(完整word版)轴对称中几何动点最值问题总结

轴对称中几何动点最值问题总结

轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。

利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：

（1）两点之间线段最短；

（2）三角形两边之和大于第三边；

（3）垂线段最短。

初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，

点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。

问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。

核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。

方法：1.定点过动点所在直线做对称。

2. 连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。

变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。

1. 如图，直线I和I的同侧两点A B,在直线I上求作一点P，使PA+PB最小。

问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个

动点使线段和最短核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。

变异类型：

1.如图，点P是/ MON内的一点，分别在OM ON上作点A, B。使△

PAB的周长最小。

（3）两点两线的最值问题：（两个动点+两个定点）

问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点

间的距离保持不变。

核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。

变异类型：

1.如图，点P, Q为/ MON内的两点，分别在OM ON上作点A，B。使四边形PAQB勺周长最小。

2.如图, 点A是/ MON外的一点，在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小。

、1

—

Q f

2?如图，已知A （1 , 3）, B （5, 1）,长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为（）

\■

O戸Q

问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。

核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线

段的长。

变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。

1.如图，点A是/ MON内的一点，在射线ON上作点P,使PA与点P到射线0M的距离之和最小。

、常见题目

Parti、三角形

1.如图，在等边厶ABC中，AB=6, AD丄BQ E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2, 求EM+EC勺最小值。

2. 如图，在锐角厶ABC中，AB=42 / BAC= 45 °，/ BAC的平分线交BC于点D, M N分别

是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值是___

3. 如图，△ ABC中，AB=2, / BAC=30 ,若在AC AB上各取一点M N,使BM+M的值最小, 则这个最小值。

30u

Part2、正方形

1 如图，正方形ABCD勺边长为8, M在DC上，丐DM= 2, N是AC上的一动点，DN+ MN的最小值为____________ 。即在直线AC上求一点N,使DN+M最小。

2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，^ ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD^ PE的和最小，则这个最小值为（）

A. 2..3 B . 2、6 C . 3 D . ■ 6

4. 如图，四边形ABCD是正方形, 求PC+PE的最小值；

也中点, P为BD上的一个动点;

AB = 10cm , E 为边B

Part3、矩形

1.如图，若四边形ABCD是矩形，AB = 10cm BC= 20cm, E为边BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；

Part4、菱形1.如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm / ABC=45 , E为边BD上的一个动点，求PC+PE

的最小值;BC上的一个动点，P为

BC上的一个动点，P为

Part5、直角梯形

1.已知直角梯形ABCD中，AD// BC AB丄BC AD=2, BC=D（=5,点P在BC上秱动，则当

PA+PD ）

Part6、一次函数

一次函数y二kx+ b的图象与x, y轴分别交于点A（2,0）, B（0,4）.

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA, AB的中点分别为C,D , P 为0B上一动点，求PC+ PD 的最小值，并求取得最小值时P点坐标.

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1),要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析:如图２,我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点Ｍ，使AM与BＭ的和最小。设A′是Ａ的对称点,本问题也就是要使A′Ｍ与BＭ的和最小。在连接Ａ′Ｂ的线中,线段Ａ′B最短。因此,线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。如图3，为了证明点Ｃ的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接ＡN、BN、Ａ′N。因为直线ａ是Ａ,A′的对称轴,点M，N在a上，所以AＭ= A′M,AＮ= A′N。 ∴ＡM+BＭ= A′M+ＢM＝ A′Ｂ在△A′BＮ中, ∵Ａ′Ｂ

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若AE=2,EM+CM的最小值为( ) A．4 B.8 C. D. 2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B.22.5° C.30° D. 45° 3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是_____________.

