不等式的证明——综合法
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1 1 1 ( − 1)( − 1)( − 1) ≥ 8 4.已知 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证： a ∈R+,且 求证： 已知 ∈R+, a+b+c=1,求证 b c
5.已知 已知a,b,c∈R+,且互不相等，abc=1,求证： 且互不相等， 求证： 已知 ∈ 且互不相等 求证
1 1 1 a+ b+ c < + + a b c
不等式的证明——综合法 综合法 不等式的证明
导入新课
1．证明 ． 2．比较 ． 与 （ ）． 的大小，并证明你的结论． 的大小，并证明你的结论．
尝试探索， 尝试探索，建立新知
例1 已知 ，求证
证明： 证明：因为 所以 故
，则
关于综合法
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出 所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 综合法． 所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法． 综合法的思路是“由因导果” ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发 通过一系列的推出变换，推导出求证的不等式． ，通过一系列的推出变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式 的逻辑关系是： 的逻辑关系是： …
（已知A）逐步推演不等式成立的必要条件（结论 ） 已知 ）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B） ④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与 利用综合法由因导果证明不等式， 结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间 结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间 的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系， 的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析 所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件， 所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进 行有效的变换是证明不等式的关键． 行有效的变换是证明不等式的关键．
布置作业
1．课本作业：P26——1、2 ．课本作业： 、
2．思考题： ．思考题：
若
，求证
3．研究性题： 3．研究性题： 某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资 辆汽车往灾区运送一批救灾物资， 某市用 辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 v千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的 千米／ 千米 小时的速度直达灾区． 公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得 公路线长 干米，为安全需要， 干米 千米． 小于 千米． 那么， 那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多 少？
例题示范、 例题示范、学会应用
已知a， ， 是不全相等的正数 是不全相等的正数， 例2 已知 ，b，c是不全相等的正数，求证
证明二（比较法）： 证明二（比较法）：
因为a， ， 是不全相等的正数 是不全相等的正数． 因为 ，b，c是不全相等的正数．
所以
且三式不能全取“ 且三式不能全取“=” 号.所以 所以 即
综合法的思维特点是：由已知推出结论． 综合法的思维特点是：由已知推出结论．用 综合法证明不等式中常用的重要不等式有： 综合法证明不等式中常用的重要不等式有： （
同号） （a，b同号） ， 同号
）
（ 在证明不等式时，选择方法要适当， 在证明不等式时，选择方法要适当，不要 对某种方法抱定不放，要善于观察， 对某种方法抱定不放，要善于观察，根据 题目的特征选择证题方法． 题目的特征选择证题方法．
）
例3 已知a1,a2,…,an∈R+,且 已知 且 a1a2…an=1, 求证：（ 求证：（1+a1）(1+a2)…(1+an)≧2n ≧ ：（
ຫໍສະໝຸດ Baidu这种不等式叫条件不等式
练习
1. 已知 是正数，求证 已知x,y是正数 是正数， 2．已知 ． ，求证
3.已知 是正数，且x≠1，n∈N*, 已知x是正数 已知 是正数， ， ∈ 求证:(1+xn)(1+x)n>2n+1xn 求证
分析归纳， 分析归纳，小结解法
• 1.综合法是证明不等式的基本方法．用综合法证明 综合法是证明不等式的基本方法． 综合法是证明不等式的基本方法 不等式的逻辑关系是： 不等式的逻辑关系是： A→B1→B2→… →Bn →B 为已经证明过的不等式， 为要证的不等 （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等 为已经证明过的不等式 ）．即综合法是“由因导果” 式）．即综合法是“由因导果”． • 2.运用不等式的性质和已证明过的不等式时，要注 运用不等式的性质和已证明过的不等式时， 运用不等式的性质和已证明过的不等式时 意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确， 意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结 论无误． 论无误． • 3.用综合法证明不等式的依据是：（ ）已知条件和 用综合法证明不等式的依据是：（ 用综合法证明不等式的依据是：（l） 不等式性质；（ ；（2）基本不等式． 不等式性质；（ ）基本不等式． • 4.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明， 能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明， 能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明 用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注 用综合法证明不等式的依据是基本不等式时， 意定理的使用条件和定理中“ 号成立的条件 号成立的条件． 意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件．
