《极坐标系的概念》课件

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C.(－ρ,θ＋π)
D.(－ρ,π－θ)
例 3说 明 满 足 条 件 , 0 的 点 M （ ， ） 所 组 成 的 图 形 。 3

若例3中的 R，则M表示什么样的图形？
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5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值(<0): 时如何规定 )对应的点的位置？ 当<0时，点 M(,( , )的位置规定： 点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
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数学运用
例 2 、在极坐标系中，
（1 ）已知两点 P （5,
）， Q （1 ， ），求线段 PQ 的长度。 4 4 5 （2 ）已知两点 P （5, ）， Q （1 ， ），求线段 PQ 的长度。 4 ,4 ,Q 2， 2 , 求线段 PQ 的长度。
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4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
P (ρ,θ)
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
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请分析这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 东 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
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建构数学
1、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点； 自极点O引一条射线OX，叫做极轴； 再选定一个长度单位、一个角度 单位（通常取弧度）及其正方向 （通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
(, 2k+)
都是同一点的 极坐标. (-, +(2k+1))
以民族大道为X轴 以凤翔路为Y轴...
请问： 去会展中心怎么走？
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以民族大道为X轴 以凤翔路为Y轴...
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从这向南 2000米。
请问： 去会展中心怎么走？
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5 6
B. (－3, － 6 )
)
D. (－3, －
5 6
)
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课后作业
思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( D ) 2 2 4 5 (A) (10, ) (B) (-10, - ) (C) (10, - ) (D)(10, ) 3 3 3 3
4 3
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•
G
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练 ] 在P12 第1题图上描下列点：
A (2, 2 )、B (1,
' ' '
பைடு நூலகம்
2
)、
5 C (3, )、D '(4, ) 6
[小结]由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点. 思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
M X
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极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
数学运用
例1、 如图，写出各点的极坐标：
2 4
5 6
D

• E •
F
•
C
A(4,0) B(3, ) 4 C(2, 2 )
。 O1
• B
• •
A
x
5 D(5, ) 6 E(4.5, )
X
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2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。 思考: 对比直角坐标系，比较异同。 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 计算角度的正方向 ____________________； O (, ) 表示. (2) 平面内点的极坐标用_____
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3、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，

4

M
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
O X π +2kπ 4， 4
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。


（3 ）已知两点 P 3， 6
推广：极坐标系内两点 P( 1 ,1 ),Q( 2 , 2 ) 的距离公式：
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拓展：
1、在极坐标系中,O是极点， 5 设点A(4, )， B(5, 6 3
O
)，
A
x
3 则（1）|AB|= 41 20 。 （2）△OAB的面积是______ ， 5
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B
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称 的点是( D ) A.(－ρ,θ) B.(－ρ,－θ)
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3.在极坐标系中,与点(－8, 6 )关于极 点对称的点 的一个坐标是（ A ） 5 A.(8, ) B. (8, － ) 6 6 5 C. (－8, ) D.(－8, － )
5 6
2 F 3• B
2
4
•
•
D 。 O
• A
1
x
•
5 4 [小结] (, )
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•
E
C 3 2
5 3 (-, +)
11 6
A(-4,0) 5 B(3, 6 ) C(-2, 2 ) D(-1, 5) 3 E(3,- ) 6 ) ( 4, F 3
极坐标系的概念
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与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _____ 一一 对应的.
y 平面直角坐标系是最简单 最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别 的坐标系比较方便.
b
O
P .(a,b) a x
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问题.
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课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
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作业
P12 第4、5题
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如何确定以下两船 的位置关系呢？ （1）距离：5 海里
（2）方向：东偏北20º .
发现走私!!!
20º
拯救船
O
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x
距离40 km
π 方向： 4
O
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x
从这向东 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向东走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
5 6 ° O M(-2, 5) 6 ° O

x
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x • •M(-2, 5) M (, ) 6 小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
练一练 1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合的 6 点是( ) C
A.(3, 6 )
C. (3, －