§16-3 超静定梁的极限荷载解析

6.4M u q1 l2
17.6M u q2l 2 M u 1.2M u q2 8 l2 9q3l 2 6.76M u 2M u 1.8M u q3 16 l2
6.4M u qu l2
ql l/2 解：机动法 l/2
q
1.5ql
0.75l 0.75l
l
画出各跨单独破坏时的虚位移图。 由虚功方程求出相应的破坏荷载。 1）第一跨破坏： θ Mu Δ ql θ q
1.2Mu θ M Δ u
θ
1.2Mu
1.2Mu
3ql 3ql 3l 1.2M u 2.4M u 2M u 2 2 2 4 6.4M u 7.6Mu 8 Mu q3 2 6.756 2 破坏荷载为： qu 2 9 l l l （第一跨）
FP=FPu C
MU
A
B
2.超静定梁极限荷载的求解方法 同样有 平衡法 和 机动法 。
（具体解法后面以简例说明）
3.超静定结构极限荷载计算的特点 （1）先判断出超静定梁的破坏机构，即可直接利用机构的平衡 条件求FPu，不必考虑弹塑性变形过程。 （2）只需考虑平衡条件，不需考虑变形协调条件。因而计算比 弹性计算简单。 （3）超静定结构极限荷载，不受温度改变、支座移动等因素的 影响。（按最终的破坏机构计算，温度改变、支座移动等因素不再
l/2
FP
C B
5 FP l 32
（1）弹性阶段弯矩如图所示。 A 固端处弯矩最大。
MU
（2）加载至A端达到Mu时， 第一个塑性铰形成。
FPS <FP<FPu C
A
B
（3）继续加载至C达到Mu时， 第二个塑性铰形成， 结构变成机构而破坏。 MU
因A端已成塑性铰， 故A端弯矩增量为零
此时的荷载称为极限荷载
1.5ql
1.2Mu
l 6.4 ql ql 1.2Mu Mu 2 q1 2 Mu 2 l
2）第二跨破坏
ql
q
1.5ql
ql ql l 17.6 1.2Mu 1.2Mu Mu 2 q2 2 Mu 2 2 2 l 3）第三跨破坏 q ql 1.5ql θ
（注意用到区段叠加法作M图的特点）
FP
l/2 MU l/2
FPu C
FPul/4 MU
A
B
FPu l 1 Mu Mu 4 2
6 Mu FPu l
方法二:机动法
1）作机构的虚位移图 设跨中位移为 ，则
Mu
A
θ1
Mu

FPu Mu C
θ2
2 4 1 , 2 l l
2）列虚功方程
l
0.75l 0.75l
9ql 2 16
2.4Mu
ql 2 4
1.2Mu
1.2Mu
Mu
Mu
2Mu
ql 2 4
1.2Mu
ql 2 8
1.2Mu
9ql 2 16
2.4Mu
Mu
Mu
2Mu
第一跨单独破坏时： 第二跨单独破坏时： 第三跨单独破坏时：
破坏荷载为：
（第一跨）
q1l 2 M u 0.6M u 4
A
l/3 Mu
B
l/3 D
FP C
l/3
（1）设塑性铰出现在B、D处 对应的破坏机构及弯矩图 如图所示：
由弯矩图可得出这个破坏机构 的实现条件为： M 3M u u 由虚功方程可得极限荷载为： 6 3 FPu M u M u 0 l l
A
B
FP
Mu Δ
2θ
C
3 l
（2）连续梁极限荷载计算 —— 逐跨计算，比较最小者为FPU [例1] 图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为Mu， 第三跨正极限弯矩为2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯 矩的1.2倍，求qu 。 q 1.5ql ql 解：平衡法
l/2 l/2
ql 2 8
画出各跨单独破 坏时的极限弯矩 图。寻找平衡关 系求出相应的破 坏荷载。
B
FPu (Mu1 M u 2 ) 0
6 Mu FPu l
[例2]求变截面梁的极限荷载。
A
l/3
B
l/3 D
FP C
l/3
FP A B
C
FP A
B
C
[例2]求变截面梁的极限荷载。 解： 设AB段的极限弯矩为 M u
BC段的极限弯矩为Mu 。 显然，塑性铰出现的位置 与上述两个极限弯矩的比值 及B截面的位置有关。
产生附加内力。）
（4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则： ① 跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范 围内剪力为零处。 ② 若梁上荷载均向下作用，负弯矩塑性铰只可能出现在固定 端处。
4.单跨超静定梁的极限荷载求解（等截面单跨梁有唯一的破坏机构） [例1]求单跨梁的极限荷载。 解：方法一:平衡法 1）判定破坏机构， 作极限弯矩图。 2）根据极限弯矩图, 由平衡条件列方程。 C处：
3Mu
Mu
C
Mu
A
B
D
FPu
9M u l
（2）设塑性铰出现在A、D处 对应的破坏机构及弯矩图 如图所示： 由弯矩图几何求解： 1 ' M B (M u Mu ) 2
A
l/3
B
l/3 D
FP C
l/3
A
Mu
B Mu
θ1
FP
C
θ2
Δ
因此这个破坏机构的 实现条件为：
Mu
B
1 Mu ) (M u 2
A
Mu
B Mu
θ1
FP
C
θ2
Δ
M u
B
1 Mu )Hale Waihona Puke Baidu(M u 2
C D
Mu
A
9 FPu M u l
5.连续梁的极限荷载 （1）连续梁破坏机构的可能形式
—— 破坏机构为某单跨形成机构
FP1
Mu
FP2
可能的破坏机构1
FP1
Mu
FP2
可能的破坏机构2
FP1
Mu
FP2
Mu 不可能出现的破坏形式
第16章 结构的塑性分析与极限荷载
§16-1 概述
§16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §16-3 超静定梁的极限荷载
§16-3 超静定梁的极限荷载
1.超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点 超静定梁由于有多余的约束， 必须出现多个塑性铰， 才能变成机构。
以简例说明加载至极限状态的过程
FP
l/2
3 FP l 16
C D
Mu
1 ' (M u M u )＜ M u 2 3M u 即： M u
A
由虚功方程可得极限荷载为：
3 9 FPu M Mu 2l 2l
' u
A
l/3
B
l/3 D
FP C
l/3
3 ' FPu (M u 3M u ) 2l
（3）讨论 （临界情况）
3M u 时，A、B、D 当 Mu 三个截面都出现塑性铰，其 极限荷载为：