5.已知 已知a,b,c∈R+,且互不相等，abc=1,求证： 且互不相等， 求证： 已知 ∈ 且互不相等 求证
1 1 1 a+ b+ c < + + a b c
不等式的证明——综合法 综合法 不等式的证明
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1．证明 ． 2．比较 ． 与 （ ）． 的大小，并证明你的结论． 的大小，并证明你的结论．
尝试探索， 尝试探索，建立新知
例1 已知 ，求证
证明： 证明：因为 所以 故
，则
关于综合法
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出 所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 综合法． 所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法． 综合法的思路是“由因导果” ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发 通过一系列的推出变换，推导出求证的不等式． ，通过一系列的推出变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式 的逻辑关系是： 的逻辑关系是： …
（已知A）逐步推演不等式成立的必要条件（结论 ） 已知 ）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B） ④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与 利用综合法由因导果证明不等式， 结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间 结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间 的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系， 的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析 所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件， 所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进 行有效的变换是证明不等式的关键． 行有效的变换是证明不等式的关键．
布置作业
1．课本作业：P26——1、2 ．课本作业： 、
2．思考题： ．思考题：
若
，求证
3．研究性题： 3．研究性题： 某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资 辆汽车往灾区运送一批救灾物资， 某市用 辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 v千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的 千米／ 千米 小时的速度直达灾区． 公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得 公路线长 干米，为安全需要， 干米 千米． 小于 千米． 那么， 那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多 少？
例题示范、 例题示范、学会应用
已知a， ， 是不全相等的正数 是不全相等的正数， 例2 已知 ，b，c是不全相等的正数，求证
证明二（比较法）： 证明二（比较法）：
因为a， ， 是不全相等的正数 是不全相等的正数． 因为 ，b，c是不全相等的正数．
所以
且三式不能全取“ 且三式不能全取“=” 号.所以 所以 即
综合法的思维特点是：由已知推出结论． 综合法的思维特点是：由已知推出结论．用 综合法证明不等式中常用的重要不等式有： 综合法证明不等式中常用的重要不等式有： （
同号） （a，b同号） ， 同号
）
（ 在证明不等式时，选择方法要适当， 在证明不等式时，选择方法要适当，不要 对某种方法抱定不放，要善于观察， 对某种方法抱定不放，要善于观察，根据 题目的特征选择证题方法． 题目的特征选择证题方法．
）
例3 已知a1,a2,…,an∈R+,且 已知 且 a1a2…an=1, 求证：（ 求证：（1+a1）(1+a2)…(1+an)≧2n ≧ ：（
ຫໍສະໝຸດ Baidu这种不等式叫条件不等式
练习
1. 已知 是正数，求证 已知x,y是正数 是正数， 2．已知 ． ，求证
3.已知 是正数，且x≠1，n∈N*, 已知x是正数 已知 是正数， ， ∈ 求证:(1+xn)(1+x)n>2n+1xn 求证
分析归纳， 分析归纳，小结解法
• 1.综合法是证明不等式的基本方法．用综合法证明 综合法是证明不等式的基本方法． 综合法是证明不等式的基本方法 不等式的逻辑关系是： 不等式的逻辑关系是： A→B1→B2→… →Bn →B 为已经证明过的不等式， 为要证的不等 （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等 为已经证明过的不等式 ）．即综合法是“由因导果” 式）．即综合法是“由因导果”． • 2.运用不等式的性质和已证明过的不等式时，要注 运用不等式的性质和已证明过的不等式时， 运用不等式的性质和已证明过的不等式时 意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确， 意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结 论无误． 论无误． • 3.用综合法证明不等式的依据是：（ ）已知条件和 用综合法证明不等式的依据是：（ 用综合法证明不等式的依据是：（l） 不等式性质；（ ；（2）基本不等式． 不等式性质；（ ）基本不等式． • 4.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明， 能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明， 能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明 用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注 用综合法证明不等式的依据是基本不等式时， 意定理的使用条件和定理中“ 号成立的条件 号成立的条件． 意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件．