表中任一不
为1的数为Crn1,那么它肩上的两个数分别为
Crn1及Crn , 容 易 证 明Crn1
表示形 式的变 化有时 也能帮
a b1 a b2 a b3
助我们 a b4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
121
13 31
14 6 41
发现某 a b5 1 5 10 10 5 1
些规律. a b6 1 6 15 20 15 6 1
探究 你能借助上面的表现形式发现一些新的规
律吗?
图1.32
定的n,我们还可以画出它的图象.例如n 6,
其图象是7个孤立点(图1.3 2).
请你分别画出n 7,8,9 时的函数图象.你能看
出它们有哪些异同吗?
下 面"结 杨合 辉"三 和角 1图 .32来 研 究 二 项 数 的 一.些 性 质
1对称性 与首尾两 "等端 距"离 的两 个二项式
对C 于kn1的
增
减
情
况 n由 k1决
k
定 ,由
nk1 1kn1可 知 ,当kn1时,二 项 式
k
2
2
系数是逐渐增 .由大对的称性知它的分后是半逐部 渐减小n,且 1的n在 1 中间取得当 ;最n是 大奇 值数,中 时间
的两C项 n2 .Cn2 相等 ,且同时取得.最大值
所以 Cn0 Cn2 C1n Cn3
3 各 二 项 已 式 知 系 数 和
1 xnC n 0 C 1 n x C n 2 x 2 C r n x r C n n x n ,
令 x 1 , 则 2 n C n 0 C 1 n C n 2 C n n .这就是说 ,
由于 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn
中的a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和. 实际上,a,b 既可以取任意实数,也可以取任意多 项式,还可以是别的.我们可以根据具体问题的需 要灵活选取a,b的值.
证明 在展开式 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn中,令a 1,b 1,则得 1 1n Cn0 C1n Cn2
Cn3 1nCnn,即 0 Cn0 Cn2 C1n Cn3 ,
1 7 21 35 35 21 7 1 这样,就可以将二项式系数表延伸下去, 从而可根据这个表来求二项式系数.
例3 试证 : 在a bn的展开式中,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 分析 奇数项二项式系数的和为
Cn0 Cn2 Cn4 , 偶数项二项式系数的和为C1n Cn3 Cn5 ,
abn的展开式的系 各数 个的 二2和 n.项等 式
你能用组合意义解释一下这个" 组合等式" 吗?
利 用 这 些 性 质 可 以 解 决许 多 问 题 . 例 如, 利用" 杨辉三角"中除1以外的每一个数都 等 于 它 肩 上 两 个数 的和 这 个 性 质 , 可 以 根据相应于n 的各二项式系数写出相应 于n 1的二项式系数.如根据" 杨辉三角" 中相应于n 6 的各二项式系数,可写出 相应于n 7的各二项式系数
f r
对于a bn 展开式的二项 20
式系数 Cn0, C1n, Cn2, , Cnn, 15 我们还可以从函数角度来 10
分析它们.Crn 可看成是以r
为 自 变 量 的 函 数f r , 其 定
5 r
o 1 2 34 5 6
义域是 0,1,2, ,n.对于确
1.3 二项式定理
1.3.2 "杨辉三角"与二项式系数的性质
探究 用计算器计算a bn 展开式的二项
式系数并填入下表.
n
a bn 展开式的二项式系
1
2
3
4
5
6
通过计算填表,你发现了什么规律?
从上表可以发现 ,每一行中的系数具有对称性.
除此之外还有什么规律呢 ?为了方便,可将上表
写成如下形式:

Cr 1 n

Crn.
左积 右积
本积 一 商除 一 一 平方 一 二 一 立方 一 三 三 一 三乘 一 四 六 四 一 四乘 一 五 十 十 五 一 五乘 一 六 十五二十十五 六 一
命 以中 右 左 实 廉藏 裘 裘 而 乘者 乃 乃 除 商皆 隅 积 之 方廉 算 数
图1.3 1
值得指出的是