与轴对称相关的最值问题

图（5） C B 与轴对称相关的最值问题【典型题型一】：如图，直线 l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 【典型题型二】如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。【练习】1、(温州中考题)如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上， EC=2a ，∠BAD=1200 ,点P 在BD 上，则PE+PC 的最小值是（）解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC 中点E 关于对角线 BD 的对称点E 一定落在AB 的中点E 1，只要连结CE 1，CE 1即为PC+PE 的最小值。这时三角形CBE 1是含有300 角的直角三角形，PC+PE=CE 1=23a 。所以选（ D ）。 2、如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B 西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（）（A ） 4+185英里（B ） 16英里（C ） 17英里（D ） 18英里 3．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. 请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小? 4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交 AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 5 5．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E 的长就是PB+PE 的最小值在直角△B'EF 中，EF = 1，B'F = 3根据勾股定理，B'E = 10 6．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（） A ．2 3 B ．2 6 C ．3 D ． 6 即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小点D 关于直线AC 的对称点是点B ，连接BE 交AC 于点P ，则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值BE = AB = 2 3 7．如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PD 的最小值；作点C 关于BD 的对称点C'，过点C'，作C'B ⊥BC ，交BD 于点P ，则C'E 就是PE+PC 的最小值直角△BCD 中，CH = 20 5 错误！未定义书签。直角△BCH 中，BH = 8 5 △BCC'的面积为： BH ×CH = 160 所以 C'E ×BC = 2×160 则CE' = 16 ' B A

中考几何最值问题(含答案)

几何最值问题一．选择题（共6小题） 1．（2015?孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（） 3 AE==3，． 2．（2014?鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（） 5050+50

LN=AS==40 MN==50 MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50 =50 3．（2014秋?贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）

4．（2014?无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B 在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（） C OE=AE=AB=× AD=BC= DE= ADE==， =

DF=， OA=AD= 5．（2015?鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（） C D ，连结，此时四，连结MN= =， =，，

PC= PDC==． 6．（2015?江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE 为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（） C BG AD=BD=AB=3 CE=

数学竞赛辅导系列专题(一)利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例

数学竞赛辅导系列专题（一）利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每个学生都得到发展”。“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。” 纵观近几年的全国各级数学竞赛，首先是紧扣教材和竞赛大纲，许多试题虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计，题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性，积极引导学生实现由知识到能力的过渡。因此，教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养学生的创新思维能力。让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2）（￡，只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P, 则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。（证明：如图（2 ）②,在L上任取一点P i ,连结P i A , P i B , P i C ,因为 P i A+P i B=P i C+P i B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。）（二）应用和延伸：例i、（七年级作业本题）如图（3），/ AOB内有一点P,在0A 和0B边上分别找出M、N，使△ PMN的周长最小。解：如图（4），只要画出P点关于OB 0A的对称点P i, P2 ,连结P i、P2交OB 0A于 M N,此时△ PMN的周长PM+PN+MN i ff2为最小。（证明略）例2、在图（i ）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是i 千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。求这个最小值。解：如图（i）①所示，只要过A i点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在Rt △ ABH中，A i H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得AB的长度为4迈千米。即PA+PB的最小值为 4 2 千米。 A A

轴对称中几何动点最值问题总结

轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。方法：1.定点过动点所在直线做对称。 2. 连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。 1.如图，直线I和I的同侧两点A B,在直线I上求作一点P，使PA+PB最小。问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个

动点使线段和最短核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。变异类型： 1.如图，点P是/ MON内的一点，分别在OM ON上作点A, B。使△ PAB的周长最小。（3）两点两线的最值问题：（两个动点+两个定点）问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。变异类型： 1.如图，点P, Q为/ MON内的两点，分别在OM ON上作点A，B。使四边形PAQB勺周长最小。 2.如图, 点A是/ MON外的一点，在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小。、1 —

利用轴对称模型求线段和的最小值

利用轴对称模型求线段和的最小值近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。学习目标：知识目标：掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型，解决实际问题。能力目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题，解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。情感目标：通过自己的参与和教师的指导，享受学习数学的快乐，提高应用数学的能力。引例：例：如图(1)，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。分析：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。（1）A B A

