数学新人教版八年级上册13.4最短路径问题ppt课件
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.B
.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别 向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地 方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
.
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧， 作法在：L上①求作一点点B，关使于得直P线A+lP的B最对小称.点B′.
② 连接AB′,交直线l于点P.
.
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽 到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DBA·.CEM, C 则AB两地的距离为：
“将军饮马问题”．
.
如图所示，从A地到B地有三条 路可供选择，你会选走哪条路 最近？你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
③
两点之间,线段最短
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
A . 思考:为什么这样就能得到
最短距离呢？
根据：两点之P间线段最短.
山Q
河岸
P
A
大桥
B
.
运用新知
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最
小”．
C
山Q
河岸
P
A
.
大桥
B
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？ （假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
N
A/
P
Q
B/
A
M
.
B
l
布置作业
教科书复习题p92: 7、10、11、13、15题．
.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
.
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
思考：运动路径中，哪一 段路径是恒定不变的？？？ C
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全 程最短？
B A
l
.
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
.
课件说明
引言： 初一我们研究过一些关于
1、“两点的所有连线中，线段最短”
（两点之间，线段最短． ）
2、“连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短”等的问题 我们称它们为最短路径问题，现实生活中经 常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用 数学知识探究数学史中著名的
处的学生小明先拿桔子再拿糖果，
然后回到座位，请你帮助他设计一
条行走路线，使其所走的总路程最 D
短？作法：1.作点C关于直线 A G M O
OA 的 对称点点D,
EH
2. 作点C关于直线 OB
Ｃ .
N
.
的对称点点E,
B
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N
，则CM+MN+CN最.短
• 2. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要
·B
A·
l
.
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一
点，在∠MON的两边OM，ON上各取
一点B，C，组成三角形，使三角形周
分长析最：小当.AB、BC和AC三条边
A
的长度恰好能够体现在一条
B
直线上时，三角形的周长最 小
C
A
.
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A·C′ CFra bibliotekB·
l
.
B′
比一比，谁想的最快：
问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜 访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到
河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一
天的最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB
G
O
·C
H
D·
E
的对称点点E,
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短 .
最短路线：A P Q B
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
ND E
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
B
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处，.AB两地的路程最短。
1.某班举行晚会，桌子摆成两直排(
如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了
桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C
B
点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得 到最短距离呢？
C′A + C′B′>CA+CB ′ 即C′A + C′B′>CA+CB
C C
三角形任意两边之和大于. 第三边
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别 向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地 方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
.
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧， 作法在：L上①求作一点点B，关使于得直P线A+lP的B最对小称.点B′.
② 连接AB′,交直线l于点P.
.
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽 到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DBA·.CEM, C 则AB两地的距离为：
“将军饮马问题”．
.
如图所示，从A地到B地有三条 路可供选择，你会选走哪条路 最近？你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
③
两点之间,线段最短
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
A . 思考:为什么这样就能得到
最短距离呢？
根据：两点之P间线段最短.
山Q
河岸
P
A
大桥
B
.
运用新知
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最
小”．
C
山Q
河岸
P
A
.
大桥
B
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？ （假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
N
A/
P
Q
B/
A
M
.
B
l
布置作业
教科书复习题p92: 7、10、11、13、15题．
.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
.
运用新知
练习 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
思考：运动路径中，哪一 段路径是恒定不变的？？？ C
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全 程最短？
B A
l
.
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
.
课件说明
引言： 初一我们研究过一些关于
1、“两点的所有连线中，线段最短”
（两点之间，线段最短． ）
2、“连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短”等的问题 我们称它们为最短路径问题，现实生活中经 常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用 数学知识探究数学史中著名的
处的学生小明先拿桔子再拿糖果，
然后回到座位，请你帮助他设计一
条行走路线，使其所走的总路程最 D
短？作法：1.作点C关于直线 A G M O
OA 的 对称点点D,
EH
2. 作点C关于直线 OB
Ｃ .
N
.
的对称点点E,
B
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N
，则CM+MN+CN最.短
• 2. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要
·B
A·
l
.
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一
点，在∠MON的两边OM，ON上各取
一点B，C，组成三角形，使三角形周
分长析最：小当.AB、BC和AC三条边
A
的长度恰好能够体现在一条
B
直线上时，三角形的周长最 小
C
A
.
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小.
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A·C′ CFra bibliotekB·
l
.
B′
比一比，谁想的最快：
问题1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜 访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到
河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一
天的最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB
G
O
·C
H
D·
E
的对称点点E,
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短 .
最短路线：A P Q B
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
ND E
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
B
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处，.AB两地的路程最短。
1.某班举行晚会，桌子摆成两直排(
如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了
桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C
B
点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得 到最短距离呢？
C′A + C′B′>CA+CB ′ 即C′A + C′B′>CA+CB
C C
三角形任意两边之和大于. 第三边
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．