总结：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连结A ′B 交直线l 于点C ，那么点C 就是所求作的点。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。例1. 如图4，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________。图4 分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E 、B 在直线AC 的同侧，要在AC 上找一点P ，使PE+PB 最小，关键是找出点B 或E 关于AC 的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B 和D 关于AC 对称，连结DE ，此时DE 即为PE+PB 的最小值，图5 图6 由∠BAD=60°，AB=AD ，AE=BE 知， 3 22 3DE =?= 故PE+PB 的最小值为 3 。跟踪练习1：如图7，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径

几何最值—轴对称求最值(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：几何最值问题的理论依据是什么？答：两点之间，________________；（已知两个定点） _______________最短（已知一个定点、一条定直线）；三角形____________________（已知两边长固定或其和、差固定）．答：问题2：做题前，读一读，背一背：答：直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P,使P与A B 两点距离之差最大作A点关于L的对称点A1,连接A1B,并延长交L的一点就是所求的P点. 这样就有：PA=PA1,P点与A,B的差PA-PB=PA1-PB=A1B. 下面证明A1B是二者差的最大值. 首先在L上随便取一个不同于P点的点P1,这样P1A1B就构成一三角形,且P1A1=P1A. 根据三角形的性质,二边之差小于第三边,所以有： P1A1-P1B

几何最值—轴对称求最值一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，且点E在正方形ABCD的内部，在对角线AC上存在一点P，使得PD+PE的值最小，则这个最小值为( ) B. . 答案：C 《解题思路：

试题难度：三颗星知识点：轴对称—线段之和最小 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D作 DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．AB=10cm，BC=6cm，P是直线DE上的一点，连接PC，PB，则△PBC 周长的最小值为( ) 答案：A 解题思路：

(完整版)利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题基本题引入：如图（1）,要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？使AM与BM的和最小。设A'是A的对称点，本问题也就是要使A M与BM的和最小。在连接A B的线中，线段A B最短。因此，线段 A B与直线a的交点C的位置即为所求。如图3,为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN BN A No 因为直线a是A A'的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A M,AN= A N。 ??? AM+BM= A M+BM= A B 在厶A BN中， ?/ A B< A N+BN ? AM+B< AN+BN 即AM+BMt小。点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②??? BC= 9 （定值），?△ PBC的周长最小，就是PB+ PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A,显然当P、A B三点共线时PB+ PA最小?此时DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90°,得厶DAF^A ABC. EF// BC, 1 15 9 得AE= BE= AB= , EF= . ? AF： BC= AD：AB, 即卩 6 : 9 = AD：15. ? AD= 10. Rt△ ADF 2 2 2 9 25 25 中，AD= 10, AF= 6,「. DF= 8. ? DE= DF+ FE= 8+ =一. ???当x = 时，△ PBC的周长 2 2 2

轴对称最值问题专项提升附答案

学员姓名：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日（～）；共_____课时（以上信息请老师用正楷字手写）轴对称最值问题专项提升【知识点】最短路径两点之间，线段最短例：四边形ABCD 中，∠BAD=0120，∠B=∠D=0 90,在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使?AMN 周长最小，则∠AMN+∠ANM 的度数是（） A.0130 B.0120 C.0110 D.0100 例：如图，P ，Q 分别为?ABC 的边AB ，AC 上的定点,在BC 上求作一点M ，使?PQM 周长最小。一．解答题（共6小题） 1．已知：如图所示，M （3，2），N （1，﹣1）．点P 在y 轴上使PM+PN 最短，求P 点坐标． 2．如图，△ABC 的边AB 、AC 上分别有定点M 、N ，请在BC 边上找一点P ，使得△PMN 的周长最短．保留作图痕迹） 3．如图△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上的动点，Q 是AC 边上的动点，当P 、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ 的周长最小？并求出这个最值．

4．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值． 5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？ 6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系．（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式．（2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．

第7讲轴对称最值模型(原卷版)

中考数学几何模型7：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山

B' Q D A' A P B C

典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为．变式练习>>> 1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）

A．B．C．D．例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值. 变式练习>>> 2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）

A．140°B．100°C．50°D．40° 例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是．变式练习>>> 3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小

值是（） A．3B．2C．D．4 例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为．变式练习>>> 4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析

利用轴对称知识求线段和的最小值问题透析求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。 B1 证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M 所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用 1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。

A1 2、如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。（也可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。 3、求函数解：方法（Ⅰ）把原函数转化为y= 1 )3(2+-x ，因此可以理解为在X 轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。方法（Ⅱ）如图（9），分别以PM=（3-x ）、AM=1为边和以PN=（x+3）、BN=5为边构建使（3-x ）和

轴对称最值问题专项提升附答案教学提纲

轴对称最值问题专项提升附答案

授课教案学员姓名：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日（～）；共_____课时（以上信息请老师用正楷字手写）轴对称最值问题专项提升【知识点】最短路径两点之间，线段最短例：四边形ABCD 中，∠BAD=0120，∠B=∠D=0 90,在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使 ?AMN 周长最小，则∠AMN+∠ANM 的度数是（） A.0130 B.0120 C.0110 D.0100 例：如图，P ，Q 分别为?ABC 的边AB ，AC 上的定点,在BC 上求作一点M ，使?PQM 周长最小。一．解答题（共6小题） 1．已知：如图所示，M （3，2），N （1，﹣1）．点P 在y 轴上使PM+PN 最短，求P 点坐标． 2．如图，△ABC 的边AB 、AC 上分别有定点M 、N ，请在BC 边上找一点P ，使得△PMN 的周长最短．保留作图痕迹） 3．如图△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上的动点，Q 是AC 边上的动点，当P 、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ 的周长最小？并求出这个最值．

利用轴对称求最小值重点

利用轴对称求最小值山东省章丘市绣水中学李爱芸文章来源：2008年下半年度《试题与研究》中考数学题中有些求两线段之和最小的题目，同学们感到找不到思路，其实它是利用轴对称求最短距离的变形，现以部分中考题为例加以分析，希望能对同学们有所帮助。例：如图，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。理解转化题意：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l 及l 同侧的点A 和点B ，在l 上确定一点C,使AC+BC 最小。首先我们思考若点A 和B 点分别在直线l 的两侧，则点C 的位置应如何确定，根据两点之间线段最短，点C 应是与AB 直线l 的交点，如图（2），这就是说，设线段AB 交l 于点C ，点C /是直线上异于点C 的任意一点，总有AC+BC ＜AC /+BC /。因此，解决上述问题的关键是将点A （或点B ）移至l 的另一侧（设点A 移动后的点为A /），且使A 、A /到直线l 上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。解：如图（3），作点A 关于直线l 的对称点A /，连接A /B 交l 于点C ，则点C 的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C 处可使行驶的路程最短。变形1：已知：如图,正方形ABCD 的边长为8，M 在BC 上，N 是AC 上的一动点，则BN+MN 的最小值为多少？理解转化题意：点B 、M 都在直线AC 的同旁，因此利用轴对称找点B 的对称点，在此题中由正方形的性质可知点B 的对称点是点D ，所以连结DM,DM 的长就是BN+MN 的最小值。解：连结MD 交AC 于N /点 ∵四边形ABCD 是正方形 ∴点D 与B 关于AC 对称 ∴N /B=N /D ∴DM=DN / +MN / =N /B+N /M 在直角三角形MBC 中由勾股定理求得 DM=10 ∴BN+MN 的最小值为10. 变形2：如图MN 是⊙O 的直径,MN=2点A 在⊙O 上,∠AMN=30°B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点,则PA+PB 的最小值为多少? 理解转化题意：利用圆的轴对称性过点B 作BC ⊥MN 得点B 的对称点C, 连结AC 与MN 交点即为P 点. 解：过点B 作BC ⊥MN 交⊙O 于点C 连结AC 交MN 于点P 则 AC=PA+PB A B A B C C / （2）（3） C D A M N B N

利用轴对称性质求几何最值

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轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中,为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个： (1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边; (3）垂线段最短。初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）问题特征:已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置,使动点与定点线段和最短。核心思路:这类最值问题所求的线段和中只有一个动点,解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点,连结这个对称点与另一定点，交直线于一点,交点即为动点满足最值的位置。变异类型:实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形,比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形,即其中一个定点的对称点就在这个图形上。１. 如图，等边△AＢC的边长为6,AD是ＢＣ边上的中线,M是AＤ上的动点,E是AC边上一点，若AE=2，ＥM+CM的最小值为() Ａ．4 B.8 C.Ｄ.

2.如图,等边△ABC的边长为４，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点,E是ＡC边上一点,若ＡE＝2,当EF＋ＣF取得最小值时，则∠EＣＦ的度数为（） A．1５°Ｂ.2２.5° C.30° D. 45° 3.如图,Ｒt△AＢC中，AC=BC=4,点D,E分别是AＢ,AC的中点，在CD上找一点Ｐ,使ＰA+PE 最小，则这个最小值是__＿__＿______＿.

中考数学经典几何模型之轴对称最值模型(解析版)

中考数学几何模型：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山

B' Q D A' A P B C

典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△P AB＝S矩形ABCD， ∴AB?h＝AB?AD， ∴h＝AD＝4， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8， ∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．变式练习>>> 1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（） A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、P A，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可， ∵PB+PC＝P A+PB≥AB， ∴当P与E重合时，P A+PB最小， ∵AD＝CD，DE⊥AC， ∴AF＝CF，

∵∠ACB＝90°， ∴EF∥BC， ∴AE＝BE＝AB＝2.5， ∴EF＝BC＝1.5， ∵AD⊥AB， ∴△AEF∽△DEA， ∴＝， ∴DE＝＝，故选：B．例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值. 【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示： ∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''， B'M'＝BM'，B''N'＝BN'， ∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''， MB＝MB'，NB＝NB''， ∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'， ∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示： ∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝， ∴＝＝2， ∴∠2＝30°， ∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°， ∴∠1＝30°， ∴∠7＝30°，DB'＝DB， ∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，

完整版几何最值轴对称求最值含答案

学生做题前请先回答以下问题几何最值问题的理论依据是什么？1：问题（已知两个定点）________________；答：两点之间，；_______________最短（已知一个定点、一条定直线）（已知两边长固定或其和、差固定）．三角形____________________答：做题前，读一读，背一背：：问题2 答：直线L及异侧两点A B 求作直线L上一点P,使P与A B 两点距离之差最大作A点关于L的对称点A1,连接A1B,并延长交L的一点就是所求的P点. 这样就有：PA=PA1,P点与A,B的差PA-PB=PA1-PB=A1B. 下面证明A1B是二者差的最大值. 首先在L上随便取一个不同于P点的点P1,这样P1A1B就构成一三角形,且P1A1=P1A. 根据三角形的性质,二边之差小于第三边,所以有： P1A1-P1B

几何最值—轴对称求最值一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，且点E在正方形ABCD的内部，在对角线AC上存在一点P，使得PD+PE的值最小，则这个最小值为( ) B. A.3 D.C. C 答案：解题思路：页10页共2第

轴对称—线段之和最小试题难度：三颗星知识点：作，过点D△ABC外侧作等边三角形ACDAC2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以为一边在，则PB上的一点，连接PC，BC=6cmAB=10cm，，P是直线DEEDEACDE⊥，垂足为F，与AB相交于点． ) PBC周长的最小值为( △ cm A.16cm B. D.26cm C.24cm A 答案：解题思路：页10页共3第

利用轴对称性质求几何最值精编WORD版

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轴对称中几何动点最值问题总结轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。（1）两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。

1. 如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,EM+CM的最小值为( ) A．4 B.8 C. D. 2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（） A．15° B.22.5° C.30° D. 45° 3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是 _____________. 4.（2006?河南）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB 边上一动点，则EC+ED的最小值是_____________. 5.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是( ) A． B. C. D. 10 6..（2009?抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（） A．2√3 B. 2√6 C. 3 D. √6 （2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）

2020年初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13 中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，则PA PB A B' +=的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.